高中数学常用公式与证明专题
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高中数学常用公式与证明专题
本专题由北京大学教材研究所审定
依据《普通高中课程标准》编写
1.
不等式的基本性质：
（
1
）对称性：
a
b
b
a
（
2
）传递性：
a
b
，
b
c
a
c
（
3
）可加性：
a
b
a
c
b
c
（
4
）加法：
a
b
，
c
d
a
c
b
d
（
5
）保号性：
a
b
，
c
0
ac
bc
；
c
<
/p>
0
ac
bc
（
6
）乘法：
a
b
0
，
c
d
0
ac
bd
n
n
（
< br>7
）乘方：
a
b
0
a
b
（
n
∈
N*
）
（
8
）开方：
a
b
0<
/p>
2.
均值不等式定理：
（
1
）四种形式：
2
2
n
a
< br>n
b
（
n
∈
N*
）
整式形式：
a
b
2
ab
，
a
2
b
2
2
ab
（
a
，
b
∈
R
，当且仅当<
/p>
a
b
时取
“=”
号）
a<
/p>
b
2
)
（
a
，
b
∈
R
，当且仅当
a
b
时取
“=”
号）
ab
(<
/p>
2
a
b
ab
a
，
b
∈
R
+
，当且仅当
a
b
时取
“=”
号
)
根式形式：
2
b
a
b
a
分式形
式：
2
（
ab
0
）<
/p>
，
2
（
ab
0
）
a
b
a
b
1
< br>1
倒数形式：若
x
0
，则
x
2
；若
x
0
，则
x
< br>
2
.
x
x
a
1
a
2
<
/p>
...
a
n<
/p>
n
a
1
a
2
...
a
n
（
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
均为正数）
（
2
）推广：
n
（
3
）极值定理：
“和定积大”
、
“积定和小”
（
“一正二定三等”
）
（技巧：拆、凑）
已知
x
、
y
都是正数，则有：<
/p>
①若积
xy
是
定值
p
，则当
x=y
< br>时和
x+y
有最小值
2
p
；
②若和
x+y
是定值
s
，则当
x=y
时积
xy
有最大值
3.
常用不等式：
1
2
s
. <
/p>
4
a
b
a
2
b
2
ab
（
1
）不等式链：
（
a
、
b
均为正数）
1
1
2
2
a
b
2
2
2
2
2
2
（
2
）柯西不等式：
(
a
b
)(
c
d
)
< br>(
ac
bd
< br>)
(
a
,
b
,
c
,
d
R
)
4.
含绝对值不等式：
（
1
）绝对值的几何意义；
1
（
2
）性质：
|a|-|b|
≤
|a+b|
≤
|a|+|b|.
（
3
）推论：①
|a
1
+a
2
+
…
+a
n
|
< br>≤
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|
②
|a|-|b|
≤
|a-b|
≤
|a|+|b|
等号成立的条件：①
|a+b|=|a|+|b|
ab
≥
0
②
|a-b|=|a
|+|b|
ab
≤
< br>0
③
|a|-|b|=|a+b|
(a+b)b
≤
0
④
|a|-|b|=|a-b|
(a+b)b
≥
0
5.
不等式的证明方法：
（
1
）比较法：作差、作商
（
2
）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质
（
3
）分析法
（
4
）换元法：三角换元、代数换元<
/p>
（
5
）构造法
：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等
（
6
）反证法
（
7
）放缩法
（
8
）判别式法：
（
9
）数学归纳法
6.
不等式的解法：
<
/p>
（
1
）一元二次不等式
< br>ax
2
+bx+c>0
（或
<0
）
（
a
≠
0
）
.
（结合图象求解集）如果
a
与
ax
2
+bx+c
同号，则其解集
在两根之外；如果
a
与
ax
2
+bx+c
异号，则其解集在两根之
间
.
简言之：同号两根之外，异号两根之间
.
x
1
. <
br>x <
br>x
)
x
f
<
br> <
br>
<
br>x a
<
br>(
<
br>x <
br>， <
br>1
2
（
x-x
1
）
（
x-x
2
）
<0
；<
/p>
x
1
或<
/p>
x>x
2
<
/p>
（
x-x
1<
/p>
）
（
x-x
2<
/p>
）
>0.
（
2
）简单的高次不等式：
（
x-x
1
）
（
x-x
2
）
…
（
x-x
n
）
<0
（穿针引线法）
（
3
）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零
.
需要强调的是
奇次重根和偶次重根的区别
（
4
）含参数的不等式：注意
根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式
的讨论
.
（
5
）当
a>
0
时，
|x|>a
2
>a
2
x>a
或
x<-a
(x-a)(x+a)>0
|x|
x
2
2
-a
(x-a)(x+a)<0
（
6
）
|ax+b|>cx+d
：分类讨论
（
7
）
|ax+b|>|cx+d|
：两边平方
（
8
）
m<|ax+b|
：分类讨论或直接去绝对值
（
9
）
|
ax+b|+|cx+d|
：零点分区间讨论法
（
10
）无理不等式：
①
f
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
)
g
(
x
)
0
.
f<
/p>
(
x
)
g
(
x
)
2
f
(
x
0
f
(
x
)
<
/p>
0
②
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
)
0
或
.
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
③
(
x
)
0
f
(<
/p>
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
<
/p>
（
11
）指数不等式：
若
a>1
，
则
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
)
g
(
x
)
，
若
0
，则
f
(
x
)
a
g
(<
/p>
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
.
（
12
）对数不等式：<
/p>
f
(
x
)
0
若
a>1
，则
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
x
)
0
.
f
(
x
)
g<
/p>
(
x
)
f
(
x
)
0
若
0
，则
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
7.
直线的斜率公式：
（
1
）
k=tan
α
0
0
≤
α
＜
180
0
，且
α
≠
90
0
；
（
2
）
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
且
x
1
x
2
）
.
x
2
x
1
由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像
.
8.
直线的倾斜角计算：
（
1
）若
k
不存在，则
90
；
（
2
）若
k
存在，当
k
0
时，
arctan
k
；<
/p>
0
k
)
.
当
k
0
时，
arctan
k
arctan(
9.
直线方程的六种形式：
（注意各种形式适用的范围）
（
1
）点斜式：
y
y
1
k
(
x
x
1
)
（
< br>2
）斜截式：
y
kx
b
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y<
/p>
2
、
x
1
x
2
)
y
2
y
1
x
2
< br>
x
1
x
y
（
4
）截距式：
< br>
1
（
ab
≠
0
）
a
b
（
3
）两点式：
横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、
横截距是纵截距的几倍或几
分之几等，都应注意截距可能为零！截距
可正、可负、可为零！
（
5
）一般式：
Ax+By+C=0
（其中
A
、
B
不同时为
0
）
3
（
6
）参数式：
x
x
0
at
（
t
为参数）
y
y
bt
0
10.
两条直线的位置关系：
（注意：斜率可
能不存在时另外讨论）
（
1
）若
l
1
：
y=k
1
x+b
1
，
l
2
：
y=k
2
x+b
2
，则
①
l
1
∥
l
2
k
1
=k
2
且
b
1
≠
b
2
②
l
1
⊥
l
2
k
1
k
2
=-1
③
l
1
与
l
2
相交
k
1
≠
< br>k
2
④
l
1
与
l
2
重合
k
1
=k
2
且
b
1
=b
2
（
2
）若
< br>l
1
：
A
1
x+B
1
y+C
< br>1
=0
，
l
2
：
A
2
x+B
2
y+C
2
=0
，且
A
1
A
2
B
1
B
2
≠
0
，则
A
1
B
1
C
1
②
l
1
⊥
l
2
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
A
2
B
2
C
2
A
B
C
A
B
③
l
1<
/p>
与
l
2
相交
1
1
④
l
1
与
l
2
重合
1
1
1
A
2
B
2
A
2
B
2
C
2
①
l
1
∥<
/p>
l
2
11.<
/p>
直线
l
1
到
l
2
的角公式：
0
0
＜
α
＜
180
0
12.
两直线
l
1
、
l
2
的夹角公式：
0
0
＜
α
≤
90
0
（
1
）
tan
|
k
2
k
1
（
l
1
：
y=k
1
x+b
1
，
l
2
：
y=k
2
x+b
2
，
k
1
k
2
≠
-1
）
1
k
2
k
1
（
2
）直线
l
1
⊥
l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
.
2
（
1
）
tan
k
2
<
/p>
k
1
|
（
l
1
：
y=k
1
x+b
1
，
l
2
：
y=k
2
x+b
2
，
k
1
k
2
≠
-1
）
1
k
2
< br>k
1
（
2
）直线
l
1
⊥
l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
.
2
13.
距离：
（
1
）点到直线的距离：
d<
/p>
|
Ax
0
By
0
C
|
A
B
|
C
1
C
2
|
A
B
2
2
2
2
<
/p>
（点
P
（
x
0
，
y
0
）
，直线
l
：
Ax+By+C=0
）
（
2
）两平行线间的距离：
d
（
l
1
：
Ax+By+C
1
=0
，
l
2
：
Ax+By+C
2
=0
）
14.
常用的直线系方程：
（
1
）平行直线系方程：
直线
y=kx+b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，
表示平行直线系方程
.
与直线
Ax+
By+C=0
平行的直线系方程是
Ax+By+m=0
（
m
≠
C
）
.
（
2
）垂直直线系方程：
与直线
Ax+By+C=0 (AB
≠
0)
垂直的直线系方程是
Bx-
Ay+m=0.
（
3
）过定点直线系
方程：
经过定点
P
< br>（
x
0
，
y
0
）的直线系方程为
y-y
0
=k(x-x
0
)
(
除直线
x=x
0
)
经过定点
P
（
x
0
，
y
0
）的直线系方程为
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)=0
4
经过定
点（
0
，
b
）
的直线系（斜率存在）方程为
y=kx+b.
（
4
）共点直线系方程：
经
过两直线
l
1
：
A
1
x+B
1
y+C
1
=0
，
l
2
：
A
2
x+B
2
y+C
2
=0
的交点的直线系方程为
（<
/p>
A
1
x+B
1<
/p>
y+C
1
）
+<
/p>
λ
(A
2
x+B
2
y+C
2
)
=0 (
除
l
2
外
)
，其中
λ
是待定的系数．
15.
对称问题：
（结合图形理解）
（
1
）点关于点对称：思路：利用中点坐标公式
点
A
（
a
，
b
）关于原点对称的点
A
′（
-a
，
-b
）
.
（
2
）点关于直线对称：
①点
A<
/p>
（
a
，
b
）关于
x
轴的对称点
A
′（
a
，
-
b
）
.
②点
A
（
a
，
b<
/p>
）关于
y
轴的对称点
A
′（
-a
，
b
）
.
③点
A
（
a
，
b
）关于
y=x
的对称点
A
′（
b
，
a
）
.
④点
A
（
a
，
b
）关于
y=-x
的对称点
A
′（
-b
，
-a
）
.
⑤点
A
（
a
，
b
）关于
x=m
的对称
点
A
′（
2m-a
，
b
）
.
⑥点
A
（
a
，
b
）关于
y=n
的对称点
A
′（
a
，
2n-b
）
.
⑦点
A
（
x
0
，
y
0
）关于直线
l
：
Ax+B
y+C=0
的对称点
A
′
.
思路一：利用中点坐标公式、中点在直线
l
上、垂直关系
.
（重点掌握）<
/p>
思路二：利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点
坐标公式
.
（
3
）直线关于点对称：
思路一：
轨迹法
.
（重点掌握）
思路二：在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程
.
思路三：平行直线系
.
（
4
）直线
l
：
Ax+By+C=0
关于直线对称：
①直线
l
关于
x
轴对称的直线是：
Ax+B(-y)+C=0
②直线
l
关于
y
轴对称的直线是：
A(-x) +By+C=0
③直线
l
关于
y=x
对称
的直线是：
Ay+Bx+C=0
④直线
l
关于
y=-x
对称的直线是：
A(-y) +B(-x) +C=0
⑤直线
l
关于直线
l
1
< br>：
A
1
x+B
< br>1
y+C
1
=0
对称的直线是
l
′：
思路一：到角公式法（重点掌握）
思路二：中点坐标法
思路三：轨迹法
思路四：待定系数法
思路五：直线系法
.
+By+C>0
或
<0
所表示的平面区域：
设直线
l
：
Ax+By+C=0
，则
Ax+By+C>0
或
<0
所表示的平面区域是：
若
B
≠
< br>0
，
当
B
与
Ax+By+C
同号时，
表示直线
l
的上方的区域；
当
< br>B
与
Ax+By+C
异号时，
表示直线
l
的下方的区域
.
简言之，同号在上，异号在下
.
若
B=0
，
当
A
与
Ax+By+C
同号时，
表示直线
l
的右方的区域；
当
A
与
Ax+By+C
异
号时，表示直线
l
的左方的区域
.
简言之，同号在右，异号在左
.
一般的，用特殊点（如原点等）代入能更快判断表示的平面区域
.
17.
求解线性规划问题的步骤是：
（
1
）根据实际问题的约束条件列出不
等式；
（
2
）作出可行域，写出目标函数；
（
3
）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解
.
5
18.
设曲线
F
：
A
x
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
可以表示成（
A
1
x+B
1
y+C
1
）
（
A
2
x+B
2
y+C
2
）
=0
的形式，则曲线
F
表示两条直线
.
< br>19.
设直线
l
：
Ax+By+C=0
，两点
M
（
x
1
，
y
1
）
、
N
（
x
2
，
y
2
）
，若直线
l
与线段
MN
相
交，则（
Ax
1
+By
1
+C
）
（
Ax
2
+
By
2
+C
）≤
0.
20.
圆的方程四种形式：
（
1
）圆的标准方程：
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2<
/p>
r
2
（
2
）圆的一般方程：
x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0
（
D
2
+E
2
-4F>0
）<
/p>
A
C
0
▲
Ax
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
表示圆的充要
条件是
B
0
.
D
2
E
2
4
F
0
x
a
r
cos
（
3
）圆的参数方程：<
/p>
（
为参数）
y
b
r
sin
（
4
）圆的直径
式方程：
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
<
/p>
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
0
（
4
种证法）
（圆的直径的端点是
A
(
x
1
,
y
< br>1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
）
21.
圆系方程：
< br>（
1
）过直线
l
：
Ax+By+C=0
与圆
C
：
x
2
+y<
/p>
2
+Dx+Ey+F=0
的交点的圆系方
程是
x
2
+y
2
+Dx+Ey+F+
λ
(Ax+By
+C)=0
，
λ
是待定系数．
（
2
）共交点圆系：
过圆
C
1
：
x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y
+F
1
=0
与圆
C
2
：
x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
的交点的圆方程是
x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
+
λ
（
x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
）
=0
（除圆
C
2
）
，其中
λ
≠－
1
是待定系数．
特别的，当
λ
=
－
1
时，
（
D
1
－
D
2
）
x
+
（
E
1
－<
/p>
E
2
）
y+
（
F
1
－
F
2
）
=0
为两圆公共弦所
在的直线方程
.
< br>（要求：两圆必须相交！
）
22.
点与圆的位置关系：
点
P
（
x
0
，
y
0
< br>）
、圆
C
：
(
x
a
)
(
y
<
/p>
b
)
r
，
d=|PC|
，则：
d>r
点
P
在圆外；
d=r
点
P
在圆上；
d< r
点
P
在圆内
.
注：若点
P
是圆
C
外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为
< br>|PC|+r
，最小距离
为
|P
C|-r.
23.
直线与圆的位置关系：
直线：
Ax+By+C=0
、圆
C
：
(
x
< br>
a
)
(
y
b
)
r
，则：
d>r
相离
△
<0
；
d=r
相切
△
=0
；
2
2
2
2
2
2
6
<
br>2 (
d
相交
△
>0.
其中，
d
判别式
.
注：
（
1
）<
/p>
当直线与圆相离时，
圆上的点到直线的最大距离为
d+r
，
最小距离为
d-r.
Aa
Bb
C
A
B
2
2
，△表示由直线方程和圆方程联立得到
的二次方程的
l
2
2
2
24.
弦长公式：若直线<
/p>
y
kx
b
与二次曲线相交于
A
x
1
,
y
1
)
、
B<
/p>
(
x
2
,
y
2
)
两点，则
（
2
）当直线与圆相交时，弦长
l
，弦心距
d
，半径
r
满足：
(
)
d
r
.
由二次曲线方程和
y
kx
b
联立可得
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
，则知直线与二次曲
线所截得的弦长
|AB|
1
k
2
|
x<
/p>
1
x
2
|
1
1
|
y
1
y
2
|
2
k
1
k
2
b<
/p>
2
4
ac
(
1
k
2
)[(
x
1
x
2
)
2
4
< br>x
1
x
2
]
.
|
a
|
25.
两圆的位置关系：
（
1
）代数法：由两个圆的方程组成二元二次方
程组，
若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；
若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解）
，则两圆相切；
若方程组没有实数解，则两圆相离或内含
. <
/p>
（
2
）几何法：设两圆圆心分别为
O
1
、
O
2
，半径分别为
r
1
、
r
2
，
|O
1
O
2
|=d
，则：
两圆相离
d>r
1
+r
2
4
条公切
线；
两圆外切
d=r
1
+r
2
3
条公切
线；
两圆相交
|r
1
-r
2
|
1
+r
2
2
条公切线；
两圆内切
d=|r
1
-r
2
|
1
条公切线；
两圆内含
0
≤
d<|r
1
-r
2
|
没有公切线
.
26.
圆的切线方程求法：
（
1
）若点（
x
0
，
y
0
）在圆
x
2
+y
2
= r
2
上，则切线
方程为
x
0
x+y
0
y=r
2
.
< br>（
2
）若点（
x
0
，
y
0
）在圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=
r
2
上，则切线方程为
(x
0
-a) (x-a)
+(y
0
-b) (y-b)=
r
2
.
求法：利用点斜式（点为切点，斜
率为圆心与切点连线的斜率的负倒数）
.
（
< br>3
）
若点
（
x
0
，
y
0
）
在圆
(x-a)
< br>2
+(y-b)
2
= r
2
外，
则切线方程的求法是先设切线方程
（即
设斜率）
，再利用圆心到切线的距离等
于半径，可求得斜率，从而写出切线方程
.
注意：切线必有两条，注意不要漏掉切线斜率不存在的情况．
（
4
）若点（
x
0
，
y
0<
/p>
）在圆
x
2
+y
2
= r
2
外
，过点
P
引两条切线，切点为
A
、
B
，则直线
7
AB
的方
程为
x
0
x+y
0
y=r
2
.
（
5
）切线长：过圆外一点
P
（
x
0
，
y
0
）作圆
x
2
+y
2
+Dx+Ey
+F=0
的切线
PM
，
M
为切
点，则切线长
|PM|
=
x
0
y<
/p>
0
Dx
0
Ey
0
F
.
2
2
27.
已知曲线
C
1<
/p>
：
F
1
（
x
，
y
）
=0
、
C
2
：
F
2
（
< br>x
，
y
）
=0
，则过
C
1
、
C
2
交点的曲线系方程
为
F
1
（
x
，
y
）
< br>+
λ
F
2
（
x
，
y
）
=0
（
λ
是待
定的系数）
．
28.
在曲线方程（包括线性约束条件）中，求
y
型、
x
2
y
2
型、
x
y
型值域（或最
x
值）等相
关问题时，应数形结合充分利用几何特征解题
.
（还可考虑参数
法！
）
29.
圆的对称问题：
（
1
）圆关于直线对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于直线对称<
/p>
.
（
2
）圆关
于直线成轴对称：直线过圆的圆心
.
（
3
）圆关于点对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于点对称
.
30.
椭圆的定义：
（
1
）第一定义（距离定义）
：
|MF
1
|+|MF
2
|=2a
（
2a>|F
1
F
2
|>0
）
.
注意：若
2a=|F
1
F
2
< br>|
，则点
M
的轨迹是线段；
若
2a<|F
1
F
2
|
，则点
M
的轨迹不表示任何图形
.
（
2
）第二定义（比值定义）
< br>：
|
MF
|
e
，其中
d
表示点
M
到定直线的距离
.
d
31.
椭圆的标准方程及其几何性质：<
/p>
椭圆方程
x
2
y
2
1
a
2
b
2
y
M
F
2
F
1
x
2
y
2
1
b
2
a
2
y
F
1
x
F
2
x
图
形
a
、
b
、
c
的关系
范
围
焦
点
顶
点
对
称
性
离
心
率
准
线
c
2
=a
2
-b
2
（
a>0
，
b>0
，
c>0
）
|x|
≤
a
，
|y|
≤
b
|x|
≤
b
，
|y|
≤
a
（±
c
，
0
）
（
0
，±<
/p>
c
）
（±
a
，
0
）
，
（
0
，±
b
）
（
0
，±
a
）
< br>，
（±
b
，
0
）
对称轴：
< br>x
轴、
y
轴；对称中心：原点<
/p>
e
c
b
1
(
)
2
(
0
e
1
)
a
a
a
2
y
<
/p>
c
a
2
x
c
8