2020高中数学公式大全(最新最全版)
-
高中数学所有公式结论
（最新最全版）
目录
必修
1
..................................................
..................................................
..................................................
...... 2
第一章、集合
.............
..................................................
..................................................
..............................
2
第二章、函数
....................
..................................................
..................................................
.......................
4
第三章、基本初等函数
................
..................................................
..................................................
........... 7
必修二
...........
..................................................
..................................................
..................................................
.. 8
第一章、立体几何初步
.............
..................................................
..................................................
.............. 8
第二章、平面解析几何初步
..................................................
..................................................
................. 18
必修三
....
..................................................
..................................................
..................................................
....... 20
必修四
..............
..................................................
..................................................
...............................................
20
第一章
基本初等函数
II
.
..............................................
..................................................
...........................
20
第二章
平面向量
.......................
..................................................
..................................................
.......... 22
必修五
...........
..................................................
..................................................
..................................................
25
第一章
解三角形
.......................
..................................................
..................................................
.......... 25
第二章
数列
.........................
..................................................
..................................................
................ 27
第三章
不等式
............
..................................................
..................................................
.........................
27
选修
2-1
.
< br>............................................... .................................................. .................................................. ........... 28
第一章
常用逻辑用语
.........
..................................................
..................................................
................ 28
第二章
圆锥曲线与方程
........
..................................................
..................................................
............. 30
第三章
空间向量与立体几何
......
..................................................
..................................................
....... 33
选修
2-2
.
.......................................
..................................................
..................................................
................... 36
第一章
导数及其应用
.........
..................................................
..................................................
................ 36
第二章
推理与证明
..........
..................................................
..................................................
................... 38
第三章
数系的扩充与复数
.......
..................................................
..................................................
.......... 38
选修
2-3
.
....................................
..................................................
..................................................
...................... 41
第一章
计数原理
第二章
概率
..........................
..................................................
...................... 41
1
必修
1
第一章、集合
定义
1
一般地，
< br>一组确定的、
互异的、
无序的对象的全体构成集合，
简称集，
用大写字母来表示；
集合中的各个
对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x
在集合
A
中，称
x
属于
A
，记为
x
A
，否
则称
x
不属于
A
，记作
x
A
。
例如，通常用
N
，
Z
，
Q
，
B
，
Q
+
分别表示自然数
集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含
任何元素的集合称为空集，用
来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：
将集合中
的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方
法，如
{1
，
2
，
3}
；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如
{
有理数
}
，
{
x
x
0
}
分别表示有理数集和正实数集。
< br>
定义
2
子集：对于两个集
合
A
与
B
，如
果集合
A
中的任何一个元素都是集合
B
中的元素，则
A
叫
做
B
的子集，记为
A
B
，例如
N
Z
。规定空集是任何集合的子集，如果
A
是
B
的子集，
B
也是
A
的子集，则称
A
与
B
相等。
如果
A
是
B
的
子集，
而且
B
中存在元素不属于
A
，则
A
叫
B
的真子集。
便于理
解：
A
B
包
含两个意思：①
A
与
B
相等
、②
A
是
B
的真子集
定义
3
交集，
A
B
{
x
x
A<
/p>
且
x
B
}.
定义
4 <
/p>
并集，
A
B<
/p>
{
x
x
A
或
x
B
}.
定义
5
补集，若
< br>A
I
,
则
C
1
A
{
x
x
I
,
且
x
A
}
称为
A
在
I
中的补集。
定义
6
集合<
/p>
{
x
a
x
b
,
x
R
,
a
b
}
记作开区间
(
a
,
b
)
，集合
{
x
a
x
b
,
x
R
,
a<
/p>
b
}
记作闭区
间
[
a
,
b<
/p>
]
，
R
记作
(
,
).
定义
7
空集
∅
是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集。
补充知识点
对集合中元素三大性质的理解
（
1
）确定性
集合中的元素，
< br>必须是确定的．
对于集合
A
和元
素
a
，
要么
a
A
，
要么<
/p>
a
A
，
二者必居其一．
比
如：
“所有大于
100
的数”组成一个集合，集合中的元素是确定
的．而“较大的整数”就不能构成
一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的
树”、“较高的人”等都不能构成集合．
（
2
）互异性
对于一个给定的集合，
集合中的元素一定是不同的．
任何两个相同的对象在同一集合中时，
只
能算作这个集合中的一个元素．如：由
a<
/p>
，
a
2
组成一个
集合，则
a
的取值不能是
0
或
1
．
（
3
）无序性
，
2
，
3
组成一个集合，也可以写成
13
，
，
2
组成一个集合，
集合中的元素的次序无先后之分．如：由
1
它们都表示同一个集合．
2
学习集合表示方法时应注意的问题
（
1
）注意
a
与
a
的区别
．
a
是集合
a
的一个元素，
而
< br>
a
是含有一个元素
a
的集合，二者的关系
是
a
a
．
（
2
）注意
与
0
的区别．
<
/p>
是不含任何元素的集合，而
0
是含有元素
0
的集合
．
（
3
）在
用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或
R
来表示实数集
R
这一
类错误，因为
这里“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时，<
/p>
要特别注意这个集合中的元素是什么，
它应具备哪些特征性质，<
/p>
从而准确地理解集合的意义．例如：
集合
(
x<
/p>
，
y
)
y
x
中的元素是
(<
/p>
x
，
y
)
，这个集合表示二元方程
y
x
的解集，或者理解为曲
线
y
x
上的点组成的点集；
< br>
集合
y
y
x
中的元素是
y
，这个集合表示函数
y
集合
x
y
x
中的元素是
x
，这个集合表示函数
< br>y
x
中自变量
x
的取值范围；
x
中函数值
y
的取值范围；
集合
y
x
中的元素只有一个（方程
y
x
），它是用列
举法表示的单元素集合．
（
4
）常见题型方法：当集合中有
n
个元素时，有
2
n
个子集，有
2
n
-1
个真子集，有
2
n
-2
个非空真
子集。
3
第二章、函数
定义
1
映射，对于任意两个集合<
/p>
A
，
B
，依对应
法则
f
，若对
A
中的任意一个元素
x
，在
B
中都有
唯一一个元素与之对应，则称
f
:
A
→
B
为一个映射。
定义
2
函数，映射
f
:
A
→
B
中，若
A
，
B
都是非空数集，则这个映射
为函数。
A
称为它的定义域，
若
x
∈
A
,
y
∈
B
，且
f
(
x
)=
y
（即
x
对应
B
中的
y
），则
y
叫做
x
的象，
x
叫
y
的原象。集合<
/p>
{
f
(
x
)|
x
∈
A
}
叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，
此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值
范围，如函数<
/p>
y
=3
x
-1<
/p>
的定义域为
{
x
|
x
≥
0,
x
∈
R}.
定义
3
反函数，若函数
f
:
A
→
B
（通常记作
y
=
f
(
x
)
）是一一映射，则它的逆映射
f
-1
:
A
→
B
叫原函
数的反函数，通常写作
y
=
f
-1<
/p>
(
x
).
这里
求反函数的过程是：在解析式
y
=
f<
/p>
(
x
)
中反解<
/p>
x
得
x
=
f
-1
(
y
)
，
1
然后将
x
,
y
互换得
y
=
f
-1
(
x
)
，最后指出反函
数的定义域即原函数的值域。例如：函数
y
=
< br>的反
1
x
1
函数是
y
=1-
(
x
0).
x
补充知识点：
定理
1
互为反函数的两个函数的图
象关于直线
y
=
x
对称。
定理
2
在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义
4
函数的性质。
（
1
）单调性：设函数
f
(
x
)
在区间
I
上满足对任意的
x
1
,
x
2
∈
I
并且
x
1
<
x
2
，总有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)(
f
(
x
-
)>
f
(
x
2
))
，则称
f
(
x
)
< br>在区间
I
上是增（减）函数，区间
I
称为单调增（减）区间。
（
2
）奇偶性：设函数
y
=
f
(
x
)
的定义域为
D
，且
< br>D
是关于原点对称的数集，若对于任意的
x
∈
D
，都
有
f
(-
x
)=-
f
(
x
)
< br>，则称
f
(
x
< br>)
是奇函数；若对任意的
x
∈<
/p>
D
，都有
f
(-
x
)=
f
(<
/p>
x
)
，则称
f<
/p>
(
x
)
是偶函数
。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称。
（
3
）周期性：对于函数
f
(
x
)
，如果存在一个不为零的常数
T
，使得当
x
取定义域内每一个数时，<
/p>
f
(
x
+
T
)=
f
(
x
)
总成立，则称
f<
/p>
(
x
)
为周期函
数，
T
称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数
T
0
，则这个正数叫做函数
< br>f
(
x
)
的最小正周期。
定义
5
如果实数
a
<
b
，则数集
{
x
|<
/p>
a
<
x
<
b
,
x
∈
R}
叫做开区间，记作（
a
,
b
），集合
{
< br>x
|
a
≤
x
≤
b
,
x
∈
R}
记作闭区间
[
a
,
b
]
，集合
{
x
|
a
<
x
≤<
/p>
b
}
记作半开半闭区间（
a
,
b
]
，集合
{
x
|
a
≤
x
<
b
}
记作半闭半开区
间
[
a
,
b
< br>)
，集合
{
x
< br>|
x
>
a
}
记作开区间（
a
, +
∞），集合
{
x
|
x
≤
a
}
记作半开半闭区间（
-
∞
,
a
].
定义
6
函数的图象，
点集
{(
x
,
y
)|
y
=
< br>f
(
x
),
< br>x
∈
D}
称为函数
y
=
f
(
< br>x
)
的图象，
其中
D
为
f
(
< br>x
)
的定义域。
通过画图不难得
出函数
y
=
f
(
x
)
的图象与其他函数图象之间的关
系
(
a
,
b<
/p>
>0)
；
（<
/p>
1
）向右平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
-
a
)
的图象；
（
2
）向左平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
+
a
)
< br>的图象；
（
3
）向下平移
b
个单位得到
y<
/p>
=
f
(
x
)-
b
的图象；
<
/p>
（
4
）与函数
y
=
f
(-
x<
/p>
)
的图象关于
y
轴对称；
（
5
）与函数
y
=-
f
< br>(-
x
)
的图象关于原点成中心
对称；
（
6
）与函数
y
=
f
-1
(
x
)
的图象关于直线
y
=
x
对称；（
7
）与函数
y
=-
f
(
x
)
的图象关于
x
轴对称
。
4
定理
3
复合函数
< br>y
=
f
[
g
(
x
)]
的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如
y
=
∞
,2
）上是减函数，
y<
/p>
=
1
, u=2-
x
在（
-
2
x
1
1
在（
0
，
+
∞）上
是减函数，所以
y
=
在（
-
∞
,2
）上是增函数。<
/p>
2
x
u
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求
导之后是显然的。
附：初中知识基础知识
1
．二次函数：当
a
0<
/p>
时，
y
=
ax<
/p>
2
+
bx
+
c
或
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
称为关于
x
的二次函数，其对称轴为直线
b
b
x
=-
，另外配方可得
f
(
x<
/p>
)=
a
(
x
-
x
0
)
2
+
f
(
x
0
)
，其中
x
0
=-
，下同。
2
a
2
a
2
．二次函数的性质：当
a
>0
时，
f
(
x
)
的图象开口向上，在区间（
-
∞，
x
0
]
上随自变量
x
增大
函数
值减小（简称递减），在
[
x
0
,
-
∞）上随
自变量增大函数值增大（简称递增）。当
a
<0
时，情况相
反。
3
．当
a
>0
时，方程<
/p>
f
(
x
)=0<
/p>
即
ax
2
+
bx
+
c
=0
…①和不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
…②及
ax
2
+
bx
+
c
<0
…③与函数
f
(
x
)
的关系如下（记△
=
b
2
-4
ac
）。
1
）
当△
>0
时，
方程①
有两个不等实根，
设
x
1
,
x
2
(
< br>x
1
<
x
2
)
，
不等式②和不等式③的解集分
别是
{
x
|
x
<
x
1
或
x
>
x
2
}
和
{
x
|
x
1
<
< br>x
<
x
2
}
，二次函数
f
(
< br>x
)
图象与
x
< br>轴有两个不同的交点，
f
(
x<
/p>
)
还可写成
f
(
x
)=
a
(<
/p>
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
).
2
）当△
=0
时，方程①有两个相等的实根
x
1
=
x
2
=
x
0
=
{
x
|
x
b
,
不等式②和不等式③的解集分别是
2
a
b
}
和空集
，
f
(
x<
/p>
)
的图象与
x
轴
有唯一公共点。
2
a
3
）当△
<0
时，方程①无解
，不等式②和不等式③的解集分别是
R
和
.
f
(
x
)
图象与
x
轴
无公共点。
当
a
<0
时，请读者自己分析。
4<
/p>
ac
b
2
b
4
．
二次函数的
最值：
若
a
>0
，
当
x
=
x
0
时，
f
(<
/p>
x
)
取最小值
f
(
x
0
)=<
/p>
,
若
a
<0
，
则当
x
=
x
0
=
时，
4
a
2
a
4
ac
b
2
f
(
x
)
取最大值
f
< br>(
x
0
)=
.
对于给定区间
[m,
n
]
上的二次函数
f
(<
/p>
x
)=
ax
2<
/p>
+
bx
+
c
(
a
>0)
，
当
x
0
∈
[m,
n
]
4
a
时，
f
(
x
)
在
[m,
n
]
上的最小值为
f
(
x
0
);
当
x
0
> <
br>（以上结论由二次函数图象即可得出）。 <
br>”复合命题只有当 <
br>p 为结论）；逆命题：若 如果
时。
f
(
x
)
在
[m,
n<
/p>
]
上的最小值为
f
(m)
；当
x
0
n
时，
f
(
x
)
在
[
m,
n
]
上的最小值为
f
(
n
)
定义
1
能判断真假的语句叫命题，
如“
3>5
”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词
“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复
合命题。
一定注意：
“
p
或
q
p
，
q
同为假命题时为假，否则为真命题；
“
p
且
q
”复合命
题只
有当
p
，
q
同
时为真命题时为真，否则为假命题；
p
与“非
”即“
p
”恰好一真一假。<
/p>
定义
2
原
命题：若
p
则
q
（
p
为条件，
q
q
则
p
；否命题：若非
p
则
q
；逆
否命题：若非
q
则非
p
。
一定注意：
原命题与其逆否命题同真
假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
一定注意：
反证法的理论依据是矛盾
的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义
3
如果命题“若
p
则
q
”为真，则记为
p
q
否则记作<
/p>
p
q
.
在命题“若
p
则
q<
/p>
”中，如果已
知
p
q
,
则
p
是
q
的充分条件；
q
p
，则称
p
是
q
的必要条件；如果
p
q
但
q
不
p
，
则称
5
p
是
q
的充分非必要条件；<
/p>
如果
p
不
q
但
p
q
，
则
p
称为
q
的必要非充分条件；
若
p
q
且<
/p>
q
p
，
则
p
是
q
的充要条件。
6
第三章、基本初等函数
1
．指数函数及其性质：形如
y
=
< br>a
(
a
>0,
a
1)
的函数叫做指数函数
，其定义域为
R
，值域为（
0
，
+
∞），当
0<
a
<1
时，
y
=
a
x
是减函数，
当
a
>1
时，
y
=
a
x
为增
函数，它的图象恒过定点（
0
，
1
）。
2
．分数指
数幂：
a
a
,
a
1
n
n<
/p>
m
n
x
a
,
a
n
m
n
1
n
,
a
n
a
m
1
n
a
m<
/p>
。
3
．对数函
数及其性质：形如
y
=
log
a
x
(
a
>0,
a
1)
的函数叫做对数函数，其定义域为（
0
，
+
∞），
值域为
R<
/p>
，图象过定点（
1
，
0
）。当
0<
a
< br><1
，
y
=
log
a
x
为减函数，当
a
>1
时，
y
=
log
a
x
为增函数。
4
．对数的性质（
M>0,
N
>0
）；
1
）
a
x
=M
x
=
log
a
M(
a
>0,
a
1)
；
2
）
log
a
(M
N<
/p>
)=
log
a
M+
log
a
N
；
3
）
log
a
（
M
）
=
log
a
M-
log
a
N
；
4
）
log
a
M
n
=
n
log
a
M
（万能恒等式）
N
5
）
log
a
n
M
=
log
c
b
1
log
a
M
；
< br>6
）
a
loga
M
=M; 7)
log
a
b
=
(
a
,
b
,
c
>0,
a
,
c
1).
n
log
c
a
a
5.
函数
y
=
x
+
（
a
>0
）
的单调递增区间是
,
< br>a
和
x
（请同学自己用定义证明
）
<
/p>
a
,
，
单调递减区间为
a
,
0
和
0
,
a
。
6
．连续函数的性质：若
a
<
b
,
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连
续，且
f
(
a
)
·
f
(
b<
/p>
)<0
，则
f
(
x
)=0
在（
a
,
b
）上至
少有一个实根。
7
必修二
第一章、立体几何初步
（一）空间几何体的结构特征
（
1
）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体
< br>.
围成多面体的各个多边形叫叫做多
面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱
的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所
在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这
条定直线称为旋转体的轴。
（
2
）柱，锥，
台，球的结构特征
1.
棱柱
1.1
棱柱
——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平
行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
< br>1.2
相关棱柱几何体系列
（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正
棱柱）的关系：
E'
F'
侧面
A'
B'
l
D'
C'
斜棱柱
底面是正多形
棱柱
正棱柱
棱垂直于底面
①
<
/p>
直棱柱
<
/p>
其他棱柱
L
②四棱柱
底面为平行四边形
平行六面体
侧棱垂直于底面
底面
侧棱
E
F
A
B
D
C
直平行六面体
底面为矩形
长方体
底面为正方形
正四棱柱
侧棱与底面边长
相等
正方体
1.3
棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点
长方体的性质：
< br>①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平
方和；【如图】
AC
1
2
AB
2
AD
2
AA
1
2
②（了解）长方体的
一条对角线
AC
1
与过顶点
A
的三条棱
所成的角分别是
，
，
，那么
cos
2
cos
2
cos
2
1
，
s
in
2
s
in
2
s
in
2
2
；
A1
D1
D
B1
C
B<
/p>
C1
A
8
③（
了解）长方体的一条对角线
AC
1
与过
顶点
A
的相邻三个面所成的角分别是
，
，
，则
cos
2
<
/p>
cos
2
<
/p>
cos
2
<
/p>
2
，
sin<
/p>
2
sin<
/p>
2
sin<
/p>
2
1
.
1.4
侧面展开图
：正
n
棱柱的侧面展开图是由
n
个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的
矩形
.
1.5
面积、体积公式：
S
直棱柱侧
c
h
S
直棱柱全
c
h
2
S
底
，<
/p>
V
棱柱
S
底
h
（其中
c
为底面周长，
h
为棱柱的高）
注意
:
大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记
2.
圆柱
2
.1
圆柱
——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，
其余
边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱
.
2.2
圆柱的性质：
上、
下底及平行于底面的截面都是等
过轴的截面（轴截
面）是全等的矩形
.
2.3
侧面展开
图：
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母
长为邻边的矩形
.
2.4
面积、体积公式
< br>：
S
圆柱侧
< br>=
2
rh
；
S
圆柱全
=
2
rh
2
r
2
，
V
圆柱
=S
底
h=
r
2<
/p>
h
（其中
r
为底
面半径，
h
为圆柱高）
3.
棱锥
3
.1
棱锥
——有一个面是多边形，其余各面是
< br>一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的几
体叫做棱锥
。
<
/p>
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多
形，
并且顶点在底面的射影是底面的中心，
这
的棱锥叫做正棱锥
。
3.2
棱锥的性质：
①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，
相似比等于顶点到截面的距离与
顶点到底面的距离
之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一
半，构成四个直角三角形。）（如上图：
V
SOB
,
V
SOH
,
V
SBH
,
V
OBH
为直角三角形）
3.3
侧面展开图：
正
n
棱锥的侧
面展开图是有
n
个全等的等腰三角形组成的。
< br>
高
侧棱
S
A'
B'
O'
C'
轴
轴截面
各
圆；
母线
A
B
O
C
侧面
底面
线
顶点
侧面
有
何
边
样
底面
D
< br>O
A
B
H
C
斜高
1
1
1
3.4
面积、体积公式：
S
正棱锥侧
=
ch
，
S
正棱锥全
=<
/p>
ch
S
底
，
V
棱锥
=
S
底
h
.
（其中
c
为底面
2
2
3
周长，
h
侧面斜高，<
/p>
h
棱锥的高）
4.
圆锥
4
.1
圆锥——
以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其
余各边旋转而形成的曲面所围成的
几何体叫圆锥。
9
4.2
圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，
截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与
顶点到底面的距离
之比；
②轴截面是
等腰三角形；如右图：
V
SAB
③如右图：
l
h
r
.
4.
3
圆锥的侧面展开图：
圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，
母线长为半径的扇形。
4.4
面积、体积公式：
母线
l
A
r
h
轴截面
O
S
顶点
轴
侧面
2
2
2
以
1
< br>S
圆锥侧
=
< br>rl
，
S
圆锥全
=
r
(
r
l
)
，
V
圆锥
=
r
2
h
（其中
3
r
为底面
半径，
h
为圆锥的高，
l
为母线长）
5.
棱台
5
.1
棱台
——用一个平行于底面的平面去截棱锥，
我们
把截面与底面之间的部分称为棱台
.
5.2
正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边
形；
③
如右图：四边形
O
`
MNO
,
O
`
B
`
< br>BO
都是直角梯形
B
底面
S
上底面
高
A'
下底面
D
D'<
/p>
O'
B'
C'
M
侧棱
侧面
斜高
C
N
顶点
O
A
B
④棱台经常补成棱锥研究
.
如右图：
V
SO
`
M
与
V
SO
N
,
V
S`
O
`
B`
与
V
SO
B相似
，注意考虑
相似比
.
5.3
棱台的表面积、体积
公式：
S
全
＝S
上底
＋
S
下底
＋
S
侧，
V
棱台
＝
（
S
＋
SS
`
S<
/p>
`)
h
，（其中
S
,
S
`
是上
，下
底面面积，
h
为棱台的高）
6.
圆台
6.1
圆台
——用平行于圆锥底面的平面去截
圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
.
6.2
圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：
V
SO
`
A
与
V
SOB
相似
，注意相似比的应用
.
S
1
3
6.3
圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4
圆台的表面积、体积公式：
S
全
＝
r
R
(
R
r
)
l
，
V
圆台
＝
（
S
＋
SS<
/p>
`
S
`)
h
＝
（
r
2
rR
R
2
)
h
，（其中
r
，
R
1
< br>3
1
3
2
2
A
r
O'
轴
母线
l
B
R
h
轴截面
O
上
底面
D
侧面
C
下底面
10
为上下底面半径，
h
为高）
7.
球
7.
1
球
——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的
旋转体叫做球体，简称球
.
或空间中，与定点距离等于定长的
点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；
7.2
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②
r
R
2
d
2
（其中
，球心到截面的距离为
d
、
球的半径为
R
、截面的半径为
r
< br>）
7.3
球与多面体的组合体
：
球与正四面体，球与长
方体，球与正方体等的内接与外切
.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决
.
4
7.4
球面积、体积公式：
S<
/p>
球
4
R
,
V
球
R
3
（其
3
中
R
< br>为球的半径）
2
球面
球心
轴
半径
O
R
A
D'
A'
O
B'
O
r
d
O1
C'
A'
B
C'
D
A
B
C
A
c
（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可
1.
投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜
投影。
2.
三视图——是观察者从三
个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
正视图
——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图
——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图
——光线从几何体的上面向下面正投影
，得到的投影图；
注：（
1
）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”
与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样
宽”
.
（
2
）正视
图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.
直观图：
3.1
直
观图
——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投
影下画出的空间图形。
3.2
斜二测法：
< br>step1
：在已知图形中取互相垂直的轴
Ox
、
Oy
，（即取
xoy
90
<
/p>
）；
ste
p2
：画直观图时，把它画成对应的轴
o
'
x
',
o
'
y
'
，取
x
'
o
'
y
'
45
(
or
135
)
，它们确定的平面表示
11
水平平面；
step
3
：在坐标系
x
'
o
'
y
'
中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于
x
轴（或在
x
轴上）的线段保持长度不变，平行于
y
轴（或在
y
轴上）
的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图
面积是原平面图形面积的
解决两种常见的题型时应注意：
（
1
）由几何体的三视图画直观图时，一般
先考虑“俯视图”
.
（
2
）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成
虚线。
二
点、直线、平面之间的位置关系
（一）
平面的基本性质
1.
平面——无限延展，无边界
1.1
三个定理与三个推论
公理
1
：
如果一条直线
上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内
.
图形语言：
符号语言：
公理
2
：不共线
的三点确定一个平面
.
图形语言：
．．．
< br>推论
1
：直线与直线外的一点确定一个平面
.
图形语言：
推论
2
：
两条相交直
线确定一个平面
.
图形语言：
推论
3
：
两条平行直线确定一个平面
.
图形语言：
用途：用于确定平面。
公理
3
：
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有
公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个
平面的交线）
.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上
.
图形语言：
符号语言：
形语言，文字语言，符号语言的转化：
2
倍
.
4
12
（二）空间图形的位置关系
共面
:a
I
b=A,
a//b
1.
空间直线的位置关系：
异面:a与b异面
平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：
a
//
b
,
b
//
c
a
//
c
等角定理：如
果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角
相等或互补
< br>。
异面直线：（
1
）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（
2
）
判定定理：
连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此
点的直线是异
面直线。
P
a
图形语言：
A
P
A
符号语言：
PA
与
a
异面
a
A
a
a'
a
b
异
面直线所成的角：（
1
）范围：
0
,90
；（
2
）作异面直线所
成的角：平移法
.
b'
O
13
如右图，在空间任取一点
O
，过
O
作
a
'//
a
,
b
'//
b
，则
a
',
b
'
所成的
角为异面直线
a
,
b
所成的角。
特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直
线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段
中点，端点等）上，形成异面直线所成的角<
/p>
.
l
2.
直线与平
面的位置关系：
l
I
A
l
l<
/p>
//
图形语
言：
平行：
//
3.
平面与平面的位置关系：
斜交：
I
=a
相交
垂直：
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1.
线面平行：
①定义：直线与平面无公共点
.
a<
/p>
//
b
②判定定理：
a
a
//
（线线平行
线面平行）【如图】
b
③性质定理：
a
a
//
b
（线面平行
线线平行）【如图】
< br>I
b
a
//
④判定或证明线面平行的依据：（
i
）
定义法（反证）
：
l
I
l
//
（用于判断）；
（
ii
）判
a
//
b
//
定定理：
a
a
//
“线线平行
面面平行”（用于证明）；（
iii
）
a
//
“面面
a
b
b
a
平行
线面平行”（用于证明）；
（<
/p>
4
）
b
a
//
（用于判断）；
a
2.
线面斜交：
l
I
A<
/p>
①直线与平面所成的角
（简称线面角）
：
若直线与平面斜交，
则平
斜线与该斜
线在平面内射影的夹角。
【如图】
P
O
于
O<
/p>
，则
是
PA
在平
面
内的射影，
则
PAO
就是直线
PA
与平面
所成
角。
P
A
面的
AO
的
O
14
范围：
0
,90
，注：若
l
或
l
//
，则直线
l
与平面
所成的角为
0
；
若
l
，则
直线
l
与
平面
所成的角为
90
< br>。
3.
面面平行：
①定义：
I
< br>
//
；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
a
,
b
,
a
I
b
O
,
a
//
,
b
//
<
/p>
//
【如下图①】
O
a
b
O
a
O
a'
b
b'
图
①
图②
推论
：
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平
行
符号表述：
a
,
b
,
a
I
b
<
/p>
O
,
a
',
b
'
,
a
//
a
',
b
//
b
'
//
【如上图
②
】
判定
2
：垂直于同一条直线的两个平面
互相平行
.
符号表述：
a
,
a
< br>
//
.
【如右图】
③
判定与证明面面平行的依据：（
< br>1
）定义法；（
2
）判定定理<
/p>
（常用）（
3
）判定
2
a
及
推
论
/
/
④
面面
平行的性质：
（
1
）
< br>行
）
；
a
//
（面面平行
线面平
a
//
（
2
）
I
a
a
//
b
；（面面平行
线线平行）（
3
）
夹在两个平行平面间的平行线段相等。
I
b
【如图】
（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.
线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述：若任意
a
,
都有
l
a
，且
l
，则
l
.
a
,
b
a
I
b
O
②判定定理：
l
l
（线线垂直
线面垂直）
<
/p>
l
a
l
b
③
性质：（
1
）
l
,
a
< br>
l
a
（
线
面垂直
线线垂直）；（
2
）
a
,
b
< br>
a
//
b
；
P
15
O
A
C
B
④证明
或判定线面垂直的依据：
（
1
）
定义
（反证）
；
（<
/p>
2
）
判定定理
（
常用）
；
（
3
）
a
//
b
b
a
a
I
< br>
b
//
（较常用）；（
4
）
a
（面面垂直
线面垂直）
常用；<
/p>
a
；（
5
）
a
a
< br>
a
b
⑤三垂线定理及逆定理：
（
I
）
斜线定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，
PO
（
1
）
斜线相等
射
影相等；（
2
）斜线越长
射影越长；（
3
）垂线段最短。<
/p>
【如图】
PB
PC
OB
OC
；
PA
PB
OA
OB
（
II
）三垂线定理及逆定理：已知
PO
，斜线
PA
在平面
内的射影为
OA
，
a
，
< br>
①若
a
OA
，
则
a
PA
——垂直射影
垂直斜线，
此为三垂线
定理；
②若
a
PA
，
则
a
OA
——垂直斜线
垂直射影，
此为三垂线定理
的逆定理；
三垂线定理及逆定理的主要应用：
（
1
）证明异面直线垂直；（
2
）
作、证二面角的平面角；（
3
）作点到线的垂线段；【如图】
3.2
面面斜交
①二面角：（
1
）定义：【如图】
OB
l
,<
/p>
OA
l
AOB
是二面角
－
l
<
/p>
的平面角
A
P
a
O
范围：
AOB
[
0
,180
]
②作二面角的平面角的方法：（
1
）定义法；（
2
）三垂线法（常用）
；
垂面法
.
3.3
面面垂直
（
1
）定义：若二面角
l
的平面角为
90
，则
；
（
2
）判定定理：如
果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直
.
a
<
/p>
（线面垂直
面面垂直）
a
A
a
B
（
3<
/p>
）
（
3
）
性
质
：
①
若
，
二
面
角
的
一
个
平
面
角
为
MO
N
，
则
MO
N
90
；
a
I
AB
②
a
（面面垂直
线面垂直）；
a
a
AB
a
B
A
16
③
A
a
.
④
A
a
a
< br>
a
或
a
//
a
<
/p>
A
a
17
第二章、平面解析几何初步
1
．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何
< br>.
首先是通过映射建
立曲线与方程的关系，
即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，
则<
/p>
方程叫做这条曲线的方程，
这条曲线叫做方程的曲线。
如
x
2
+y
2
=1
是以原点为圆心的单位圆的方程。
2
．求曲线方程的一般步骤：
< br>(1)
建立适当的直角坐标系；
(2)
< br>写出满足条件的点的集合；
(3)
用坐标表
示条件，列出方程；
(4)
化简方程并确定未知数的
取值范围；（
5
）证明适合方程的解的对应点都在
曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3
．
直线的倾斜角和斜率：
直线向上的方向与
x
轴正方向所成的小于
< br>180
0
的正角，
叫做它的倾斜
角。
规定平行于
x
轴的直线的倾斜角为
0
0
，倾斜角的正切值（如果存在的话
）叫做该直线的斜率。根
据直线上一点及斜率可求直线方程。
4
．直线方程的几种形式：【必会】【必考】
< br>
（
1
）一般式：
Ax+By+C=0
；
（
2
）点斜式：
y-y
< br>0
=k(x-x
0
)
；
（
3
）斜截式：
y=kx+b
；
（
4
）截距式：
（
5
）两点式：
x
< br>y
1
；
a
b
x
x
1
y
y
1
；
x
2
x
1
y
< br>2
y
1
（
6
）法线式方程：
xcos
θ
+ysin
θ
=p
（其中θ为法线倾斜角，
|p|
为原点
到直线的距离）；
x
x
0
< br>
t
cos
< br>（
7
）参数式：
（其中θ为该直线倾斜角），
t
的几何意义是定点<
/p>
P
0
（
x
0
, y
0
）到动<
/p>
y
y
0
t
sin
点
P
（
x, y
）的有向线段的数量（线段的长度前添
加正负号，若
P
0
P
< br>方向向上则取正，否则取负）。
5
．到角与夹角：若直线
l
1
, <
/p>
l
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
，将
l
1
绕
它们的交点逆时针旋转到与
l
2
重合所
转
过的最小正角叫
l
1
到
l
2
的角；
l
1
与
l
2
所成的角中不超过
90
0
的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，
k
<
/p>
k
1
k
k
1
夹角为α，则
t
an
θ
=
2
,
tan
α
=
2
.
1
k<
/p>
1
k
2
1
k
1
k
2
6
．平行与垂直：若直线
l
1
与
l
2
的斜率分别为
k
1
, k
2
。且两者不重合，则
l<
/p>
1
//l
2
的充
要条件是
k
1
=k
2
；
l
1
l
2
的充要条件是
< br>k
1
k
2
=-1
。
7
．两点
P
1
(x
1
, y
1
)
与
P
2
(x
2
, y
2
)
间的距离公式：
|P
1
P
2
|=
(
x
1
x
2
< br>)
2
(
y
1
y
2
)
2
。
8
．点
P(x
0<
/p>
, y
0
)
到直
线
l: Ax+By+C=0
的距离公式：
d
|
Ax
0
By
0
C
|
A
<
/p>
B
2
2
。
9
．直线系的方程：若已知两直线的方程是
l
1
：
A
1
x+B
1
y+C
1
=0
与
l<
/p>
2
：
A
2
x+B
2
y+C
2<
/p>
=0
，则过
l
1
,
l
2
交<
/p>
点的直线方程为
A
1
x+B
1
y+C
1
+
λ
(A
2
< br>x+B
2
y+C
2
=0
；由
l
1
与
l
2
组成的二次曲线方程
为（
A
1
x+B
1
y+C
1
）
（
A
2
x+B
2
y+C
2
）
=0
；与
l
2
平行的直线方程为
A
1
x+B
1
y+C=0(
C
C
1
).
18
10
．二元一次不等式表示的平
面区域，若直线
l
方程为
Ax+By+
C=0.
若
B>0
，则
Ax+By+C>0
表示
的区域为
< br>l
上方的部分，
Ax+By+C<0
表示的区域为
l
下方的部分。
<
/p>
11
．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（
< br>1
）确定各变量，并以
x
和
y
表示；（
2
）写
出线性约
束条件和线性目标函数；（
3
）画出满足约束条件的可行域；（
4
）求出最优解。
12
．圆的标准方程：圆心是点
(a,
b)
，半径为
r
的圆的标准方程为
(x-a)
2
+(
y-b)
2
=r
2
，其参数方程为
x
a
r
cos
（θ为参数）。
<
/p>
y
b
r
sin
1
D
E
13
．
圆的一般方程：
x
2
+y
2<
/p>
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)
。
其
圆心为
,
，
半径为
D
2
E
2<
/p>
4
F
。
2
2
2
若点
P(x
0
, y
0
)
为圆上一点
，则过点
P
的切线方程为
x
0
x
y
0
y
x
0
x<
/p>
y
0
y
D
E
2
2
F
0
.
①
14
．
根轴：
到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线
（或它的一部分）
，
这条直线叫两圆的根轴。
给
定
如
下
< br>三
个
不
同
的
圆
：
x
2
+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
=0,
i=1,
2,
3.
则
它
们
两
两
的
根
轴
方
程
分
别
为
(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2
)=0; (D
2
-D
3
)x+(E
2
-E
3
)y+(F
2
-F
3
)=
0; (D
3
-D
1
< br>)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F
1
)=0
。
不难证明这
三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
19
（必修三）
略
< br>必修四
第一章
基本初等函数
II
定义
1
角
，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正
角
，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义
2
角
度制，把一周角
360
等分，每一等价为一度，弧度制：把等于
半径长的圆弧所对的圆心
L
角叫做一弧度。
360
度
=2
π
< br>弧度。若圆心角的弧长为
L
，则其弧度数的绝对值
|
α
|=
,
其中
r
是圆的
r
半径。
定义
3
三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边
与
x
轴的正半轴重合，在角
的终边上任
意取一个不同于原点的点
P
，设它的坐标为（
< br>x
,
y
），到原点的距离为
r,
则正弦函数
s
in
x
y
x
y
r
α
=
,
余弦函数
co
s
α
=
,
正切函数
tan
α
=
，余切函数
cot
α
=
，正割函数
se
c
α
=
,
余割函数
y
r
r
x
x
r
c
s
c
α
=
.
y
定理
1
同角三角函数的基本关系式：
倒数关
系：
tan
α
=
商数关系：
tan
α
=
1
1
1
,s
in
α
=
，
< br>co
s
α
=
；
cot
csc
sec
sin
cos
；
,
cot
cos
sin
乘积关系：
ta
n
α×
co
s
α
=s
in
α
,
cot
α×
s
in
α
=
co
s
α；
平方关系：
s
in
2
α
< br>+
co
s
2
α
=1,
tan
2
α
+1=se
c
2
α
,
cot
2
α
+1=
c
s
c
2
α
.
定理
2
诱
导公式
（Ⅰ）
s
in
< br>(
α
+
π
)=-s
in
α
,
co
s(
π
+
α
)=-
co
s
α
,
tan
(
π
+
α
)=
tan
α
,
cot
(
π
+
α
)=
cot
α
;
（Ⅱ）
s
in
(-
α
)=-s
in
α
,
co
s(-
α
)=
co
s
α
,
tan
(-
< br>α
)=-
tan
α
,
cot
(-
α
)=
cot
α
;
（Ⅲ）
s
in
(<
/p>
π
-
α
)=s<
/p>
in
α
,
co
s(
π
-
α<
/p>
)=-
co
s
α
,
tan
=(
π
-
α
)=-
tan
α
,
co
t
(
π
-
α<
/p>
)=-
cot
α
;
（
Ⅳ）
s
in
=
co
s
α<
/p>
,
co
s
<
/p>
=s
in
α
,
tan
=
cot
2
2
2
α（记法：奇变
偶不变，符号看象限）。
定理
3
（根据图像去记）
正弦函数的性质：
根据图象可得
y
=s
inx
（
x
∈
R
）的性质如下。
单调区间：
3
在区间
2
k
,
2
< br>k
上为增函数，
在区间
2
k
,
2
k
上为减函数，
最小正周期为<
/p>
2
.
2
2
2
2
奇偶数
.
有界性：当且
仅当
x
=2
kx
+
时，
y
取最大值
< br>1
，当且仅当
x
=3
k
-
时
,
y
取最小值
-1
。对
2
2
称性：直线
x
=
k
+
均为其对称轴，点（
k
, 0
）均为其对称中心，值
域为
[-1
，
1]
。这里
k
∈
Z
.
2
定理
4
（根据图像去记）
余弦函数的性质：
根据图象可得
y
=
co
s
x
(
x
∈
R
)
的性质。单调区间：在区<
/p>
间
[2
k
π
, 2
k
π
+
π
]
上单调递减，在区间
< br>[2
k
π
-
π
, 2
k
π
]
上单调递增。最小正周期为
2
π
。奇偶性：偶函数。
对称性：直线
x
=
k
π
均为其对称轴，点
k
,
0
均为其对称中心。有界性：当且仅
当
x
=2
k
π
时，
y
2
<
/p>
20
取最大值
1
；当且仅当
x
=2
k
π
-
π
时，
y
取最小值
-1
。值域为
[-1
，
1]
。这里
k
∈
Z
.
)
在开区间
(
k
π
-
,
k
π
+
)
2
2
2
上为增函数
,
最小正周期为
π
，值域为（
-
∞，
+
< br>∞），点（
k
π
，
0
），
（
k
π
+
，
0
）均为其对称中心。
2
定理
5
（
根据图像去记）
< br>正切函数的性质：
由图象知奇函数
y
=
tanx
(
x
< br>
k
π
+
定理
6
两角和与差的基本关系式
：
co
s(
α
β
)=
co
s
α
co
s
β
s
in
α<
/p>
s
in
β
,s<
/p>
in
(
α
β
)=s
in
α<
/p>
co
s
β
(ta
n
tan
)
.
<
/p>
co
s
α
s
in
β
;
tan
(
α
β
)=
(
1
tan
tan
<
/p>
)
定理
7
和差化积与积化和差公式
:
s
in
α
+s
in
β
=2s
in
2
co
s
< br>
2
,
s
in
α
-s
in
β
=2s
in
2
<
/p>
co
s
2
,
<
/p>
co
s
α
+
co
s
β
=2
co
s
co
s
,
co
s
α
-
co
s
β
=-2s
in
s
in
,
2
2
2
2
1
1
s
in
α
c
o
s
β
=
[s
in
(
α
+<
/p>
β
)+s
in
(
α
-
β
)],
co
s
α
s<
/p>
in
β
=
[s<
/p>
in
(
α
+
β
)-s
in
(<
/p>
α
-
β
)],
2
2
co
s<
/p>
α
co
s
β
=
口诀记忆：
1
1
[
co
s(
α
+
β
)+<
/p>
co
s(
α
-<
/p>
β
)],s
in
α
s
in
β
=
-
[
co
s(
α
+
β
)-
c
o
s(
α
-
β
)].
2
2
1
积化和差：
前系数：
“有余为正，无
余为负”
“前和后差”
“同名皆余，异名皆正”
“余后为和，
2
正后为差”
和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦
定理
8
倍角公式（常考）
:s
in
< br>2
α
=2s
in
α
co
s
α
< br>,
co
s2
α
=
co
s
2
< br>α
-s
in
2
< br>α
=2
co
s
< br>2
α
-1=1-2s
in
2
α
,
tan
2
α
=
2
tan
.
(
1
tan
2
)
(
1
cos
)
(
1
cos
)
定理
9
半角公式
:s
in
=
,
co
s
=
< br>,
2
2
2
2
sin
(
1
cos
)
(
1
co
s
)
<
/p>
.
tan
=
=
2
(
1
cos
)
sin
(
1
cos
)
2
tan
1
tan
2
2
,
cos
2
,
定理
10
万能公式
:
sin
1
tan
2
1
tan
2
2
2
2
tan
2
< br>.
tan
< br>
1
tan
2
2
21
定理
11
****
【必考】辅助角公式：如果
a
,
b
是实
数且
a
2
+
b
2
0
，则取
始边在
x
轴正半轴，终边
b
a
经过点
(
a
,
b
)
的一个角为β，
则
s
in
β
=
,
co
s
β<
/p>
=
，对任意的角α
.
< br>2
2
2
2
a
b
a
b
a
s
in<
/p>
α
+
bco
s<
/p>
α
=
(
a
2
b
2
)
s
in
(
α
+
β
).
定理
12
正弦定理：在任意△
ABC
中有
的对边
，
R
为△
ABC
外接圆半径。
定理
13
余弦定理：在任意△
ABC
中有
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bco
s
A
，其中
a
,
b
,
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对边。
定理
14
图象之间的关系：
y
=s
inx
的图象经上下平移得
y
=s
< br>inx
+
k
的图象；
经左右平移得
y
=s
in
(
x
+
)
1
的图象（相位变换）；纵坐标不变，横
坐标变为原来的
，得到
y
=s
in
x
(
0
)
的图象（周期变
a
b
c
2
R
，其中
a
,
b
,
c
分别
是角
A
，
B
，
C
sin
A
s
in
B
sin
C
换）
；
横坐标不变，
纵坐标变为原来的
A
倍，
得
到
y
=
A
s<
/p>
inx
的图象
（振幅变换）
；
y
=
A
< br>s
in
(
x
+
)(
>0)
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来
的
A
倍，得到
y
=
A
s
inx
的图象（振幅变换）；
y
=
A
s
in
(
x
+
)(
,
>0)(|
A
|
叫作振幅<
/p>
)
的图象向右平移
个单位得到
y
=
A
s
in
x
的图象。
定义
4
函数
< br>y
=s
inx
的反函数叫反正弦函数，
记作
y
=
a
r
c
s
inx
(
x
∈
[-1, 1])
，
函数
y
=
co
s
x
(
x
x
,
<
/p>
2
2
∈
[0,
π
])
的反函数叫
反余弦函数，记作
y
=
a
r
cco
s
x
(
x
∈
[-1, 1]).
函数
y
=
ta
nx
x
,
的反函数
2<
/p>
2
叫反正切函数。记作
y
=
a
r
ctanx
(
x
∈
[-
< br>∞
, +
∞
]).
y
=
co
s
x
(
x
∈
< br>[0,
π
])
的反函数称为反
余切函数，记作
y
=
a
r
ccotx
(
x
∈
[-
∞
,
+
∞
]).
定理
15
三角方程的解集，
如果
a
∈
(-1,1)
，
方程
s<
/p>
inx
=
a
的解
集是
{
x
|
x
=
n
π
+(-
1)
n
a
r
c
s
ina
,
n
∈
Z
}
。<
/p>
方程
co
s
x<
/p>
=
a
的解集是
{
x
|
x
=2<
/p>
kx
a
r
cco
s
a
,
k
∈
Z
}.
如果
a
∈
R<
/p>
，
方程
tanx
=
a
的解集是
{
x
|
x
=
k
π
+
a
r
ctana
,
k
∈
Z
}
。
<
/p>
恒等式：
a
r
c
s
ina
+
a
r
cco
s
a
=
；
a
r
ctana
+
a
r
ccota
=
.
2
2
定理
16
若
x
0
,
，则
s
inx
<
x
<
tanx
. <
/p>
2
第二章<
/p>
平面向量
定义
1
既有大小又有方向的量，
称为向量。
画
图时用有向线段来表示，
线段的长度表示向量的模。
向量的符号
用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，
如
a. |a|
表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零
向量的方向是任意的。零向量和零不同，
模为
1
的向量称为单位向量【最近几年常考】。
定义
2
方
向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平
行
和结合律。
定理
1
向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则
。加法和减法都满足交换律
和结合律。
定理
2
非零向量
a, b
共线的充要条件是存
在实数
0
，使得
a=
b
.
f
22