初中数学常用公式(中考用)
-
中考数学常用公式及性质
1
．
乘法与因式分解
①
< br>(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－<
/p>
b
2
；
②
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±
2
ab
< br>＋
b
2
；
③
(
a
＋
b
)(
a
2
－<
/p>
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
＋
b
3
；
④
(
a
< br>－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；
a
2
＋
b
2
＝
(
a
＋
b
)
< br>2
－
2
ab
；
(
a
－
b
)
2
＝
(<
/p>
a
＋
b
)
2
－
4
ab
。
2
．
幂的运算性质
①
a
×
a
＝
a
⑥
a
-
n<
/p>
＝
m
n
m
+
n
a
＝
a
；
②
a
÷
m
n
m
-
n
a
n
a
n
；
③
(<
/p>
a
)
＝
a
；
④
(
ab
)
＝
a
b
；
⑤
(
)
< br>＝
n
；
b
b
m
n
m
n
n
n
n
1<
/p>
(
)
-
n
＝
(
)
n
；
⑦
a
0
＝
1(
a
≠0)
。
n
，特别：
a
3
．
二次根式
①
(
)
2
＝
a<
/p>
(
a
≥0)
；<
/p>
②
＝丨
a
丨；<
/p>
③
＝
×
；
④
＝
(
a
＞
0
，
b
≥0)
。
4
．
三角不等式
|a|-
|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
（定理）
；
加强条件：
||a|-
< br>|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
也成立，这个不等式也可称为向量的三角
不等式（其中
a
，
b
< br>分别
为向量
a
和向量
b
）
|a+b|≤|a|+|b|
；
|a-
b|≤|a|+
|b|
；
|a
|≤b<=>
-
b≤a≤b
；
|a-
b
|≥|a|
-|b|
；
-
|a|≤a≤|a|
；
5
．
某些数列前
n
项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
；
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n
2
；
2+4+6+8+10+12+1
4+…+(2n)=n(n+1)
；
1
2
+2
2
+
3
2
+4
2
+
5
2
+6
2
+
7
2
+8
2
+
…+n
2
=n(n+1)(2n+1)/6
；
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3
=n
2
(n+1)
2
/4
；
< br>1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6
*7+…+n(n+1)=n(n
+1)(n+2)/3
；
6
．
一元二次方程
对于方程：
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
：
b
b
2
4
ac
2
①
求根公式
是
x
＝
，其中
△
＝
b
－
4
ac
叫做根的判别式。
2
a
2
当
△
＞
0
时，方程有两个不相等
的实数根；
当
△
＝
0
时，方程有两个相等的实数根；
当
△
＜
0
时，方程没有实数根．注意：当
△
≥0
时，方程有实数根。
②
若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，则二次三项式
< br>ax
2
＋
bx
< br>＋
c
可分解为
a
(
x
－
x
1
)(
x
－
x
2
)
。
第
1
页
共
9
页
1
③
以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab
＝
0
。
7
．
一次函数
一次函数
< br>y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的图象是一条直线
(
b
是直线与<
/p>
y
轴的交点的纵坐标，称为截距
)
。
①
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
(
直线从左向右上升
)
；
②
当
k
＜
0
时，
y<
/p>
随
x
的增大而减小
(
直线从左向右下降
)
；
③
特别地：当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
≠0)
又叫做正比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，图象必过原点。
8
．
反比例函数
反比例函数
y
＝
(
k
< br>≠0)
的图象叫做双曲线。
①
当
k
＞
0
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限内，
从左向右降
)
；
②
当
k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象
限内，从左向右上升
)
。
9
．
二次函数
（
1
）
.
定义：
一般地，如果
y
ax
2
bx
< br>c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数。
（
2
）
.
抛物线的三要素：
开口方
向、对称轴、顶点。
①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②
平行于
y
轴（或
重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线<
/p>
x
0
。
（
3
）
.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
y
ax
2
y
ax
2
k
y
a
x
h
2
开口方向
对称轴
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
b
4
ac
<
/p>
b
2
(
，
)
2
a
4
a
x
0
（
y
轴）
当
a
0
时
开口向上
当
a
0
时
开口向下
x
0
（
y
轴）
x
h
x
h
b
x
2
a
y
a
x
< br>
h
k
2
y
ax
bx
c
2
（
4
）
.
求抛物线的
顶点、对称轴的方法
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
2
（
，
）
①公
式法：
y
ax
bx
c
a
x
<
/p>
，
∴
顶点是
，对称轴是
2
a
4
a
2
a<
/p>
4
a
第
2
页
共
9
页
2
2
直线
x
<
/p>
b
。
2
a
2
②配方法：运用配方的方法，将抛
物线的解析式化为
y
a
x
h
< br>
k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，对称轴是直线
x
h
。
③运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，
对称轴与抛物线的交点
是顶点。
(
x
2
,
y
)
（及
y
值相同）
若已知
抛物线上两点
(
x
1
< br>,
y
)
、
，
则对称轴方程可以表示为：
x
<
/p>
2
y
ax
bx
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
（
5
）
.
抛物线
x
1
x
2
2
①
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
ax
2
中的
a
完全一样。
②
b
和
a
共同决定抛
物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
2
bx
c
的对称轴是
直线。
b
b
x
，故：
①
b
0
时，
对称轴为
y
轴；
②
0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴
2
a
a
b
左侧；
③
0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右
侧。
a
③
c
的大小
决定抛物线
y
ax
< br>2
bx
c
与
y
轴交点的位置。
当
x
0
时，
y
c
，
∴
抛物线
y
ax
2
bx
c
与
y
轴有且只有一个交点（
0
，
c
）
：
①
c
0
，抛物线经过原点
;
< br>②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；
③
c
0
< br>,
与
y
轴交于负半轴
.
b
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则
0
。
a
（
6
）
.
用待定系数法求二次函数的解析式
①一般
式：
y
ax
2
bx
c
.
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常选择一般式
.
②顶点式：
y
a
x
h
k
.
已知
图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
2
③交点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交点式：
y
a
x
x
1
x<
/p>
x
2
。
（
7
）
.
直线与抛物线的交点
①
y
轴与抛物线
y
ax
2
bx
c
得交点为
(0,
c
)
。
②抛物
线与
x
轴的交点。
二次函数
y
ax
2
bx
c
的图
像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2
，是对应一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
.
抛物线与
x
轴的交点情况可
以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a
有两个
交点
(
0
)
抛物线
与
x
轴相交；
b
有一个
交点（顶点在
x
轴上）
(
0
< br>)
抛物线与
x
轴相切；
c
没有交点
(<
/p>
0
)
抛物线与
x
轴相离
。
③平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
同②一
样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为
k
，则横坐标是
< br>ax
2
bx
< br>
c
k
的两个实数根。
第
3
页
共
9
页
3