初三数学竞赛常用公式
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初中数学引申常用公式
1.
< br>如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角，由于这些角的和应为，因此
k
×
(n-2)180
°／
n=360
°化为（
n-2
）
(k-2)=4 2
弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180
3.
扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R^2
／
360=LR
／
2
4.
内公切线长
= d-(R-r)
外公切线长
= d-(R+r)
某些数列前
n
项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+
…
+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+
…
+(2n-1)=n2
2+4+6+
8+10+12+14+
13+23+33+43+53+63+
…
…
+(2n)=n(n+1)
n3=n2(n+1)2/4
12+22+32+42+52
+62+72+82+
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+
…
…
+n2=n(n+1)(2n+1)/6
+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
一些平面几何的著名定理
1
、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2
、射影定理（欧几里得定理）
<
/p>
3
、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成
2
：
1
的两部分<
/p>
4
、四边形两边中心的连线的两条对
角线中心的连线交于一点
5
、间隔
的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7
、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
< br>
8
、设三角形
ABC
的外心为
O
，垂心为
H
，从
O
向
B
C
边引垂线，设垂足不
L
，则
AH=2OL
9
、三角形的外心，垂心，重
心在同一条直线上。
10
、
（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边
所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11
、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于
同一直线（欧
拉线）上
12
、库立奇大上定理：
（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，
过其中任三点作三角形，
这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆
周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫
做圆内接四边形的九点圆。
13
、
（
内心）
三角形的三条内角平分线交于
一点，
内切圆的半径公式：
r=(s-a)(s-b)
(s-c)ss
为三角形周长的一半
14
、
（旁心）三角形的一个内角平分
线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15
、中线定理：
（巴布斯定理）设三角形
ABC
的边
BC
的中点为
P
，则有
AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16
、斯图尔特定理：
P
将三角形
ABC
的边
BC
内分成
m:n
，则有
n<
/p>
×
AB2+m
×
AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17
、波罗
摩及多定理：圆内接四边形
ABCD
的对角线互相垂直时，连接
AB
中点
M
和
对角线交点
E
的直线垂直于
CD <
/p>
18
、
阿波罗尼斯定理：
到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m:n
（值不为
< br>1
）
的点
P
，
位于将线段
AB
分成
m:n
的内分点
C
和外分
点
D
为直径两端点的定圆周上
19
、托勒密定理：设四边形
ABCD
内接于圆，则有
AB
×
CD+AD
×
BC=AC
20
、以任意三角形
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB
为底边，分别向外作底角都是
30
度的等
腰△
BDC
、△<
/p>
CEA
、△
AFB
，则△
DEF
是正三角形，
21
、爱尔可斯定理
1
：若△
ABC
和三角形△都是正三角形，则由线段
AD
、
BE
、
CF
的重心构成的三角形也是正三角形。
<
/p>
22
、
爱尔可斯定理
2
：
若△
ABC
< br>、
△
DEF
、
< br>△
GHI
都是正三角形，
则由三
角形△
ADG
、
△
BEH
、△
CFI
的重心构成的三
角形是正三角形。
23
、梅涅劳斯
定理：设△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线和一条不经过它们
任一顶点的直线的交点分别为
P
、
Q
、
< br>R
则有
BPPC
×
CQQA
×
ARRB=1
24
、梅涅劳斯定理的逆定理：
（略）
25
、
梅涅劳斯定理的应用定
理
1
：
设△
A
BC
的∠
A
的外角平分线交边
CA
于
Q
、
∠
C
的平分线交边
AB<
/p>
于
R
，
、∠
B
的平分线交边
CA
于
Q
，则
P
、
Q
、
R
三点
共线。
26
、梅涅劳斯定理的应用
定理
2
：过任意△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接
圆的切
线，分别和
BC
、
CA
、
AB
的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共线
27
、塞瓦定理：设△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形的边或它们的延长线
上的一点
S
连接面成的三条直线，分别与边
BC
、
CA
、
AB
或它们的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
BPPC
×
CQQA
×
ARRB()=1.
28
、塞瓦定理的应用定理：设平行于△
ABC
的边
BC
的直线与两边
AB
、
AC
的交点
分别是
D
、
E
，又设
BE
和
CD
交于
S
，则
AS
一定过边
BC
的中心
M
2
9
、塞瓦定理的逆定理：
（略）
<
/p>
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
1<
/p>
：三角形的三条中线交于一点
31<
/p>
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设△
ABC
的内切圆和边
BC
、
CA
、
AB
分别相
切于点
R
、
S
、
T
，则
AR
、
BS
、
CT
交于一点。
32<
/p>
、西摩松定理：从△
ABC
的外接圆上任
意一点
P
向三边
BC
< br>、
CA
、
AB
< br>或其延长
线作垂线，设其垂足分别是
D
< br>、
E
、
R
，则
D
、
E
、
R
共线，
（这条直线叫西摩松线）<
/p>
33
、西摩松定理的逆定理：
（略）
34
、史
坦纳定理：设△
ABC
的垂心为
H
，其外接圆的任意点
P
，这时关于△
ABC
的点
P
的西摩
松线通过线段
PH
的中心。
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和△
ABC
的
垂心
H
同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被
叫做点
P
关于△
A
BC
的镜象线。
36
、波朗杰、腾下定理：设△
ABC
的外接圆上的三点
为
P
、
Q
、<
/p>
R
，则
P
、
Q
、
R
关
于△
ABC
交于一点的充要条件是：弧
AP+
弧
BQ+
弧
CR=0(mod2
∏
).
37
、波朗杰、腾下定理推论
1
< br>：设
P
、
Q
、
R
为△
ABC
< br>的外接圆上的三点，若
P
、
Q<
/p>
、
R
关于△
AB
C
的西摩松线交于一点，则
A
、
B
、
C
三点关于△<
/p>
PQR
的的西摩松线交
于与前相同的一点
38
、
波
朗杰、
腾下定理推论
2
：
在推论
1
中，三条西摩松线的交点是
A
、
B
、
C
、
P
、
Q
、
R
六点任取三点所作的三角形的垂
心和其余三点所作的三角形的垂心的连线
段的中点。
39
、波朗杰、腾下定理推论
3
：考查△
ABC
的外接圆上的一点
< br>P
的关于△
ABC
的