高考数学公式大全(完整版)
-
高中数学常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U<
/p>
A
x
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
< br>U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
U
A
< br>
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA<
/p>
cardB
cardC
card
(
A
B
)
< br>
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
< br>
card
(
C
A
)
card
(
A
B
C
< br>)
.
n
n
n
5
．
集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
个；
真子集有
2
–
1
个；
非空子集有
2
–
1
个；非空的真子集有
2
n
–
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
bx
c<
/p>
(
a
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
<
/p>
a
(
x
h
)
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
x
)
< br>
M
常有以下转化形式
2
2
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
f
(
x
)
N
M
< br>N
M
N
0
|
|
f
(
x
)
M
f
(
x
)
2
2
< br>1
1
.
f
(
x
)
N
M
<
/p>
N
8.
方程
f<
/p>
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与<
/p>
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前者是后
2
者的一个必要而不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
有且只有一个实根在
k
k
2
b
(
k
1
,
k
2
)
内
,
等价于
f
(
k
1
)
f
< br>(
k
2
)
0
,
或
f
(
k
1
)
0
且
k
1
1
,
或
f
< br>(
k
2
)
0
且
2
a
2
k
1
k
2
b
k
2
.
2
2
a
9.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0<
/p>
)
在闭区间
p
,
q
上的最
值只能在
x
2
b
处及区
2
a
；
间
的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，
若
x
b
b
p
,
q
，
()
n
m
f
(
,
)
()
f
x
则
< br>f
x
i
2
a
2
a
x
m
a
x
m
a
(
f
,
)
p
()
f
q
b
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
(2)
当
a<0
时
，
若
x
p
< br>,
q
，
则
f
(
x
m
)
i
m
i
n
f
p
(
)
f
q
(
若
)
< br>
,
，
n
2
a
x
x
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
< br>
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
10.
一元二次方程的实根分布
依据：若
f
(<
/p>
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个实根
.
设
f
(
x
)
x
2
px
q
，则
p
2
4
q
< br>
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在
区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
；
m
2
<
/p>
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
p
2
4
q
<
/p>
0
m
p
n
2
f
(
m
)
0
f
(
n
)
<
/p>
0
或
或
；
af
(
n
)
0
af
(
m
)
0
p
2
4
q
0<
/p>
（
3
）方程<
/p>
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
11.
定区间上含参数的二次不等式恒成
立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形
如
,
<
/p>
，
,
，
,
不同）
上含参数
的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
< br>(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立
的充要条件是
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
a
< br>
0
a
0
4
2
(3)
f
(
x
)
ax
<
/p>
bx
c
0
恒成立的充要条件是
< br>b
0
或
2
.
b
4
ac
0
c
0
12.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有
n
个
小于
不小于
至多有
n
个
对所有
x
，
存在某
x
，
成立
不成立
p
或
q
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
成立
p
且
q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有
< br>（
n
1
）
个
至少有
（
n
1
）
个
p
且
q
p
或
q
14.
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q<
/p>
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
< br>0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是增
函数；
x
1
x
2
f
(<
/p>
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
< br>(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
x
1
< br>
x
2
(2)
< br>设函数
y
f
< br>(
x
)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如果
f
(<
/p>
x
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
.
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(<
/p>
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
< br>)
也是减
函数
;
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上都是减函数
,
则复合函数
y
< br>f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)<
/p>
f
(
x
2
)
0
18
．奇偶函数的图
象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，
如果一个函数的图
象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；<
/p>
如果一个函数的图象关于
y
轴对称，
那么这个函
数是偶函数．
19.
若函数
y
f
(
x
)
是偶函数，
则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；
若函数
y
f
(
x
a<
/p>
)
是偶函
数，则
f
(
x
a<
/p>
)
f
(
x
a
)
.
20.
对于函数<
/p>
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
< br>)
f
(
b
x
)
恒
成立
,
则函数
f
(
x
)
的对称轴是
< br>函数
x
a
b
a
b
;
两个函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
对称<
/p>
.
2
2
a
21.
若
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
< br>则
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
关
于
点
(
,
0
)
对
称
;
若
2
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则函
数
y
f
(<
/p>
x
)
为周期为
2
a
的周期函数
.
n
n
1
22
．多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
a
n
1
x
<
/p>
a
0
的奇偶性
多项式函数
P
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函
数
P
(
x
)<
/p>
是偶函数
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
23.
函数
y
f
(
x
)
的图象的对称性
(1
)
函数
y
f
(
x
)
的图象
关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
<
/p>
f
(
a
x
)
f
(2
a
x
)
< br>f
(
x
)
.
(2)
函数
y
< br>
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
b
对称
f
(
a
mx
)
f
(
b
m
x
)
2
<
/p>
f
(
a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x<
/p>
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
a
b
对称
.
2
m
(
x
< br>)
的图象关于直线
y=x
对称<
/p>
.
25.
若将函数
y
f
(
x
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图
象；
若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、
上移
b
个单位，
得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图
象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
27.
若
函
数
y
f
(
kx
b
)
存
在
反
函
数
,
则
其
反
函
数
为
y
1
1
[
f
(
x
< br>)
b
]
,
并
不
是
k
y
[
f
1
(
kx
b
)
,
而函数
y
[
f
1
(
kx
b
)
< br>是
y
1
[
f
(
x
)
b
]
的反函
数
.
k
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
< br>)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(<
/p>
x
)
f
(
y
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
< br>f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
< br>对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f<
/p>
(
a
)
1(
a
0,
a
1)
.
(4)
幂函数
f
(<
/p>
x
)
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
< br>y
),
f
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
x
)
sin
x
，
f
(
x
y
)
< br>
f
(
x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
)
，
'
x
f
(0)
1,lim
x
0
g
(
x
)
1
.
x
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)<
/p>
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
< br>0
，
1
(
f
(
x
)
0
)
，
f
(
x
)
1
或
f
(
x
a
< br>)
(
f
(
x
)
0)
,
f
(
x
)
1
2
或
f
(
x
)
f
(
x
)
< br>f
(
x
a
),(
f
(
x
)
0
,1
)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=2a
；
2
1
(
f
(
x
)
0
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=3a
；
(3)
f
(
x
)
1
f
(
x
a
< br>)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1,
0
|
x
1<
/p>
x
2
|
2
a
)
，则
1
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
f
(
x
)
的周期
T=4a
；
(5)
f
(
x
)
f
(
x
a
)<
/p>
f
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
<
/p>
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f<
/p>
(
x
4
a
)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=5a
；
(6)
f
(
x
a
)
f
(
x
)
< br>
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周
期
T=6a.
或
f
< br>(
x
a
)
30.
分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
1
n
m
n
a
m
1
m
n
（
a
<
/p>
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
< br>1
）
.
a
31
．根式的性质
n
（
1
）
(
n
a
)
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
a
a
r
s
r
rs
r
r
r
s
r
s
a
,
a
0
.
a
,
a
0
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
)
a
(
a<
/p>
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
a
b
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．
上述有理指数幂的运算性
质，对于无理
数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
log
m
N
(
a
0
,<
/p>
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
n
n
推论
lo
g
a
m
b
<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
log
a
N
35
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
M
log
a
M
log
a
N
;
N
n
(3)
log
< br>a
M
n
log
a
M
(
n
R
)
.
(2)
log
a
2
2
36.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
bx
c
)(
a
0
)
,
记
b
4
ac
.
若
f
(
x
)
的定义域为<
/p>
R
,
则
a
0
，且
0
;
若
f
(
x
)
< br>的值域为
R
,
则
a
0
，且
< br>
0
.
对于
a
0
的情形
,
需要
单独检验
.
37.
对数换底不等式及其推广
1
,
则函数
y
log
ax
(
bx
)
a
1
1
(1)
当
a
b
时
,
在
(0
,
)
和
(
,<
/p>
)
上
y
log
ax
(<
/p>
bx
)
为增函数
.
a
a
1
1
)
和
(
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为减函数
.
，
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
a
a
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
推论
:
设
n
m
1
，
p
0
，
a
0
，且
a
1
，则<
/p>
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
.
（
2
）
log
a
m
log
a
n
log
a
2
m
n
.
2
38.
平均增长率的问题
如果原来产值的基
础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y
N
(1
p
)<
/p>
x
.
39.
数
列的同项公式与前
n
项的和的关系
<
/p>
n
1
s
1
,
(
数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a
2
a
n
s
n
s
n
1<
/p>
,
n
2
40.
等差数列的通项公式
a
n
).
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
< br>
N
*
)
；
其前
n
项和公式为
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n<
/p>
1)
na<
/p>
1
d
2
2
d
1
n
2
(
a
1
d
)
n
.
2
2
s
n
41.
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
n
< br>1
a
1
n
q
(
n
N
*
)
；
q
其前
n
项的和公式为
a
1
(1
<
/p>
q
n
)
,
q
1
s
n
1
q
na
,
q
1
1
a
1
a
n
q
,
q
1
或
s
n
< br>1
q
.
na
,
q
1
1
4
2.
等比差数列
a
< br>n
:
a
n
1
q
a
n
d
,<
/p>
a
1
b
(
q
0)
的通项公式为
b<
/p>
(
n
1)
d
,
q
1
a
n
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d<
/p>
；
,
q
1
q
1
其前
n
项和公式为
nb
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
s
n
< br>
.
d
1
q
n
d
(
b
)
<
/p>
n
,(
q
1)
1
q
q
1
1
q
43.
分期付款
(
按揭贷款<
/p>
)
ab
(1
b
)
n
每次还款
x
元<
/p>
(
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利率为
b
).
n
(1
b
)
1
44
．
常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
)
，则
1<
/p>
sin
x
<
/p>
cos
x
2<
/p>
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
(2)
若
x
(0,
45.
同角三角函数的基本关
系式
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
46.
正弦、余弦的诱导公式
sin
，
tan
cot
1
.
cos
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
n
n
(
1)
2<
/p>
sin
,
si
n(
)
n
1
2
(
1)
2
co
s
,
n
)
co
s
,
n
(
1
2
co
s
(
)
n
1
2
(
1
)
2
s
< br>i
n
,
47.
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
<
/p>
tan
tan(
)
.
1
tan
tan
sin(
< br>
)sin(
)
< br>
sin
2
< br>
sin
2
< br>(
平方正弦公式
);
cos(
)co
s(
)
cos
2
sin
2
.
a
sin
b
cos
=
a
2
<
/p>
b
2
sin(
)
(
辅
助
角
所
在
象
限
由
点
(
a
< br>,
b
)
的
象
限
决
b
定
,
tan
).
a
4
8.
二倍角公式
sin2
2sin
cos
.
co
s
2
co
s
2
si
n
2
2c
os
2
1
1
2si
n
2
.
2
tan
.
tan
2
1
tan
2
49.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)sin
(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(<
/p>
)
tan(
)
. <
/p>
1
3tan
2
3
3
50.
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
< br>R(A,
ω
,
为常数，
且
A
≠
0
，
ω
＞
< br>0)
的周期
T
.
2
；函数
y
tan(
< br>
x
)
，
x
k
2
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
，
ω
＞
0)
的周期
T
.
51.
正弦定理
a
b
c
2
R
.
sin
A
sin
B
sin
C<
/p>
52.
余弦定理
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A<
/p>
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
< br>2
ab
cos
C
.
53.
面积定理
1
1
1
ah
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
< br>b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
< br>1
1
（
2
）
S
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
< br>2
2
1
(3)
< br>S
OAB
< br>(|
OA
|
< br>|
OB
|)
2
< br>
(
OA
OB
)
2
.
2
（
1
）
S
54.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，
有
A
B
<
/p>
C
C
(
A
B
)
C
A
B
2
C
2<
/p>
2(
A
B
)
.
2
2
2
k
55.
简单的三角方程的通解
<
/p>
sin
x
a<
/p>
x
k
(
1)
arcsin
a
(<
/p>
k
Z
,|
a
|
1)
.
co
s
x
a
<
/p>
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan
x<
/p>
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
56.
最简单的三角不等式及其解集
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
arcsin
a
),
k
Z
< br>.
sin
x
a
(|
a
|
< br>
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
< br>
arcsin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
2
arccos
a
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x<
/p>
(
k
arctan
a
,
k
2
),
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>
2
,
k
a
rctan
a
),
k
< br>
Z
.
57.
实数与向量的积的运算律
设
λ
、
μ
为实数，那么
(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λμ
)
< br>a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
58.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b<
/p>
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
59.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
< br>只有一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
< br>2
．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
60
．向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
< br>b
0
，则
a
b(b
0)
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
53.
a
与<
/p>
b
的数量积
(
或
内积
)
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
θ
．
61.
a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
< br>a
的长度
|
a
< br>|
与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|cos
θ
的乘积．
62.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
<
/p>
y
2
)
.
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)<
/p>
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
< br>
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x<
/p>
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2<
/p>
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
63.
两向量的夹角
公式
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
< br>AB
AB
< br>2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
< br>y
2
)
).
64.
平面两点间的距离公式
d
A
,
B
=
|
AB
|
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
< br>).
65.
向量的平行与垂直
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
< br>,
y
2
)
，且
b
0
，则
A
||
b
b
=
λ<
/p>
a
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
a
b(a
0)
a
·
b=
0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
66.
线段的定比分公式
设
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
< br>2
,
y
2
)
，
P
(
x
,
y
)
是线段
P
1
P
2
的分点
,
是实数
，且
PP
1
PP
2
，则
x
1
x
2
x
OP
1
1
OP
2
< br>OP
1
y
y
1<
/p>
y
2
1
1
t
（
）
.
< br>(1
t
)
OP
OP
tOP
1
2
1
67.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y<
/p>
1
)
、
B(x<
/p>
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y<
/p>
3
)
,
则△
ABC
的重心的坐
标是
G
(
x
1
x
2
x<
/p>
3
y
1
y
2
y
3
,
)
.
3
3
68.
点的平移公式<
/p>
'
'
x
x
h
x
x
< br>h
'
'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y<
/p>
k
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
P(x
，
y)
在平移后图形
F
上的对应点为
P
(
x
,
y
)
，且
PP
的
坐标为
(
h
,
k
)
.
69.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
'
'
'
'
'
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
< br>,
k
)
平移后得到点
P
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
< br>(
x
)
的图象
< br>C
按向量
a
=
< br>(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
则
C
的函数解析式
为
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式<
/p>
y
f
(
x
)
,
则
C
的函数
解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(4)
曲
线
C
:
f
(
x
,
y
)
0
按
向
量
a
=
(<
/p>
h
,
k
)
平
移
后
得
到
图
象
C
,
则
C
的
方
程
为
f
(
x
h
,<
/p>
y
k
)
0
.
(5) <
/p>
向量
m
=
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(
x
,
y
)
.
70.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
（
3
）
O
为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB<
/p>
cOC
0<
/p>
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
71.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
b
<
/p>
2
ab
(
当且仅
当
a
＝
b
时取
“=”号
)
．
2
2
2
2
2
'
'
'
'
'
'
'
a
b
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
．<
/p>
2
3
3
3
（
3
）
a
b
c
3
abc
(
a
0,
< br>b
0,
c
0).
（
2
）
a
,
b
R
<
/p>
（
4
）柯西不等式
(
a
2
b
2
)(
c<
/p>
2
d
2
)
(
ac
bd
)
2
,
a
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
<
/p>
b
a
b
a
b
.
72.
极值定理
已知
x
,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
推广
已知
x
,
y
R
，则有
(
x
y
)
(
x
y
)
2
xy
（
1
）若积
xy
是定值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
x
y
|
最大；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
x
y
|
最小
.
（
2
）若和
|
x
y
|
是定
值
,
则当
|
x
y
|
最大时
,
|
xy
|
最小；
当
|
x
y
|
最小时
,
|
xy
|
最大
.
7
3.
一
元
二
次
不
等
式
ax<
/p>
bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
4
ac
0)
，
如
果
a
与
2
2
1
2
s
.
4
2
2
ax
2
bx
c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
bx
c
异号，则其解集在两根之
间
.
简言之：同号两根之外，异号两根之间
.
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
；<
/p>
x
x
1
,
或
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0
(
x
1
x<
/p>
2
)
.
74.
含有绝对值的不等式
当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
a
x
a
.
2
x
a
< br>x
2
a
2
x
a
或
x
a
.
75.
无理不等式
< br>（
1
）
（
2
）
（
3
）
f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
0
< br>f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
<
/p>
g
(
x
)
g
(
x
)
0
或
g
(
x
)
0
f
(
x
)<
/p>
[
g
(
x
)]
2
f
(
x
)
0
< br>
.
f
(
x
)
g
(
x
)
<
/p>
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
76.
< br>指数不等式与对数不等式
(1)
当
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
< br>x
)
;
< br>f
(
x
)
0
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
(2)
当
0
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
< br>g
(
x
)
;
f
(
x
)
0
<
/p>
log
a
f
(<
/p>
x
)
log<
/p>
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
<
/p>
77.
斜率公式
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
< br>1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
.
x
2
x
1
78.
直线的五
种方程
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
< br>x
1
,
y
1
)
，且斜率为
k
< br>)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
<
/p>
y
1
x
2
x
1
x
y
(4)
截距式
1
(
a
、
b
分别为直线的横
、纵截距，
a
、
b
0
)
a
b
（
5
）一
般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、<
/p>
B
不同时为
0).
（
3
）两点式
79.
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
< br>k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2<
/p>
k
1
k
2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
< br>
l
2
k
1
k
2
1
.
(2
)
若
l
1
:<
/p>
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C<
/p>
2
0
,
且
A
1
、
A
2
、
B
1
、
B
2
都不为零
,
①
l
1
||
l
2
< br>
A
1
B
1
C
1
；
A
2
B
2
C
2
②
l
1
l
2
< br>A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
80.
夹角公式
(1)
tan
|
k
2
k
1
|
.
1
k
2
k
1
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
<
/p>
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
A
1
B
2
A
2
B
1<
/p>
|
.
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:
A
< br>1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
< br>
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
(2)
t
an
|
直
线
l
1
l<
/p>
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角
是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
.
2
k
2
k
1
.
1
<
/p>
k
2
k
1
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x<
/p>
b
2
,
k
1
k
2
1
)
A
B
A
2
B
1
(2)
tan
1
2
.
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
< br>1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
< br>B
1
B
2
0
).
(1)
< br>tan
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
< br>到
l
2
的角是
< br>
.
2
82
< br>．四种常用直线系方程
(1
)
定点直线系方程：经过定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
y
y
0
k
(
x
x
0
)
(
除直线
x
x
0
),
其
中
k
是
待
定
的
系
数
;
经
过
定
点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的
直
线
系
方
程
为
< br>A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系数．
(2
)
共点直线系方程：
经过两直线
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
< br>
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
的交点
的直线系方程为
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)
(
A
2
x
B
2
< br>y
C
2
)
0
(
除
l
2
)
，其中
λ
是待定的系数．
< br>(3)
平行直线系方程：直线
y
kx
b
中
当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线
系方程．与直线
Ax
By
C
< br>
0
平行的直线系方程是
Ax<
/p>
By
0
(
0
)
，
λ
是
参变量．
(4)
垂直直线系方程：与直线
Ax
By
C
0
(A
≠
0
，
B
≠
0)
垂直的直线系方程是
Bx
<
/p>
Ay
0
,
λ
是参变量．
83.
点到直线的距离
d
|
Ax
0
By
0
C
|
A
B
2
2
(
点
P
< br>(
x
0
,
y
0
)
,
直
线
l
：
Ax
By
C
<
/p>
0
).
84.
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
设直线
l
:
Ax
< br>By
C
0
，则
Ax
By
C
0
或
0
所
表示的平面区域是：
若
B
0
，
当
B
与
Ax
< br>By
C
同号时，
表示直线
l
的上方的区域；
当
B
与
Ax
By
C
异号
时，表示直线
l
的下方的区域
.
简言之
,
同号在上
,
异号在下
.
若
B
0
，<
/p>
当
A
与
Ax
By
C
同号时，
表示直线
l
的右方的区域；
当
A
与
Ax
By
C
异号时，表示直线
l
的左方
的区域
.
简言之
,
< br>同号在右
,
异号在左
.
85.
(
A
1
x
B
1
y
< br>C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2<
/p>
)
0
或
0
所表示的平面区域
设曲线
C
:
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
（
A
1
A
2
B
1
B
2<
/p>
0
）
，则
(
A
1
x
B
1
y
C
< br>1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)<
/p>
0
或
0
所表示的平面区域是：
< br>(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A<
/p>
2
x
B
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域上下两部分；
(
< br>A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2<
/p>
x
B
2
y
C
2
)
0
所表示的平面区域
上下两部分
.
86.
圆的四种方程
（
1
）圆的标准方程
(
x
a
)
(
y
b
)
r
.
（
2
）圆的一般方程
x
y
< br>
Dx
Ey
< br>
F
0
(
D
2
E
2
4
F
＞
0).
2
2<
/p>
2
2
2
x
a
r
cos
.
y
b
r
sin
0
圆的直径的端点是
（
4<
/p>
）圆的直径式方程
(
< br>x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y<
/p>
y
1
)(
y
y
2
)
(
A
(
x
1
,
< br>y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
).
（
3
）圆的参数方程
< br>
87.
圆系方程
(1)
过点
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
的圆系方程是
(<
/p>
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
< br>)(
y
y
2
)
[(
x
x
1
)(
y
1
<
/p>
y
2
)
(
y
y
1
)(
x
1
x
2
)]
0
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
(
ax
by
c
)
0
,
其
中
a
x
b
y<
/p>
c
0
是
直
线
AB
的方程
,
λ
是待定的系
数．
2
2
(
2)
过直线
l
:
Ax
By
C
0
与圆
C
:
x
y<
/p>
Dx
Ey<
/p>
F
0
的交点的圆系方程
是
x
y
Dx
Ey
F
(
Ax
<
/p>
By
C
)
0
,
λ
是待定的系数．
2
2
2
2
(3)
过圆
C
1
:
x
y
D
1
x
E
1
y
F
1
0
与圆
C
2
:
x
y
D
2
x
E
2<
/p>
y
F
2
0
的交
2
2
2
2
2
2
点的圆系方程是
x
y
D
1
x
E
1
y
F
1
< br>
(
x
y
D
2
x
E
2
y
F
2
)
0
,
λ
是待定的
系数．
88.
点与圆的位置关系
点
P
(
x
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
(
y
b
)
r
的位置关系有三种
若
d
(
a
x
0<
/p>
)
(
b
y
0
)
，则
2
2
2
2
2
d
< br>
r
点
P
在圆外
;
d
r
点
P
在圆上
;
d
r
点
P
在圆内
.
89.
直线与圆的位置关系
直线
Ax
By
C
0
与圆
(
x
a
)
(
< br>y
b
)
r
的位置关系有三种
:
2
2
2
d
r
相离
0
;
d
r
相切
0
;
d
r
相交
<
/p>
0
.
其中
d
Aa
Bb
C
A
B
2
2
.
90.
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
，
O
2
，半径分别为
r
1
，
r
< br>2
，
O
1
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4
条公切线
;
d
r
1
r
2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
< br>
r
2
相交
2
条公切线
< br>;
d
r
1
r
2
内切
1
条
公切线
;
0
d
r
1
r
2
内含<
/p>
无公切线
.
91.
圆的切线方程
(1)
已知圆
x
y
Dx
Ey
F
0
．
2
2
①若已
知切点
(
x
0
,
y
0
)
在圆
上，则切线只有一条，其方程是
D
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y
)
F
< br>0
.
2
2
D
(
x
0
x
)
E
(<
/p>
y
0
y
)
当
(
x
0
,
y
0
)
圆外时
,
x
0
x
y
< br>0
y
F
0
表
示过两个切点
2
2
< br>x
0
x
y
0
y
的
切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y
y
0
k
(
x
x
0
)
，再
利用相切条件求
k
，
这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于
y
轴的切线．<
/p>
③斜率为
k
的
切线方程可设为
y
kx
b
，再利用相切条件求
b
，必有两条切线．
(2)
已知圆
x
y
r
．
2
①过圆上的
P
0
(
x
0
,
y
0
)
点的切线方程为
x
0
x
y
0
y
r
;
2
2
< br>2
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y
kx
<
/p>
r
1
k
2
.
x
a
cos
x
2
y
2
92.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
.
a
b
y
b
sin
x
2
y
2
93.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
焦半径公式
a
b
a
2
a
2
PF
1
e
< br>(
x
)
，
PF
2
e
(
x
)<
/p>
.
c
c
94<
/p>
．椭圆的的内外部
x
< br>2
y
2
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0<
/p>
)
在椭圆
2
<
/p>
2
1(
a
b
0)
的内部
a
b
x
2
y
2
（
2
）点
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
在椭圆
< br>2
2
1(
a
b
0)
的外部
a
b
95.
椭圆的切线方程
2
2
x
0
y
0
2
1
.
2
a
b
2
2
x
0
y
0
1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
x
x
y
y
(1)
椭圆
< br>2
2
1(
a
b
0)
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
处的切线方程是
< br>0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x<
/p>
2
y
2
<
/p>
（
2
）过椭圆
2
2
1(<
/p>
a
b
0)
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
a
b
x
< br>0
x
y
0
y
2
1
.
2
a
b<
/p>
x
2
y
2
（
3
）
椭
圆
2
2
1(
a
b
0)
< br>与
直
线
Ax
By
C
0
相
切
的
条
件
是
a
b
A
2
a
2
B
2
b
2
c
< br>2
.
x
2
y
2
96.
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的焦半径公式
a
b
< br>a
2
a
2
PF
1
|
e
(
x
)<
/p>
|
，
PF
2
|
e
(
x
)
|
.
c
c
97.
双曲线的内外部
x
2<
/p>
y
2
(1)
点<
/p>
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的内部
a
b
x
2
y
2
(2)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
< br>
2
1(
a
0,
b
0)
的外部
a
b
2
2
x
0
y
0
<
/p>
1
.
a
2
b
2
2
2
x
0
y
0
2
< br>1
.
2
a
b