高中数学常用公式及常用结论汇总(精华版)
-
高中数学常用公式及常用结论
数学
高中数学常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U
A
x<
/p>
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
< br>U
A
C
U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
< br>U
A
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA
cardB
ca
rdC
card
(
< br>A
B
)
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
c
ard
(
C
A
)
card
(
A
B
C
)
.
5<
/p>
．集合
{
a
1<
/p>
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n<
/p>
个；真子集有
2
n
–
1
个；非空
子集有
2
n
–
1
个；非空的真子集有
2
n
–
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
;
(2)
顶点
式
f
(
x
)<
/p>
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
< br>x
)
M
常有以下转化形式
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
M
N
M
N
f
(
< br>x
)
N
|
0
2
2
M
f
(
x
)
1
1
.
f
(
x
)
N
M
N
|
f
(
x
)<
/p>
8.
方程
f<
/p>
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与<
/p>
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不
等
价
,
前
者
是
后
者
的
一
个
必<
/p>
要
而
不
是
充
分
条
件
.
特
别
地
,
方
程
ax
2
bx
< br>c
0
(
a
0
)
有
且
只
有
一
个
实
根
在
(
k
1
,
k
2
)
内
< br>,
等
价
于
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
,
或
f
(
k
1
)
0
< br>且
k
1
k
1
k
2
b
k
2
.
2
2
a
k
k
2
b
1
2
a
2
,
或
f
(
k
2
)
<
/p>
0
且
9.
闭区间
上的二次函数的最值
二次函
数
f
(
x
)<
/p>
ax
2
bx
c
(
a
0
)
在
闭区
间
p
,
q
< br>上
的最值
只能
在
x
b
处及区间的两端点处取得，具体如下：
2
a
b
p
,
q
2
a
(1)
当
a>0
时
，
若
x
，
则<
/p>
f
(
x
)
min
f
(
x
b
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
b
p
,<
/p>
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
< br>)
min
min
f
(
p
< br>),
f
(
q
)
.
2
a
b
(2)
当
a<0
时，若
x
< br>
p
,
q
，则
f
(
x
)
mi
n
min
f
(
p
),
f
(
q
)
，若
2
a
b
x
p
,
q
，则
f
(
< br>x
)
max
< br>max
f
(
< br>p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
mi
n
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
10.<
/p>
一元二次方程的实根分布
依据：
若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，
则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个
实根
.
设
f
(<
/p>
x
)
x
2
px
q
，则
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
2
4
q
0
；
< br>
p
m
2
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充
要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
f
(
m
)
0
f
(
n
)
< br>0
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
2
或
或
；
< br>p
4
q
0
af
(
n
)
0<
/p>
af
(
m
)
0
m
p
n
< br>
2
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
2
4
q
0
.
p
m<
/p>
2
11.
定区
间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
，
,
，
,
不
同）上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
< br>)
min
0(
x
L
)
.
(2)
在
给
< br>定
区
间
(
,
)
的
子
区
间
上
含
参
数
的
二
次
不
等
式
f
(
x
,
t
)
< br>0
(
t
为参数
< br>)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
a
0
(3)
f
(
x
)
ax
4
bx
2
< br>
c
0
恒
成
立
的
充
要
条
件
是
b
0
或
c
0
a
< br>
0
.
2
b
4
ac
0
12.
真值表
ｐ
ｑ
非
ｐ
或
ｐ
且
ｐ
ｑ
ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
是
不是
至少有一
个
都是
不都是
至多有一
个
大于
不大于
至
少
有
n
个
小于
不小于
至
多
有
n
个
对
所
有
存
在
某
p
或
q
x
，
x
，
成立
不成立
对
任
何
存
在
某
p
且
q
x
，
x
，
不成立
成立
14.
四种命题的相互关系
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有
< br>（
n
1
）
个
至少有
（
n
1
）
个
p
且
q
p
或
q
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）
充分条件：若
p
q
< br>，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
< br>)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
< br>f
(
x
)
在
a
,
b
上
是
增
函
x
1
x
2
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上
是
减
函
x
1
< br>x
2
数；
(
x
1
x
2
)
f<
/p>
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
数
.
< br>(2)
设函数
y
f
(
x
)
< br>在某个区间内可导，
如果
f
<
/p>
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为增
函数；如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
.
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数
;
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义
域上都是减函数
,<
/p>
则复合函数
y
f
[
g
(
x<
/p>
)]
是增函数
.
18
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过
来，
< br>如果一个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；
如
果一个函数的图象关于
y
轴对称
，那么这个函数是偶函数．
19.
若
函
数
y
f
(
x
)
是
偶
函
数
，
则
f
(
< br>x
a
)
f
(
x
a
)
；
若
函
数
y
f
(
x
a
)
是偶函数，则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
.
20.
< br>对于函数
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒成立
,
则函数
f
(
x
)
的对称轴是
函数
x
a
b
;
两个函数
y
f
(
x<
/p>
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图
2
象关于直线
x
a
b
对称
.
2
a
2
21.
若
f
(
x
)
< br>
f
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
的图象关于点
(
,
0
)
对称
;
若
f
(
x
)<
/p>
f
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
为周期为
2
a
的周期函数
.
22
．多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
n<
/p>
a
n
1
x
n
1
a
0
的奇偶性
多项式函数
P
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系
数全
为零
.
多项式函数
P
(
x
)
< br>是偶函数
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全
为零<
/p>
.
23.
函数
y
f
(
x<
/p>
)
的图象的对称性
(1)
函数
y
< br>f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
f
(
a
x
)
<
/p>
f
(2
a
x
)
f
(
x
)
.
(2)
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
关
于
直
线
x
f<
/p>
(
a
mx
)
f
(
b
mx
)
f
(
a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
a
b
2
对
称
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对
称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
< br>的图象关于直线
x
a
b
2
m
对称
.
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
(
x
)
的图象关于直线
y=x
对称
.
25.<
/p>
若将函数
y
f
(
x
)
的图象
右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图象；若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、上移
b
个单
位，得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
27.
若函数
y
f
(
kx
b
)
存在反函数
,
则其反函数为
y
[<
/p>
f
1
(
x
)
b
]
,
并不是
y
[
f
1
(
kx
< br>b
)
,
而函数
< br>y
[
f
1
(
kx
b
)
是
y<
/p>
[
f
(
x
)
b
]
的反函数
.
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y<
/p>
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a<
/p>
1)
.
(4
)
幂函数
f
(
x
)
x
<
/p>
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
'
(1)
.
(5)
余
弦
函
数
f
(
x
< br>)
cos
x
< br>,
正
弦
函
数
g
(
x
)
sin
x
，
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
)
< br>g
(
x
)
g
(
y
)
，
f
(0)
1,lim
x
0
1
k
1
k
g
(
x
)
1
.
x
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
< br>
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
0
，
1
(
f
(
x
)
< br>
0
)
，
f
(
x
)
1
或
f
(
x
a
)
(
f
(
x
)
< br>0)
,
f
(
< br>x
)
1
或
f
(
x
)
f
2
(
x
)
f
(
x
a
),(
f
(
x
)
0,1
)
,
则
< br>f
(
x
)
的周期
T=2a
；
2
或
f
(
x
a
)
1
(
f<
/p>
(
x
)
0
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=3a
；
f
(
x
a
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)<
/p>
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
< br>x
2
)
1
,0
|
x
1
x
2<
/p>
|
2
a
)
，
1
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(3)
f
(
x
)
1
则
f
(<
/p>
x
)
的周期
T=
4a
；
(5)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
< br>x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
< br>f
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
,
则
f
(
< br>x
)
的周期
T=5a
；
(6)
f
(
x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)<
/p>
，则
f
(
x
)
的周期
T=6a.
30.
分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
m
n
1
n
a
m
1
m
n
（
a
<
/p>
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
（
a
0,
m
,
n
N
，且
< br>n
1
）
.
a
31
．根式的性质
（
1
）
(
n
a
)
n
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
<
/p>
a
,
a
0
.
a
,
a
0
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
r
a
r
b
r
< br>(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上
述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
b
log
a
N
b
a
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
log
m
N
(
a
0
,<
/p>
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
推
论
log
a
m
b
n
log
a
b
(
a
0
,
且
a
1
,
m
,
< br>n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
m
N
0
).
log
a
N
35
．对数的
四则运算法则
若
a
< br>＞
0
，
a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)<
/p>
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
M
<
/p>
log
a
M
<
/p>
log
a
N
;
N
(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
(2)
log
a
3
6.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
2
bx
c
)
(
a
0
)<
/p>
,
记
b
2
4
ac
.
若
f
(
x
)
的
< br>定义域为
R
,
则
a
0
，且
< br>
0
;
若
f
(
x
)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
.
对于
a
0
的情形
,
需要单独检验
.
37.
对数换底不等式及其推广
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
1
< br>,
则函数
y
< br>log
ax
(
bx
)
a
(1)<
/p>
当
a
b
时
,
在
(0,
1
)
和
(
1
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为增函数
.
a
a
1
1
，
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
)
和
(
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为减函数
. <
/p>
a
a
推论
:
设
n
m
1
，
p
0
，
a
< br>
0
，且
a
1
，则
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
. <
/p>
（
2
）
log<
/p>
a
m
log
a<
/p>
n
log
a<
/p>
2
m
n
.
2
38.
平均增长率的问题
如果原来产值的基
础数为
N
，
平均增长率为
p
，
则对于时间
x
的总
产值
y
，有
y
N
(1
p
)
x
.
39.
数列的同项公式与前
n
项的和的关系
n
1
s
< br>1
,
(
数列
< br>{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
< br>n
a
1
a
2
a
n
).
a
n
s
n
s
n
1
,
n
2
< br>40.
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
< br>N
*
)
；
其前
n
项和公式为
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
<
/p>
1)
na
1<
/p>
d
2
2
d
1
n
2
(
a
1
d
)
n
.
2
2
s
n
4
1.
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
n
1
< br>
a
1
n
q
(
n
N
*
)
；
q
其前
n
项的和公式为
a
1
(1
q<
/p>
n
)
,
q
1
s
n
1
q
na
,
q
1
1
a
1
a
n
q
,
q
1
或
s
n
< br>1
q
.
na
,
q
1
1
4
2.
等比差数列
a
< br>n
:
a
n
1
q
a
n
d
,<
/p>
a
1
b
(
q
0)
的通项公式为
b<
/p>
(
n
1)
d
,
q
1
a
n
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d<
/p>
；
,
q
1
q
1
其前
n
项和公式为
nb
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
s
n
< br>
.
d
1
q
n
d
(
b
)
<
/p>
n
,(
q
1)
1
q
q
1
1
q
43.
分期付款
(
按揭贷款<
/p>
)
ab
(1
b
)
n
每次
还款
x
元
(
贷款
a
元
,<
/p>
n
次还清
,
每期
利率为
b
).
(1
< br>
b
)
n
1
44
．常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
2
(2)
若
x
(0,
)
，则
1
sin
x
cos<
/p>
x
2
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
4
5.
同角三角函数的基本关系式
s
in
2
c
os
2
1
，
tan
=
sin
，
t
an
cot
1
.
cos
46.
正弦、余弦的诱导公式
n
n
(
1)
2
sin
,
sin(
)
n
1
2
(
1)
2
co
s
< br>,
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
n
(
1
)
co
s
,
co
s(
)
n
1
2
(
1)
2
sin
,
n
2
47.
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan(
)
tan
tan
.
1
<
/p>
tan
tan
sin(
)sin(
< br>
)
sin
< br>2
sin
< br>2
(
平方正弦公式
);
cos(
)cos(
)
cos
2
sin
2
.
<
/p>
a
sin
<
/p>
b
cos
=<
/p>
a
2
b
2
sin(
)
(
辅助角
b
限决定
,
tan
).
a
所在象限由点
(
a
,
b
)
的象
48.
二倍角公式
sin
2
sin
cos
.
cos
2
<
/p>
cos
2
<
/p>
sin
2
<
/p>
2cos
2
1
1
2sin
2
<
/p>
.
2
tan
tan
2
.
1
ta
n
2
49.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)sin
(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
.
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(
)
tan(
)
.
1
3tan
2
3
3
50.
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
< br>
)
，
x
∈
R(A,
ω
,
为
常
数
，
且
A
≠
0<
/p>
，
ω
＞
0)
的
周
期
T
x
k
2
< br>
；
函
数
y
tan(
x
)
，
.
2
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，
ω
＞
0)
的周期
T
<
/p>
51.
正弦定理
a
b
c
2
R
.
sin
A
sin
B
sin
C<
/p>
52.
余弦定理
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A<
/p>
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
< br>2
ab
cos
C
.
53.
面积定理
1
1
1
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
sin
< br>C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
2
2
1
(3)
S
OAB
(|
OA
|
|
OB
|)
(
OA
OB
)
.
2
S
ah
a
bh
b
ch
（
（
1
）
b
、
c
边上的高）
.
h
a
、
h
b
、
< br>h
c
分别表示
a
、
c
54.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
<
/p>
(
A
B
)
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
55.
简单的三角方程的通解
sin
x
< br>
a
x
k
(
1)
k
ar
csin
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
co
s
x
<
/p>
a
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan
x
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
56.
最简单的三角不等式及其解集
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
arcsin
a
),
k
Z
< br>.
sin
x
a
(|
a
|
< br>
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
< br>
arcsin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
2
arccos
a
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x<
/p>
(
k
arctan
a
,
k
),<
/p>
k
Z
.
2
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>
2
,
k
a
rctan
a
),
k
< br>
Z
.
57.
实数与向量的积的运算律
设
λ
、
μ
为实数，那么
(1)
结合律：
λ
(
μ
a)=(
λ
μ
)a;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)a=
λ
a+
μ
a;
(3)
第二分配律：
λ
(a+b)=<
/p>
λ
a+
λ
b.
58.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b=
a
·
（
<
/p>
b
）
;
(3)
（
a
+b
）<
/p>
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
59.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量，有且只有一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
< br>．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60
．向量平行的坐标表示
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
0
，则
a
b(b
0)
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
53.
a
与
b
的数量积
(
或内积
< br>)
a
·
b=|
a
||b|cos
θ
．
61. a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|a|
与
b
在
a
的方向上的投影
|b|cos
θ
的乘积．
62.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b
=
(
x
2
,<
/p>
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1<
/p>
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(3)
设
< br>A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a=
(
x
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)<
/p>
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b=
(
x
1
< br>x
2
y
1
y
2
)
.
63.
两向量的夹角公式
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
2
1<
/p>
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
).
64.
平面两点间的距离公式
|
AB
|
AB
AB
d
A
,
B
=
<
/p>
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
65.
向量的平行与垂直
设
a=
(
x
1
,
y
1
)
,b=
(
x
2
,
y
2
)
，且
b
0
，则
A||b
< br>
b=
λ
a
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0
. <
/p>
a
b(a
<
/p>
0)
a
·
b=0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
66.
线段的定比分公式
设
P
1
2
的分点
,
是实数，且
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
< br>P
(
x
,
y
)
是线段
PP
PP
1
< br>PP
2
，则
< br>x
1
x
2
x
OP
< br>
OP
2
1
OP
1<
/p>
y
y
1
2
y
1
1
1
t
（
）
< br>.
(1
< br>t
)
OP
OP
tOP
1
< br>2
1
67.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x<
/p>
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y<
/p>
2
)
、
C(x<
/p>
3
,y
3
)
,
则△
ABC
的重
心的坐标是
G
(
x
1
x
2
x
3
y
1<
/p>
y
2
y
3
,
)
.
3
3
68.
点的平移公式
'
'
'
x
x
h
x<
/p>
x
h
'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y
< br>k
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
< br>P(x
，
y)
在平移后图形
F
'
上的对应点为
'
'
'
P
(
x
,<
/p>
y
)
，且
PP<
/p>
'
的坐标为
(
h
,
k
)
.
69.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a=
(
h
,
k
)
平移后得到点
P
'
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象
C
按向量
a=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的函数解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图
象
C
'
按向量
a=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
< br>,
若
C
的解析式
y
f
(
x
)
,
则
C
'
的函数解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(4)
曲线
C
:
f
(
x
,
y
)
<
/p>
0
按向量
a=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的
方
程为
f
(
x
h
,
y
k
)
0
.
(5)
向量<
/p>
m=
(
x
,
y
)
按向量
a=<
/p>
(
h
,
k
)
平移后得
到的向
量
仍然为
m=
(
x
,
y
)
.
70.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，
角
A
,
B
,
C
< br>所对边长分别为
a
,
b
,
c
，
则
2
2
2
（
1
）
O
为
< br>ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
（
3
）
O
为
A
BC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB
cOC
0
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
71.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
2
b<
/p>
2
2
ab
(
当且仅当
a
＝<
/p>
b
时取“=”号
)
．
a
b
ab
(
当且
仅当
a
＝
b
时
取“=”号
)
．
2
（
3
）
a
3
b
3<
/p>
c
3
3
abc
(
a
0,
b
0,
c
0).
（
2
）
a
,
b
R
（
4
）柯西不等式
(
a
2
b
< br>2
)(
c
2
d
2
)
(
ac
b
d
)
2
,
a<
/p>
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
a
b
a
b
.
72.
极值定理
已知
x
,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
s
2
.
推广
已知
x
,
y
R
，则有
(
x
y
)
2
(
x
y
)
2
2
< br>xy
（
1
）若积
xy
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
x
y
|
最大；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
x
y
|
最小
.
（
2
）若
和
|
x
y<
/p>
|
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|<
/p>
xy
|
最小；
当
|
x
y
|
最小时
, <
/p>
|
xy
|
最大<
/p>
.
73.
一元二次不等式
ax
2
bx
c
0(
或
0)
(
< br>a
0,
b
2
4
ac
0)
，
如果
a
与
a
x
2
bx
c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
<
/p>
bx
c
异号，
则其解集在两根之间
.
简言之：同号两
根之外，异号两根之间
.
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
< br>x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)<
/p>
；
x
x
1
,
或
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
1
<
/p>
x
2
)
.
1
4
74.
含有绝对值的不等式
当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
a
x
a
.
x
a
x
2
< br>
a
2
x
a
或
x
a
. <
/p>
2
75.
无理不等式
（
1
）
f
(
x
)<
/p>
0
. <
/p>
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(<
/p>
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
或
g
(
x
< br>)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
f
(
x
)
0
.
f
(
x
< br>)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
（
2
）
（
3
）
76.
指数不等式与对数不等式
(
1)
当
a
1
时
,
a
f<
/p>
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
lo
g
a
f
(
x<
/p>
)
log
a<
/p>
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
< br>x
)
g
(
x
)
(
2)
当
0
a
1
时
, <
/p>
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
< br>
0
f
(
x
)
g
(
x
)
77.
斜率公式
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
1
< br>)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
. <
/p>
x
2
x
1
78.
直线的五种方程
k
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1<
/p>
)
(
直线
l<
/p>
过点
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，且斜率为
)
．
（
2
）斜截式
y
kx
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
（
3
）
两
点
式<
/p>
(
x
1
x
2
)).
x
y
a
b
（
5
）一般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、
B
不同时为
0).
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
< br>2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P<
/p>
2
(
x
2
,
y
2
)
y
2
y
1
x
2
x
1
(4)
截距式
< br>1
(
a
、
b
分别为直线的横、纵截距，
a
、<
/p>
b
0
)
79.
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
< br>k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2<
/p>
k
1
k
2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
< br>
l
2
k
1
k
2
1
.
(2
)
若
l
1
:<
/p>
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C<
/p>
2
0
,
且
A
1
、
A
2
、
B
1
、
B
2
都不
为零
,
①
< br>l
1
||
l
2
A
1
B
1
C<
/p>
1
；
A
2
B
2
C
2
②
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2<
/p>
0
；
80.
夹角公式
< br>(1)
tan
|
k
2
< br>k
1
|
.
1
k
2
k
1
A
1
B<
/p>
2
A
2
B
1
|
.
A
1
A
2
B
1
B
< br>2
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
< br>,
k
1
k
2
1
)
(2)
tan
|
(
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
< br>:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
< br>).
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
与
l
< br>2
的夹角是
.
81.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)<
/p>
tan
k<
/p>
2
k
1
.
1
k
2
k
1
A
1
B
2
< br>A
2
B
1
.
A
1
A
2
B
1
B<
/p>
2
2
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
<
/p>
b
2
,
k
1
k
2
1
)
(2)
tan
(
l
1
:
A
1
x
B
< br>1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
< br>1
A
2
B
1
B
2
0
).
直线
l
1
l
2<
/p>
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
.
82
．四种常用直线系方程
(1)
定
点
直
线
系
方
程<
/p>
：
经
过
定
点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的
直
线
系
方
程
为
y
y
0<
/p>
k
(
x
x
0
)
(
除
直
线
x
x
0
),
其
中
k
是
待
定
的
系
数
;
经
过<
/p>
定
点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为<
/p>
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系
数．
(2)
共
点
直
线
系
方
程
：
经
过
两
直
线
l
1<
/p>
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
<
/p>
C
2
0
的
交
点
的
直
线
系
方
程
为
(
A
1
x
B
1
y
C
1<
/p>
)
(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
(
除
l
2
)
，其中
λ
是待定的系数．
(3)
平行直线系方
程：直线
y
kx
b
中当斜率
k
< br>一定而
b
变动
时，
表示平行直线系方程．
与直线
Ax
< br>
By
C
0
平行的直线系方程
是
Ax
By
0
(
0
)
< br>，
λ
是参变量．
2
(4)
垂直直线系方程：与直线
Ax
By
C
0
(A
≠
0
，
B
≠
0)
垂直
的直线系方程是
Bx
Ay
0
,
λ
是参变
量．
83.
点到直线的距离
A
B
84.
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
d
|
Ax
0
By
0
C
|
2<
/p>
2
(
点
P
(
x
0
,
y
0
)
,
直线
l
：
Ax
By
C
< br>
0
).
设直线
l
:
Ax
By
C
< br>0
，则
Ax
< br>By
C
0
或
0
所表示的平面区域
是：
若
B
0
，当
B
与
Ax
By
C
同号时，表示直线<
/p>
l
的上方的区域；当
B
< br>与
Ax
By
< br>
C
异号时，表示直线
l
的下方的区域
.
简言之
,
同号在上
,
异号在下
.
若
B
0
，当
A
与
< br>Ax
By
< br>C
同号时，表示直线
l
的右方的
区域；当
A
与
Ax
By
C
异号时，
表示直线
l
的左方的区域<
/p>
.
简言之
,
同
号在右
,
异号在左
.
85.
(
A
1
x
B
1<
/p>
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
< br>
0
或
0
所表示的平面区域
设曲线
C
:
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
< br>0
）
，则
(
A
1
x
B
1
y
<
/p>
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
< br>或
0
所表示的平面区域是：<
/p>
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
< br>
B
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域上下两部分；
<
/p>
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
< br>B
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域上下两部分
.
86.
圆的四种方程
（
1
）圆的标准方程
(<
/p>
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
.
< br>（
2
）圆的一般方程
x
2
y
2
Dx
Ey
F
< br>0
(
D
2
E
2
4
F
＞
0).
x
a
<
/p>
r
cos
（<
/p>
3
）圆的参数方程
.
y
<
/p>
b
r
sin<
/p>
（
4
）
圆的直径式方程
(
x
x
1<
/p>
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
0
(
圆的直径的
端点是
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
).
87.
圆系方程
< br>(1)
过点
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y<
/p>
2
)
的圆系方程是
(
x
x
1
)(
x
<
/p>
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
< br>
[(
x
x
1
)(
y
1
y
2
)
(
y
y
1
)(
x
1
x
2
)]
0
(
x
< br>x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y<
/p>
1
)(
y
y
2
)
(
ax
by
c
)
0
,
其
< br>中
ax
by
< br>
c
0
是
直
线
AB
的方程
,
λ
是待定的系数．
(2)
过直线
l
:
Ax
By
C
0
与圆
C
:
x
2
y
2
< br>
Dx
Ey
< br>
F
0
的交点的
圆系方程是
x
2
y
2
Dx
Ey
F
(
Ax
By
C
)
0
,
λ
是待定的系数．
(3)
过
圆
:
与
圆
C
1<
/p>
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
0
C
2
:
x
2
y<
/p>
2
D
2
x
E
2
y
F
2
0
的
交
点
的
圆
系
方
程
是
x
2<
/p>
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
(
x
2
y
2
D
2<
/p>
x
E
2
y
F
2
)
0
,
λ
是待定的系数．
88.
点与圆的位置关系
点
P
(
x
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d
(
a<
/p>
x
0
)
2
(
b
y
0
)
2
，则
d
< br>
r
点
P
在圆外
;
d
r
点
P
在圆上
;
d
r
点
P
在圆内
.
89.
直线与圆的位置关系
直线
Ax
By
C
0
与圆
(
x
a
)
2
< br>(
y
b
)
2
r
2
的位置关系有三种
:
d
r
相离
0
;
d
r
相切
0
;
d
r
相交
<
/p>
0
.
其中
d
Aa
Bb
C
A
B
2
2
.
90.
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
，
O
2
，半径分别为
r
1
，
r
< br>2
，
O
1
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4
条公切线
;
d
r
1
r
2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
< br>
r
2
相交
2
条公切线
< br>;
d
r
1
r
2
内切
1
条
公切线
;
0
d
r
1
r
2
内含<
/p>
无公切线
.
91.
圆的切线方程
(1)
已知圆
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
．
①若已知切点
(
x
0
,
y
0
< br>)
在圆上，则切线只有一条，其方程是
D
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y<
/p>
)
F
0
.
2
2
D
(
x
0
x
)
< br>E
(
y
0
y
)
F
0
表示过
两
当
(
x
0<
/p>
,
y
0
)
圆外时
,
x
0
x
y
0
y
2
2
x
0
x
< br>
y
0
y
个切点的切点弦方程．
②过圆外
一点的切线方程可设为
y
y
0
k
(
x
x
0
< br>)
，再利用相切
条件求
k
，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于
y
轴的切线．
③斜率为
k
的切线方程可设为
y
kx
b
，
再利用
相切条件求
b
，
必有两条切线．
(2)
已知圆
x<
/p>
2
y
2
r
2
．
①过圆上的
P
0
(
x
0
,
y
0
)
点的切线方程为<
/p>
x
0
x
y
0
y
r
2
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y
kx
r
1
k
2
.
x
a
cos
x
2
y
2
92.
椭圆<
/p>
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
.
a
b
<
/p>
y
b
sin<
/p>
x
2
y
2
93.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
焦半径公式
a
b