一般周期函数的判定方法
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一般周期函数的判定方法
周期性是函数的一条
特殊而有趣的性质，
在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中
< br>涉及到周期函数，
对一般的周期函数未作重点讨论。
本文
在高中数学的基础上，
对周期函数
的定义、性质、周期函数和非
周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。
1
、周期函数的定义及性质
定义：设
f(x)
是定义在数集
M
上的函数，如果存在非零常数
T
具有性质；
（
1
）对
有（X±T）
；
（
2
）对
<
/p>
有
f
（
X+T<
/p>
）
=f
（
X
）
则称
f
（
X
）是数集
M
上的周期函数，常数
T
称为
f
（
X
）的一个周期。如果在
所有正周期中
有一个最小的，则称它是函数
f
< br>（
X
）的最小正周期。
由定义可得：周期函数
f
（
< br>X
）的周期
T
是与
X
无关的非零常数，且周期函数不一定有最小
正周期
。
例
1
常数值函数
f
（
X
）
=C
（
C
是常数）
是实数集
R
上以任意非零实数为周期的周期函数。
狄利克莱函数
D
（
X
）
=
是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。
由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。
2
、性质：
（
1
）若
T
（
≠0）是
f(X)
的周期，则
-T
也是
f(X)
的周期。
（因
f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]=
f(X)
）
。
因而周期函数必定有正周期。
（
2
）若
T
（≠0）
是
f(X)
的周期，则
nT
（
n
为任意非零整数）也是
f(X)
的周期。
证：当
n
＞
0
时，
f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-
1)T]
=……
=f
（
x+T
）
=
f(X)
。
当
n
＜
0
时，
∵
-n
＞
0
，
由前证和性质
1
可得：
nT=-
（
-nT
）是
f(X)
的周期。∴当
n
< br>为任意非零整数时命题成立。
（
3
）
若
T1
与
T2
都是
f(X)
< br>的周期，
则
T1±T2
也是
f(X)
的周期。
（
因
f[x+
（
T1±T2）
]=f
（
x+T1
）<
/p>
=
f(X)
）
。
（
4
）
、
如果
f(X)
有最小正周期
T*
，
那么
f(X)
的任何正周期
T
一定是
T*
的正整数倍。
否则必
存在
n1r
Z+
（
Z+<
/p>
为正整数）使
T=n1T*+r
（
0
＜
r
＜
T*
）
，则对
（
f(X)
的定义域）有
f(X)=f
（
x+T
）
=f
＝（
x+n1T*+r
）
=f
（
x+r
）
，∴
r
也是
f(X)
的正周期，与
T*
是
f(X)
的最小正周期矛
盾。∴
T
必是
T*
的正整数倍。
（
5
）
T*
是
f(X)
的
最小正周期，且
T1
、
T2
分别是
f(X)
的两个周期，则
< br>
（
Q
是有理数集）
证：据条件和性质
4
知
，存在
K1
、
K2
Z
，使
T1
=K1T*
，
T2=K2T*
，∴
。
（
6
）若
T1
、
T2
是
f(X)
的两个
周期，且
是无理数，则
f(X)
不存在最小正周期。
（用反证法
据性质
5
即可证得）
。
（
7
）周期函数
f(X)
的定义域
M
必定是双方无界
的集合。
证：若
T
< br>是
f(X)
的周期，则
nT
（
n
，n≠0）也是
f(X)
的周期，∴
有
X±nT
M
，∴
M
双
方
无界，
但并非
M
必定
< br>（
-
∞、
+∞）
，
如
tgX
和
ctgX
的定义域分别为
X≠K
π
+
π
/2
和
X≠K
π
（
K
）
。
例
2
：
f(X)=sinX
（
≤10
π
）不是周期函数。
3
、周期函数的判定
定理
1
若
f(X)
是在集
M
上以
T*
为最小正周期的周期函数则
K
f(X)+C
（
K≠0）
和
1/
f(X)
分
别是集
M
和集｛
X/
f(X)
≠0，
X
｝上的以
T*
为最小正周期的周期函数。
证：
∵
T*
是
f(X)
的周期，
∴对<
/p>
有
X±T*
且
f(X+T*)=
f(X)
，
∴
K
f(X)+C=K
f(X+T*)+C
，
∴
K
f(X)+C
也是
M
上以
T*
为周期的周期函数。
- 1 -
假设
T*
不是
Kf(X)+C
的最小正周期，
则必存在
T’
（
0
＜T’＜
T*
）
是
K
f(X)+C
的周期，
则
对
，
有
K
f(X+T’)+C=K
f(X)
+C
K[f(X+T’)
-
f(X)]=0
，
∵
K≠0
，
∴
f(X+T’)
-
f(X)=0
，∴f(X+T’)=
f(X)
，∴T’是
f(X)
的周期，与
T*
是
f(
X)
的最小正周
期矛盾，∴
T*
也是
K
f(X)+C
的最小正周期。
同理可证
1/
f(X)
是集｛
X/
f(X)
≠0，
X
｝上的以
T*
为最小正周期的周期函数。
定理
2
：若
f(X)
是集
M
上以
T*
为最小正周期的周期函数，
则
f(aX+n)
是集｛
X/aX+
b
｝
上
的以
T*/
为最小正周期的周期函数，
（
其中
a
、
b
为
常数）
。
证：
（
先证
是
f(a
x+b)
的周期）
，
∵
T*
是
f(X)
的周期，
∴
，
有
X±T*∈
M
，
∴
（
a
X±
）
+b=
ax+b±T*∈
M
，且
f[a
（
X+
）
+b]=f
（ax+b±
T*
）
=f
（
ax+b
）∴是
f
（
ax+b
）的周
期。
再证
是
f
（
ax+b
）的
最小正周期
假设存在
T’（
0
＜T’＜
）是
f
（<
/p>
ax+b
）的周期，则
f
（
a
（x+T’）
+b
）
=f
（
ax+b<
/p>
）
，
即
f
（ax+b+aT’）
=f
（
ax+b
）
，因当
X
取遍｛
X/X
∈
M,a
x+b
∈
M
｝的各数时
,ax+b
就取遍
M
所
有的各数，∴aT’是
f(X)
的周期，但<
/p>
＜
=T*
这与
T*
是
f
(X)
的最小正周期矛盾。
定理
3
：
设
f(u)<
/p>
是定义在集
M
上的函数
< br>u=g
（
x
）
< br>是集
M1
上的周期函数，
且当<
/p>
X
∈
M1
时，<
/p>
g(x)
∈
M
，
则复合函数
f(g(x))
是
M1
上的周期函数。
证
：
设
T
是
u
=g(x)
的
周
期
，
则
1
有
（
x±T
）
∈
M1
且
g
（
x+T
）
=g(x)
∴
f(g(x+T))=f(g(x))
∴
=f(g(x))
是
M1
上的周期函数。
例
3
设<
/p>
=f(u)=u2
是非周期函数，
u=
g(X)=cosx
是实数集
R
上的周期函数，则
f(g(x))=cos2x
是
R
上的周期函数。
同理可得：
（
1
）
f(X)=Sin(cosx)
，
（
2
）
f(X)=Sin(tgx)
，
（
3
）
f(X)=Sin2x
，
（
4
）
f(n)=Log2Sinx(sinx
＞
0)
也都是周期函数。
例
4
，
f(n)=Sin
n
是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，
f(g(x))=Sin(ax+b)
是周
期函数（中学数
学中已证）
。
例
5
，
f(n)=cosn
是周期函
数，
n=g(x)=
（非周期函数）而
f(g(x))=cos
是非周期函数。
证：假设
cos
是周期函数，则存在
T
＞
0
使
cos
（<
/p>
k
∈
Z
）
与定义中
T
是与<
/p>
X
无关的常数矛盾，∴
cos
不是周期函数。
由例<
/p>
4
、例
5
说明，
若
f(u)
是周期函数，
u=
g(X)
是非周期函数，这时
f(g(x))
可
能是，也可能不是周期函数。
定理
4
：设
f1(
X)
、
f2(X)
都是集合
M
上的周期函数，
T1
、
T2
分别是它们的周期，
若
T1/T2
∈
Q
则它们的
和差与积也是
M
上的周期函数，
T1<
/p>
与
T2
的公倍
数为它们的周期。
证：设
（(p·q)=1）设
T=T1q=T2p
则有：
有（x±T）
=
（x±T1q）
=
（x±T2p）
∈
M
，且
f1(x+T)
±f2（
x+T
）
=
f1(x+T1q)
±f2（
x+T2p
）
=
f1(X)±f2(X)
∴
f1(X)
±f2(X)是以
T1
和
T2
的公倍数
T
为周期的周期函数。同理可证：
f1(X)
、
f2(X)
是以
T
为周期的周期函数。
推论：设
f1(X)
、f2(X)……fn(X)
是集<
/p>
M
上的有限个周期函数
T1
、T2……Tn
分别是它们的周期，若，
…
（或
T1
，T2……Tn
中任意两个之比）都是有理数，则此
n
个函数之和、差、积也是
M
上的周期函数。
例
6
，
f(
X)=Sinx-2cos2x+sin4x
是以
2
π
、
π
、
π
/2
的最小公倍
数
2
π
为周期的周期函
数。
例
7<
/p>
，讨论
f(X)=
的周期性
解：
2tg3
是以
T1=
为最小正周期的周期函数。
5tg
是以
T2
为最小正周期的周期函数。
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