高中数学88个常用公式及结论总结
-
高中数学常用公式及结论
1
元素与集合的关系
:
x
A
x
C
U
A
,
x
C<
/p>
U
A
x
A
.
Ø
A
A
2
< br>集合
{
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
}<
/p>
的子集个数共有
2
个；
真子集有
2
1
个；
非空子集有
2
1
个；
非空的真子集
有
2
2
个
.
3
二次函数的解析式的三种形式：
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
c
(
a
<
/p>
0)
;
2
(2)
顶点式
f
(
x
)
a
(
x
<
/p>
h
)
k
(
a
0)
;
（当已知抛物线的顶点坐标
(
h
,
k
)
时，设为此式）
n
n
n
n
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
；
（当已知抛物线与
x
轴的交点坐
标为
(
x
1
,
0),(
x
2
,0)
< br>时，
设为此式）
（
4
）切线式：
f
(
x
)
a
(
x
x
0
)
2
(
kx
d
),
(
a
0
)
。
（当已知抛物线与直线
y
kx
d
相切且切点
的横坐标为
x
0
时，设为此式）
4
真值表：
同真且真，同假或假
5
常见结论的否定形式
;
原结论
反设词
是
不是
都是
不都是
大于
不大于
小于
不小于
对所有
x
，成立
存在某
< br>x
，不成立
对任何
x
，不成立
存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n
1
）个
< br>
至少有（
n
1
）个
< br>p
且
q
p
且
q
p
或
q
6
四种命题的相互关系
(
下图
):
（
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同
假
.
）
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
充要条件：
(1)
< br>、
p
q
，则
P
是
q
的充分条件，反之，
q
是
p
的必要条件；
（
2
）
、
p
q
，且
q
≠
>
p
，则
P
是
q
的充分
不必要条件；
(3)
、
p
≠
>
p
，
且
q
p
，则
P
是
q
的必要
不充分条件；
4
、
p
≠
>
p
，且
q
≠
>
p
，则
P
是<
/p>
q
的既不充分又不必要条件。
7
函数单调性
:
< br>增函数：
(1)
、文字描述是：
y
随
x
的增大而增大。
（
2
）
、数学符号表述是：设
f
（
x
）在
x
D
上有定义，若对任意的
x
1
< br>,
x
2
D
,
且
x
1
x
2
，都有
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
成立，则就叫
f
（
x
）在
x
D
上是增函数。
D
则就
是
f
（
x
）的
递增区间。
1
减函数：
(1)
、文字描述是：
y
随
x
的增大而减小。
（
2
）
、数学符号表述是：设
f
（
x
）在<
/p>
x
D
上有定义
，若对任意的
x
1
,
< br>x
2
D
,
且
x
1
x
2
，都有
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
成立，则就叫<
/p>
f
（
x
）在
x
D
上是减函数
。
D
则就是
f
（
x
）的递减区间。
单调性性质：
(1)
、增函数
+
增函数
=
增函数；
< br>（
2
）
、减函数
+
减函数
=
减函数；
(3)
、
增函数
-
减函数
=
增函数；
(4)
、减函数
-
增函数
=
减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集
。
复合函数的单调性：
函数
单调
内层函数
外层函数
复合函数
等价关系：
单调性
↓
↓
↑
↑
↑
↑
↑
↓
↓
↓
↑
↓
(1)
设
x
1
,
x
2
a
,
b
,
x
1
x
< br>2
那么
f
(
x
1
)
f
(
x
2<
/p>
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
< br>1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
<
/p>
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
<
/p>
0
(2)<
/p>
设函数
y
f<
/p>
(
x
)
在某个区
间内可导，
如果
f
< br>(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为增函数；
如果
f
(
x
)
0
，<
/p>
则
f
(
x
)
为减函数
.
8
函数的奇偶性：
< br>（注：
是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：
在前提条件下，若有
f
(
x
)
f
(
x
)
或
f
(
x
)
f
< br>(
x
)
0
，
则
f
（
x
）就是奇函数。
< br>
性质
：
（
1
）
、奇函数的图象关于原点对称；
（
2
）
、
奇函数在
x
>
0
和
x
<
0
上
具有
相同
的单调区间；
（
3
）
、定义在
R
上的奇函数，有
f
（<
/p>
0
）
=0
.
偶函数：
定义：
在前提条件下，若有
f
(
x
)
f
(
x
< br>)
，则
f
（
x
）就是偶函数。
性质
：
（
1
）
、偶函数的图象关于
y
轴对称；
（
2
）
、偶函数在
x
>
0
和
x
<
0
上具有
相反
的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)
、奇函数·偶函数
=
奇函数；
< br>
（
2
）
、奇函数·奇函数
=
偶函数；
(3)
、偶奇函数·偶函数
=
偶函数；
(4)
、奇函数±奇函数
=
奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)
、偶函数±偶函数
=
偶函数；
(6)
、奇函数±偶函数
=
非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，
偶函数的图
象关于
y
轴对称
;
反过来，
如果一个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数
是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
轴对称，那么这个函数是
偶函数．
9
函数的周期性：
< br>定义：
对函数
f
（
x
）
，
若存在
T
0
，
< br>使得
f
（
x+T
）
=f
（
x
< br>）
，
则就叫
f
< br>（
x
）
是周期函数，
其中，
T
是
f
（
x
）
2
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
<
/p>
(1)
、
f
（<
/p>
x+T
）
=
-
f
（
x
）
，此
时周期为
2T
；
< br>（
2
）
、
f
（
x+m
）
=f
（
x+n
）
，此时周期为
2
m
n
；
(3)
、
f
(
x
m
)
10
常见函数的图像：
y
y
y
y
1
，此时周期为
2m
。
f
(
x
)
k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
2 <
br>b <
br>( <
br>
<
br>1 n
0
1
o
x
y=log
a
x
0
a>1
y=kx+b
a>0
y=ax
+bx+c
o
1
a>1
x
11
对于函
数
y
f
(<
/p>
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
x
)
恒成立
,
则函数
f
x
)
的对称轴是
x
个函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
12
分数指数幂与根式的性质：
(1)
a
m
n
a
b
;
两<
/p>
2
b
a
对称
.
2
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
）
.
m
（
2
）
a
1
m<
/p>
n
1
n
a
n
（
3
）
(
n
a
)
a
.
< br>a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
. <
/p>
（
4
）当
n
为奇数时，
a
n
a
；当
n<
/p>
为偶数时，
a
|
a
|
<
/p>
n
n
n
a
,
a
0
.
a
,
a
0
< br>
13
指数式与对数式的互化式
:
log
a
N
b
a
b
N
(
a
< br>
0,
a
1,
N
0)
.
指数性质：
(1)
1
、
a
p
r
s
1
0
mn
m
n
a
(
a
)
a
1
；
（
2
）
、
（
）
；
(3)
、
a
0
p
a
r
< br>
s
(4)
、
< br>a
a
a
指数函数：
(
< br>a
0,
r
,
s
Q
)
；
(5)
、
a
n
a
m
；
m
n
x
(1)
、
y
a
(
a
1)
在定义域内是
单调递增函数；
x
（
2
）
、
y
a
(0
a
1)
在定义域内是单调递减函数。
注：
指数
函数图象都恒过点（
0
，
1
）
对数性质：
(1)
、
log
a
M
log
a
N
log
a
(
M
N
)
；
（<
/p>
2
）
、
log
a
M
log
a
N
log
a
M
；
N
3
(3)
、
l
og
a
b
m
m
log
a
b
；
(4)
、
log
a
m
b
n
(6)
、
log
a
a
1
；
(7)
、
a
对数函数：
log
a
b
n
log
a
b
；
(5)
、
log
a
1
0
m
b
(1)
、
y
log
a
x
(
a
1)<
/p>
在定义域内是单调递增函数；
（
2
）
、
y
log
a
x
(0
a
1)
在定义域内是单调递减函数；
注：
对数
函数图象都恒过点
（
1
，
0
）<
/p>
(3)
、
log
a
x
0
a
,
x
(0,1)
或
a
,
x
(1,
)<
/p>
(4)
、
lo
g
a
x
0<
/p>
a
(0,1
)
则
x
(1
,
)
或
a
(1,
)
则<
/p>
x
(0,1)
14
对数的换底公式
:
log
a
N
对数恒等式：
a
log
a
N
log
m
N
(
a
<
/p>
0
,
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
N
(
a
0
,
且
a
1
,
N
0
).
推论
log
a
m
b
n
<
/p>
n
log
a
b<
/p>
(
a
0
,
且
a
1
,
N
0
).
m
M
log
a
M
log
a
N
;
N<
/p>
n
N
n
log
a
N
(
n
,
m
R
)
。
m
15
对数的四则运算法则
:
若
a
＞
0
，
a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
< br>，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
; (2)
log
a
(3)
log
a
M
< br>n
n
log
< br>a
M
(
n
R
)
; (4)
log
a
m
16
平均增长率的问题（负增长时
p
0
）
：
x
如果原来产值的基础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x<
/p>
的总产值
y
，有
y
N
(1
p
)
.
17
等差数列：
通项公式：
（
1
）
a
n
a
1
(
n
1)
d
，其中
a
1
为首项，
d
为公差，
n
为项数，
a
n
为末项。
（
2
）推广：
a
n
a
k
(
n
k
)
d
（
3
）
< br>a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
前
n
项和：
（
1
）
S
n
n
(
a
1
a
n
)
；其中
a
1
为首项，
n
为项数，
a
n
为末项。<
/p>
2
n
(
n
1)
（
2
）
S
n
na
1
d
2
（
3
）
S
n
S
n
1<
/p>
a
n
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
（
4
）
S
n
a
1
a
2
L
a
n<
/p>
（
注
：
该公式对任意
数列都适用）
常用性质：
（
1
）
、若
m+n=p+
q
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
；
注：
若
a
m
是
a
n
,
a
p
的等差中项，则有
2
a
m
a
n
a
p
n
、
m
< br>、
p
成等差。
4
（
2<
/p>
）
、若
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
n
为等差数列
。
（
3
）<
/p>
、
a
n
为等差数列，
S
n
为其前
n
项和，则
S
m
,
S
2
m
S
m<
/p>
,
S
3
m
S
2
m
也成等差数列。
（
4<
/p>
）
、
a
p
q
,
a
q
p
,
则
a
p
q
0
；
（
5
）
1+2+3+
…
+n=
等比数列：
通项公式：<
/p>
（
1
）
a
n
a
1
q
n
1
n
(
n
1
)
2
a
1
n<
/p>
q
(
n
N
*
)
，其中
a
1
为首项，
n
为项数，
q<
/p>
为公比。
q
（
2
）推广：
a
n
a
k
<
/p>
q
n
k
（
3
）
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
前
n
项和：
（
1
）
S
n
S
n
1
a
n
(
n
2)
（
注
：
该公式
对任意数列都适用）
（
2
）
S
n
a
1
a
2
L
a
n
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
na
1
（
3
）
S
n
a
1
(1
q
n
)
1
q
(
q
1)
(
q
1)
常用性质：
（
1
）
、若
m+n=p+q
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
；
注：
若
a
m
是
a
n
,
a
p
的等比中项，则有
a
m
a
n
a
p
< br>
n
、
m
、
p
成等比。
（
2
）
、若
a
n
、
b
n
为等比数列，则
a
n
b
n
为等比数列。
2
ab
(1
b
)
n
18
分期付款
(
按揭贷款
)
：每次还款<
/p>
x
元
(
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利率为
b
).
(1
b
)
n
1
19
三角不等
式：
（
1
）
若
x
(0,
(2)
若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
20
同角三角函数的基本关系式
：
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
sin
，
cos
21
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
m
sin
sin
;
5
tan(
)
tan
tan
. <
/p>
1
m
tan
<
/p>
tan
b
).
a
a
sin
b
cos
=
a
2
b
2
sin(
)
(
辅助角
所
在象限由点
(
a
,
b
)
的象限决定
,
tan
23
二倍角公式及降幂公式
sin<
/p>
2
sin<
/p>
cos
<
/p>
2
2
tan
<
/p>
.
2
1
tan
2
2
2
1
tan
2
cos
2
cos
sin
2cos
1<
/p>
1
2sin
.
1<
/p>
tan
2
<
/p>
2
tan
si
n
2
1
<
/p>
cos
2
.
tan
2
tan
2
1
<
/p>
tan
1
<
/p>
cos
2
si
n
2
1
<
/p>
cos
2
1<
/p>
cos
2
<
/p>
sin
2
<
/p>
,cos
2
2
2
24
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
< br>R(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0)
的周期
T
2
；
函数
y
tan(
x
)
，
x
< br>k
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，
且
A
≠
0)
的周期
T
.
|
|
|
|
2
三角函数的图像：
y
y=sinx
-
π
1
y=cosx
π
/2
π
3
π<
/p>
/2
2
π
y
1
-
π
/2
-2
π
-3
π
/2
o
-1
x
-2
π
-3
π
/2
-
π
-
π
/2
o
-1
π
/2
π
3
π
/2
2
π
x
25
正弦定理
：
a
b
c
2
R
（
R
为
ABC
外接圆的半径）
.
sin
A
sin
B
sin
C
a
2
R
sin
A
,
b
2
R
sin
B
,
c
2
R
sin
C
a
:
b
:
c
sin
A
:sin
B
:sin
C
26
余弦定理：
a
2
b
2
c
2
<
/p>
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
< br>.
27
面积定理：
1
1
1
ah
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
s
in
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
u
u
u
r
u
u
u<
/p>
r
2
u
u
u
r
u
u
u
r
2
1
(3)
S
OAB
(|
OA
|
|
OB
|)
(
OA
OB
)
.
2
a
b
－
< br>c
斜边
2
S
r
内切圆
,
r
直角
内切圆
a
b
c
2
（
1
）
S
28
三角形内
角和定理
：
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A<
/p>
B
)
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
29
实数与向量的积的运算律
:
设λ、μ为
实数，那么：
r
r
(1)
结合律：λ
(
μ
a
)=(
λμ
)
a
;
r
r<
/p>
r
(2)
第一分配律：
< br>(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
6