2019年湖南省中考数学压轴题汇编
-
2019
年湖南省中考数学压轴题汇编
1
．
（
201
9
•长沙）如图，抛物线
y
ax
2
6
ax
(
a
为常数，
a
0)
与
x
轴交于
O
，
A
两点，点
B
为抛物线
的顶点，点
D
的坐标为
(
t
，
0)(
3
t
< br>0)
，连接
BD
并延长与过
O
，
A
，
B
三点的
e
P
相交于点
C
．
（
1
）求点
A
的坐标；
（
2
）过点
C
作
e
P
的切线
CE
交<
/p>
x
轴于点
E
．<
/p>
①
如图
1
，求证：
CE
D
E
；
②
如图
2
，连接
AC
，
BE
，
BO
，当
a
3
1
1
，
CAE
OBE
时
，求
的值．
3
OD
OE
第
1
页
共
27
页
2
．
（
2019<
/p>
•长沙）已知抛物线
y
2
x
2
(
b
2)
x
(
c
2020)(
b
，
c
为常数）
．
< br>
（
1
）若抛物线的顶点坐标为
(1,1)
，求
b
，
c
的值；
（
2
）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求
c
的取值范围；
（
3
）
在
（
1
）
的条件下，
存在正实数
m
，
n
（
m
＜
n
）
，
当
m
≤
x
≤
n
时，
恰好
求
m
，<
/p>
n
的值．
第
2
页
共
27
页
≤
≤
，
3
．
（
2019<
/p>
•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸
四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（
1
）某同学在探究相似四边形的判定时，得到
如下三个命题，请判断它们是否正确（直接
在横线上填写“真”或“假”
)
．
①
四条边成比例的两个凸四边形相似；
(
< br>
命题）
< br>②
三个角分别相等的两个凸四边形相似；
(
命题）
③
两个大小不同的正方形相似．
(
< br>
命题）
< br>（
2
）如图
1
< br>，在四边形
ABCD
和四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
ABC
A
1
B
1
C
1
，
BCD
B
1
C
1
D
1
，
AB
BC
CD
．求证：四边形
ABCD
与四
边形
A
1
B
1
C
1
D
1
相似．
A
1
B
1
B
1
C
1
C
1
D
1
< br>（
3
）如图
2
< br>，四边形
ABCD
中，
AB
/
/
CD
，
AC
与
BD
相交于点
O
，过点
O
作
EF
/
/
AB
分
别交
AD
，
BC
于点
E
，
F
．记四边形
ABFE
的面积为
S
1
，四边形
EFCD
的面积为
S
2
，若
四边形
ABFE
与四边形
EFCD
相似，求
S
2
的值．
S
1
第
3
页
共
27
页
4
．
（
2019<
/p>
•株洲）已知二次函数
y
ax
2
bx
c
(
a
< br>
0)
（
1
）若
a
1
，
b
2
，
c
1
①
求该二次函数图象的顶点坐标；
<
/p>
②
定义：
对于二次函数
< br>y
px
2
qx
r
(
p
0)
，
满足方程
y
x
的
x
的值叫做该二次函数的
“不
动点”
．求证：二次函数
y
ax
2
< br>
bx
c
有两个不同的“不动点”
．
（<
/p>
2
）
设
b
1
3
如图所示，<
/p>
在平面直角坐标系
Oxy
中，
二次函数
y
ax
2
bx
c
的图象与
x
c
，
2
轴分别相交于不同的两点
A
(
x
1
，
0)
，
B
(
x
2
，
0
)
，其中
x
1
0
，
x
2<
/p>
0
，与
y
轴相交于点
C
，
连
结
BC
，
点
D
在
y
轴的正半轴上，
< br>且
OC
OD
< br>，
又点
E
的坐标为
(1,0)
，
过点
D
作垂直于
y
轴的直线与直线
< br>CE
相交于点
F
，
满足
AFC
ABC
．
FA
的延长线与
BC
的延长线相交于
点
P
，若
PC
5
，求二次函数的表达式．
2
PA
5
a<
/p>
1
第
4
页
共
27
页
5
．
（
2019<
/p>
•株洲）四边形
ABCD
是
e
O
的圆内接四边形，线段
AB
是
e
O
的
直径，连结
AC
、
BD
．点
H
是线段
BD
上的一点，连结
AH
、
C
H
，且
ACH
CBD
，
AD
CH
，
BA
的
延长线与
CD
的延长线相交与点
P
．
（
1
）求证：四边形
ADCH
是平行四边形；
（
2
）若
AC
BC
，
PB
5
PD
，
AB
CD
2(
5
1)
①
求证：
DHC
为等腰直角三角形；
②
< br>求
CH
的长度．
第
5
页
共
27
页
6
．
（
2019<
/p>
•株洲）如图所示，在平面直角坐标系
Oxy
中，等腰
OAB
的边
OB
与反比例函数
m
(<
/p>
m
0)
的图象
相交于点
C
，其中
OB
AB
，点
A
在
x
轴的正半轴上，点
B
的坐标为
x
(2,4)
，过点
C
作
CH
< br>
x
轴于点
H
< br>．
y
（
1
）已知一次函数的图象过点
O<
/p>
，
B
，求该一次函数的表达式；
（
2
）
若点
P
是线段
AB
上的一点，
满足
OC
3
AP
，
过点
P
作
PQ
<
/p>
x
轴于点
Q
，<
/p>
连结
OP
，
记<
/p>
OPQ
的面积为
S
OPQ
，设
AQ
t
，
T
OH
2
S
OPQ
①
用
t
表示<
/p>
T
（不需要写出
t
的取值范围）
；
②
当
T
取最小值时，求
m
的值．
第
6
页
共
27
页
7
．
（
2019<
/p>
•湘潭）如图一，抛物线
y
ax
2
bx
c
过
A
(
1
，
0)
B
(3.0)
、
C
(0,
3)
三点
（
1
）求该抛物线的
解析式；
（
2
）
P
(
x
1
，
y
1
)
、
Q
(4,
y
2
)
两点均在该抛物线上，若
y
1
„
y
< br>2
，求
P
点横坐标
x
1
的取值范围；
（
3
）
如图二，
过点
C
作
x
轴的平行线交抛物线于点
E
，
该抛物线的对称轴与
x
轴交于点
D
，
连结
CD
、
CB
，
点
F
为线段
CB
的中点，
点
M
、
N
分别为直线
CD
和
CE
上的动点，
求
FMN<
/p>
第
7
页
共
27
页
周长的最小值．
8
．
（
2019
•湘潭）如图一，在射线
DE
的一侧以
AD
为一条边作矩形
ABCD
，
AD
5
3
，
，连结
BM
，过点
M
作
BM
的垂线交
CD
5
，点
M
是线
段
AC
上一动点（不与点
A
重合）
射线
DE
于点
N
，连接
BN
．<
/p>
（
1
）求
CAD
的大小；
（
2
）问题探究：动点
M
在运动的过程中，
①
是否能使
AMN
为等腰三角形，如果能，求出线段
MC
的长度；如果不能，请说
明理由．
②
MBN
的大小是否改变？若不改变，请求出
MBN
的大小；若改变，请说明理由．
（
3
）问题解决：
如图二，当动点
M
运动到
AC
的中点时，
AM
与
BN
的交点为
F
，
MN
的中点为
H
，求
线
段
FH
的长度．
第
8
页
共
27
页
9
．
（
2019<
/p>
•衡阳）如图，二次函数
y
x
2
bx
c
的图象与
x
轴交于点
A
(
1,0)
和点
B
(3,
0)
，
与
y
轴
交于点
N
，以
AB
为边在
x
轴上方作正方形
ABCD
，点
P
是
x<
/p>
轴上一动点，连接
CP
，
过点
P
作
CP
的垂线与
y
轴交于点
E
．
（
1
）求该抛物线的函数关系表达式；
（
2
）
当点
P
在线段
OB
（点
P
不与
O
、
B
重合）
上运动至何处时，
线段
OE
的长有最大值？
并求出这个最大值；
< br>
（
3
）在第四象限的抛物线上
任取一点
M
，连接
MN
、
MB
．请问：
MBN
的面积是否存在
最大值？若存在，求出此时
点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
第
9
页
共
27
页
10
．
（<
/p>
2019
•衡阳）如图，在等边
ABC
中，
AB
<
/p>
6
cm
，动点
P
从点
A
出发以
1
cm
/
s
的
速度
沿
AB
匀速运动．动点
Q
同时从点
C
出发以同样
的速度沿
BC
的延长线方向匀速运动，当点
P
到达点
B
时，点
P
、
Q
同时停止运动．设运动
时间为
t
(
s
)
．过点
P
作
PE
AC
于
E
，连
接
PQ
交
AC
边于
D
．以
CQ
、
CE
为边作平行四边形
CQFE
．
（
1
）当
t
为何值时，
BPQ
为直角三角形；
（
2
）是否存在某一时刻
t
，使点
F
在
ABC
的平分线上？若存在，求出
t
的值，若不存在，
请说明理由；
（
3
）求
DE
的长；
（
4
）取线段
BC
的中点
M
，连接
PM
，将
BPM
< br>沿直线
PM
翻折，得△
B
PM
，连接
AB<
/p>
，
当
t
为何值时，
AB
的
值最小？并求出最小值．
第
10
页
共
27
页
11
．
（
2019
•邵阳）如图
1
，已知
e
O
外一点
P
向
e
O
作切线
PA
，点
A
为切点，连接
PO
并
延长交
e<
/p>
O
于点
B
，
连接
AO
并延长交
e
O
于点
C
，
过点
C
作
CD
PB
，
分别
交
PB
于点
E
，
交
e
O
于点
D
，连接
AD
．
（
1
）求
证：
APO
~
DCA
；
（
2
）如图
2
，当
AD
AO
时
①
求
P
的度数；
PQ
②
连接
AB
，在
e
O
上是否存在点
Q
使得四边形
APQB
是
菱形．若存在，请直接写出
的
值；若不存在，请说明理由．
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27
页
CQ
1<
/p>
12
．
（
201
9
•邵阳）如图，二次函数
y
x
2
bx
c
的图象过原点，
与
x
轴的另一个交点为
3
(8,0)
（
1
）求该二次函数的解析式；
（
2
）在
x
轴上方作
x
轴的平行线
y
1
m
，交二次函数图象于
A
、
B
两点，过
< br>A
、
B
两点分
< br>别作
x
轴的垂线，垂足分别为点
D
、点
C
．当矩形
ABCD
为正方形时，求
m
的值；
（
3
）在（
2
）的条件下，动点
P
从点
A
出发沿射线
AB
以每秒
1
个单位长度匀速运动，同时
动点
Q
以相同的速度从点
A
出发沿线段
AD
匀速运动，
到达点
D
时立即原速返回，
< br>当动点
Q
返回到点
A
时，
P
、
Q
两点同时停止运动，
设运动时间为
t
秒
(
t
0)
．
过点
P
向
x
轴作垂线，
交抛物线于点
E
，交直线
AC
于
点
F
，问：以
A
、
E
、
F
、
Q
四点为顶点构成的四边形能
否是平行
四边形．若能，请求出
t
的值；若不能，请说明理由．
第
12
页
共
27
页
13
．
（
2019
•岳阳）操作体验：如图，在矩形
ABCD
中，点
E
、
F
分别在边
AD
、
BC
上，将
矩形
ABCD
沿直线
EF
折叠，
使点
D
恰好与点
B
重合，
点
C
落在点
C
处．
点
P
< br>为直线
EF
上
一动点（不与
E
、
F
重合）
，过点
P
分别作直线
BE
、
BF
的垂线，垂足分别为点<
/p>
M
和
N
，
以
PM
、
PN
为邻边构造平行四边形
PMQN
．
（
1
）如图
1
，求证：
BE
BF
；
（
2
）特例感知：如图
2
，若
DE
5
，
CF
2
，
当点
P
在线段
EF
上运动时，求平行四边形
PMQN
的周长；
（
3
）类比探究：若
DE
a
，
CF
b
．
①
如图
3
，当点
P
在线段
EF
的延长线上运动时，试用含
a
、
b
的式子表示
QM
与
QN
之间
的数量关系，并证明；
②
如图
4
，
当点
P
在线段
FE
的延长线上运动时，
请直接用含
a
、
b
的式子表示
QM
与
QN
之
间的数量关系．
（不要求写证明过程）
第
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27
页