反常积分的敛散性判定方法
-
内蒙古财经大学本科学年论文
反常积分敛散性的判定方法
作
者
陈志强
学
院
统计与数学学院
专
业
数学与应用数学
年
级
2012
级
学
号
122094102
指导教师
魏运
导师职称
教授
最终成绩
75
分
目
录
摘
要
………
………………………………………..…….….…………….
.
1
关
键
词
………………………………………………..…….….………….
.
1
引言
-------------------------------------------- --------------------------------------------2
一
、
预
备
知
识
…………………………..…….….…………
…. 2
1.<
/p>
无
穷
限
反
常
积
分
………………
…………..…….….…………….
.
2
2.
瑕
积<
/p>
分
……………………..…….….…………
3
3.
反
常
积
分
的
性
质
……………………..…….….…………
3
二
、
反
常
积
分
的
收
敛
判
别
法<
/p>
………………………………..…….….………4
1
无
穷
积
分
的
收
敛
判
别
……………………..…….….……………<
/p>
4
(1).
定义判别法
…………………..…….….…………….
.
……<
/p>
4
(2).<
/p>
比较判别法
…………………..…….….…………….
.
……
4
(3).
柯西判别法
…………………..…….….……………
.
.
……
5
(4)
阿贝尔判
别法
.
…………………..…….….…………….
6
(5).
狄利克雷判别法
…………………..…….….……………
7
< br>2
瑕
积
分
的
收
敛
判
别
…………………..…….….…………….
…
.
…
8
(1).
定义判别法
………………….
.…….….…………….
.
……
8<
/p>
(2).
定
理
判
别
法<
/p>
……………………………..…….….…………….
.9
(3).
比
较
判
别
法<
/p>
…………………………………..…….….…………
9
(4).
柯西判别法
……………………………..…….….……………
9
(5).
阿贝尔判别法
……………………………..…….….………
.10
(6).
狄利克雷判别法
……………………..…….….…………….
10
参考文献
………………………………………………..…….….………
11
摘要
在很多
实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由
此得到了定积分的两种形
式的推广：
无穷限反常积分和瑕积分。
我们将这两种积
分统称为反常积分。
因为反常积分涉及到一个收敛问题，
所以反常积分的敛散性
判定就显得非常重要了。
本文将
对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，
并给出
了相关定理的证
明，
举例说明其应用，
这样将有助于我们灵活的运用各种等价定
理判断反常积分的敛散性。
关键词<
/p>
：
反常积分
瑕积分
极限
敛散性
1
引言
近些
年以来，
一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得
< br>了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册）
，对反常积分<
/p>
积分的定义，
性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科技大学出版的数学
分析理论方法与技巧，
也
对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，
还用图形的方
法说明其
意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。
< br>众多学者研究的内容全而广，
实用性很高，
尤其是在研究
敛散性的判别很明
显，
这对我现所研究的论文题目提供了大量的
理论依据和参考文献，
对我完成此
次论文有很大的帮助，
但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，
而本文将对
其进行归纳总结，举例说明其应用。
一
、
预备知识
1.
无穷限反常积分
定义
1.1
设函数
f
(
x
)
在
[
ａ，＋∞）有定义，若
f
(
x
)
在
[<
/p>
ａ，
A]
上可积（
A>a
）
且当
A
→＋∞时，
lim
称反常积分
<
/p>
对反常积分
A
a
A
f
(
x
)
dx
存在，称反常积分
f
(
x
)
dx
收敛，否则
a
a
a
< br>
f
(
x
)
dx
与
f
(
x
)
d
x
发散。
f
(
x
)
dx
与
f
(
x
)
dx
可
类
似的
给
出
敛
散性定
义
。
f
(
x
)
dx
和
f
(
x
)
< br>dx
都收敛时，
才认为
注意：
只有当
a
<
/p>
f
(
x
)
dx
是收敛的。
2
．
.
瑕
积
分
定
义
1
：
设
f(x)
在
a
的
任
何
邻
域
内
均
无
界
，
则
称
a
为
f(x)
的
一
个
瑕
点
定
义
2
：
设
f(x)
在
[
a<
/p>
,
b
)
内有定义
，且
b
为唯一瑕点，若
δ
lim
0
a
b
< br>δ
f
(
x
)
dx
存
在，称瑕积分
b
a
f
< br>(
x
)
dx
收敛
c
定义
3
：设
C
a
,
b
且为
f(x)
的一个瑕点，若
a
f
(
x
)
dx
和
f
(
x
)
dx
c
d
均收敛，则称瑕积分
3.
反常积分的性质
b
a
f
(
x
)
dx
2
(
1)Cauchy
收敛原理：
a
f
(
x
)
dx
收敛
对
ε
>0
，
A
0
>a,
当
A
1
>
A
2
>
A
0
时，有
A
2
A
1
f
(
x
)
dx
<
ε
(2)
线性性质：若
a
f
(
x
)
dx
与
g
(
x
)
dx<
/p>
都收敛，则对任意常数
k
1
,
k
2
，
< br>a
k
a
1
f
(
x
)
k
2
g
(
x
)
dx
(
f
2
也
收
敛
，
且
有
k
a
<
/p>
1
)
k
g
x
=
k
1
a
(
f
(
k
x
)
dx
)
2
a
x
g
(
x
)
dx
d
x
(3)<
/p>
积
分
区
间
可
加
性
，
若
b
a
f
(
x
)
dx
收
敛
，
则
b
a<
/p>
,
,
a
f
(
x
)
dx
=
a
f
(
x
)
dx
< br>
b
(4)
若
< br>
f
(
x
)
dx
.
a
f
(
x
)
dx
收敛，则
a
f
(
x
)
dx
≤<
/p>
a
f
(
x
)
dx
。
二
、
反
常
积
分
< br>的
敛
散
性
判
别
法
1
.
无
穷
积
分<
/p>
的
敛
散
性
判
别
（
1
）
定
义
判
别
法
设
函
数
f
定
义
在
无<
/p>
穷
区
间
[
a
,
)
上
，
且
在
任
何
有
限
< br>区
间
[
a
,
u
]
上
可
积
.
如
果
存
在
极
限
lim
u
a
f
(
x
)
dx
J
，
u
则
称
敛
，
否
则
发
散
< br>，
即
相
应
定
积
分
的
极
限
存
在
广
义
积
分
收
敛
，
定
积
分
的
极
限
< br>不
a
f
(
x
)
dx
收
存
在
广
义
积<
/p>
分
发
散
例
1.1
计算无穷积分
0
xe
解：
px
dx
（
p
是常数，且
p
0
）
1
px
1
0
e
dx
2
e
px
p
p
1
2
p
x
0
xe
px
dx
e
px
p
式
中
lim
x
e
x
p
x
0
0
x
1<
/p>
lim
px
lim
px
0
x
e
x
pe
3
(
2).
比较判别法的普通形式
：
f
(
x
),
g
(
x
)
在
a
,
有
定
义
< br>，
且
0
f
(
x
)
g
(
x
)(<
/p>
x
a
)
（
a
）
a
g
(
x
)
dx
< br><
< br>a
f
(
x
)
dx
<
（
b
）
a
f
(
x
)
dx
=+
g
(
x
)
dx
=+
a
例
1.2
讨论
0
s
in
x
dx
的收敛性
< br>
2
1
x
，
x
解：由于
sin
x
1
< br>
2
1
x
1
x
2
0
,
<
/p>
因为
收敛。
0
si
n
x
dx
π
d
x
为绝对
为收敛，
< br>所以根据比较判别法
0
2
2
1
x
1
x
2
(3).
比
较
判别
法
的
极
限
形
式
：
f
< br>(
x
),
g
(
x
)
在
a
,
有定义，且非负，且
f
(
x
)
lim
l
则：
x
g
(
x
)
（
a
< br>）当
l
（
< br>b
）
l
=
0
时，
a
g
(
x
)
dx
<
a
f
(
x
)
dx
<
+
时
，
a
g
(
< br>x
)
dx
=
a
f
(
x
)
dx
=
（
c
）
0
<
l
<
时，
a
g
(
x
)
dx
，
f
(
x
)
dx
< br>具有相同点敛散性。
a
f
(
x
)
l
，由极限的性质，存在常数
A
（
< br>A>a
）使
证：
（
1)
若
x
lim
g
(<
/p>
x
)
得当
x
A
时成立
f
(
x
)
<
l
+
1
g
< br>(
x
)
即
f
(
x
)
<
(
l
+
1
)
g
(
x
)
< br>
于是由比较判别法，当
a
g
(
x
)
dx
收敛时
4