椭圆周长公式的推导
巡山小妖精
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2021年02月14日 02:12
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椭圆周长
椭圆是个不怎么完美的图形，因为它
的面积有确切公
式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数
学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公
式，但可以用椭圆积
分的级数形式表示。下面对椭圆周长进
行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。
在平面坐标系内
x
< br>2
y
2
椭圆的标准方程为
2
2
1
，
a
0
,
b
0
.
a
b
参数方程为
x
a
cos
,
y
b
sin
,
0
<
/p>
2
当
a
b
时，椭圆图像为
微积
分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。
这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知
识。
若某条光滑曲线，能用参数方程表示
x
X
t<
/p>
，
y
Y
t
当
t
时，该段曲线的长度<
/p>
L
可表示为
L
X
'
t
Y
'
< br>t
dt
2
2
下面借此公式来计算椭圆的
周长，由于椭圆关于坐标原
点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为
< br>L,
则
L
4
2
0
a
2
si
n
2
b<
/p>
2
cos
2
<
/p>
d
a
2
1
cos
2
b
2
cos
2
d
4
2
0
4
a
2
0
1<
/p>
e
2
cos<
/p>
2
d
1
„„„„„„
„○
a
2
b
2
c
，椭圆
的离心率。
其中
e
< br>
2
a
a
这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公
式把
1
e
2
cos
2
展开。
1
x
k
2
1
kx
k
k
1
2
k
(
k
1
)(
k
2
)
3
x
x
„„
2
!
3
!
当
k
1
时，可得
x
1
1
< br>x
1
2
n
2
n
1
2
n
3
!
!
x
n
2
< br>n
n
!
2
2
在此式中令
x
< br>
e
cos
< br>
可得