高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战17459
-
第
一
试
一、选择题
(
每小题
6
分，共
< br>36
分
)
1
、设
a,b,c
是实数
,
那么对任何实数
x,
不等式
a
sin
x
< br>
b
cos
x
< br>
c
0
.
都成立的充要条件是
2
2
(A)a,b
同时为
0,
且
c>0
(B)
a
b
c
2
2<
/p>
2
2
(C)
a
b
c
(D)
a
b
c
<
/p>
2
、给出下列两个命题：
(1).
设
a,b,c
都是复数，如果
a
b
c
,
则
a
b
c
<
/p>
0
.(2).
设
a,b,c
都是复数，如果
a
b
c
0
,
则
a
b
c
.
那么下述说法正确的是
(A)
命题
(1)
正确
,
命题
(2)
也正确
(B)
命题
(1)
正确
,
命题
(2)
< br>错误
(C)
命题
(1)
错误
,
命题<
/p>
(2)
也错误
(D)
命题
(1)
错误
,
命题
(2)
正确
3
、已知数列
{
a
n
}
满足
3<
/p>
a
n
1
a
n
4
(
n
1
)
,
且
a
1
9
,
其前
n
项之和为
S
n
,
则满足不等式
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
|
S
n
n
6
|
1
125
的最小整数
n
是
(A)5
(B)6 (C)7 (D)8
4
、已知
0
b
1
,
0
a
4
,
则下列三数
:
x
(sin
a<
/p>
)
log
b
si
n
a
log
b
cos
a
y
(cos
a
)
,
,
z
(sin
< br>a
)
log
b
< br>cos
a
的大小关系是
<
br>,
(A)x
5
、在正
n
棱锥中
,
相邻两侧面
所成的二面角的取值范围是
n
2
n
1
n
2
n
1
)
(
,
)
(
0
,
)
(
,
)
n
n
2
n
n
(A)
(B)
(C)
(D)
<
/p>
(
|
x
y
|
|
x
y
|
1
2
a
2
b
6
、在平面直角坐标系中
,
方程
(a,b
是
不相等的两个正数
)
所代表的曲线
是<
/p>
(A)
三角形
(B)
正方形
(C)
非正方形的长方形
(D)
非正方形的菱形
二、填空题<
/p>
(
每小题
9
分，
共
54
分
)
1.
已知有向线段
PQ
的起点
P
和终点
Q
的坐标分别为
(1,1)
和
(2,2)
，若直线
l
:
x
my
m
0
与
< br>PQ
的延长线相交，则
m
的取值
范围是
______.
3
x
sin
x
2
a
0
x
,
y
[
,
],
a
R
4
y
3
sin
y
cos
y
a
0
4
4
2.
已知
且
则
cos(
x
2
y
)
=_____.
5
A<
/p>
{(
x
,
y
)|(
x
3
)
2
(
y
4
)
2
(
< br>)
2
}
2
3.
已知点集
,
5
B
{(
x
< br>,
y
)|(
x
< br>
4
)
2
(
y
5
)
2
(
)
2
}
2
,
则点集
A
B
中的整点
(
即横、纵
坐标均为整数
的点
)
的个数为
_____.
sin
(
1
cos
)
2
4.
设
0
,
则
的最大值是
______.
5.
已知一平面与一正方体的
12
条棱的夹角都等于
,
则
sin
=___
6.<
/p>
已知
95
个数
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
a
95
,
每个都只能取
+1
或
1
两个值之一
,
那么它们的两两之积的
和
a
1
a
2
a
1
a
3
a
94
a
95
的最小值是
___.
一、填空题（本大题共
14
小题，每小题
5
分，共计
70
分）
1
.
（
5
分）已知复数
< br>z=
（
5+2i
）
2
（
i
为虚数单位），则<
/p>
z
的实部为
.
2.
（
5
分）已知集合
A={
﹣
2
，﹣
1
，
3
，
< br>4}
，
B={
﹣
1
，
2
，
3}
，则
A∩B=.
3.
（
5
分）如图是一个
算法流程图，则输出的
n
的值是
.
4.
（
5<
/p>
分）从
1
，
2<
/p>
，
3
，
6
这
4
个数中一次随机抽取
2
个数，则所取
2
个数的乘积为<
/p>
6
的概
率是
.
5.
（
5
分）
已知函数
y=cosx
与
y=sin<
/p>
（
2x+φ
）（
0≤φ
＜
π
），它们的图象有一个横坐
标为
的交点，则
φ
的值是
.
6.
（
5
分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中
60
< br>株树木的底部周长（单
位：
cm
），所得数据均在区间
[80
，
130
]
上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的
60
株树木中，有株树木的底部周长小于
100cm.
7.
（
5<
/p>
分）在各项均为正数的等比数列
{an}
中，若
a2=1
，
a8=a6+2a4
，则
a6
的值是
.
8.
（
5
分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为
S1
，
S2
，体积分别为
V1
，
V2
，若它们的侧面
积相等，且
=
，则
的值是
.
9.
（
5
分）在平面
直角坐标系
xOy
中，直线
x+2y<
/p>
﹣
3=0
被圆（
x
﹣
2
）
2+
（
y+1
）
2
=4
截得的
弦长为
.
10.
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
=x2+mx
﹣
1
，若
对于任意
x
∈
[m
，
m+1]
，都有
f
（
x
）＜
0
成立，
则实数
m
的取值范围是
.
11.
（
5
分）在平面直角坐标系
xOy
中，若
曲线
y=ax2+
（
a
，
b
为常数）过点
P
（
2
，﹣
5
），且该曲线在点
P
处的切线与直线
7x+2y+3=0
平行，则
a+b
的值是
.
12.
（
5
分）如图，在平行四边形
ABCD
中，已知
AB=8
，
AD
=5
，
•
的值是
.
=3
，
•
=2
，则
13.
< br>（
5
分）已知
f
（
x
）是定义在
R
上且周期为
3
的函数，当
x
∈
[0
，
3
）时，
f
（
x
）
=|x2
﹣
2x+
|
，若函数
y=f
（
x
）﹣
a
在区间
[
﹣
3
，
4]
上有
10
个零点（互不相同），则实数
a
的取
值范围是
.
14.
（
5
分）若
△
ABC<
/p>
的内角满足
sinA+
sinB=2si
nC
，则
cosC
的最小值是
.
二、解答题（本大题共
6
< br>小题，共计
90
分）
15.
（
14
分）已知
α
∈
（
（
1
）求
sin
（<
/p>
（
2
）求
cos
（
，
π
），<
/p>
sinα=
.
+α
）的值；
﹣
2α
）的值
.
< br>16.
（
14
分）如图，在三棱
锥
P
﹣
ABC
中，
D
，
E
，
F
分别为棱
PC
，
AC
，
AB
的中点，已知
PA
⊥
AC
，
PA=6
，
BC=8<
/p>
，
DF=5.
求证：
（
1
）直线
PA
∥
平面
DEF
；
（
2
）平面
BDE
⊥
平面
ABC.
17.
（
14
分）如图，在平面直角坐标系
xOy<
/p>
中，
F1
，
F2
分别为椭圆
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦点，顶点
B
的坐标为（
0
，
b
），连接
BF2
并
延长交椭圆于点
A
，过点
A
作
x
轴
的垂线交椭圆于另
一点
C
，连接
F1C.
（
1
）若点
C
的坐标为（
，
），且
BF2
=
（
2
）若
F
1C
⊥
AB
，求椭圆离心率
e
的值
.
，求椭圆的方程；
18.
（
16
分）如图，为保
护河上古桥
OA
，规划建一座新桥
BC
，同时设立一个圆形保护区，
规划要求：新桥
< br>BC
与河岸
AB
垂直；保护区的
边界为圆心
M
在线段
OA
上并与
BC
相切的
圆，且古
桥两端
O
和
A
到该圆上任意一点的距离均不少于
80m
，经测量，点
A
位于点
O
正北方向<
/p>
60m
处，点
C
位于点
O
正东方向
170m
处（
OC
为河岸），
ta
n
∠
BCO=
.
（
1
）求新桥
BC
的长；
（
2
）当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？
19.
（
16
分）已知函数
f
（<
/p>
x
）
=ex+e
﹣
x
，其中
e
是自然对数的底数
.
（
1
）证明：
f
（
x
）是
R
上的偶函数；
（
2
）若关于
x
的不等式
mf
（
x
）
≤e
﹣
x+m
﹣
1
在（
0
，
+∞
）上恒成立，求实数
m
的取值范
围；
（
3
）已知正数
a
满足：存在
x0
∈
[1
，
+∞
），使得
f
（
x0
）＜
a
（﹣
x03+3x0
）成立，试比较
ea
﹣
1
与
ae
﹣
1
的大小，并证明你的结论
.
20.
< br>（
16
分）设数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，若对任意的正整数
n
，总存在正整数
m
，使得
Sn=am
< br>，则称
{an}
是
“H
数列
”.
（
1
）若数列
{an}
的
前
n
项和为
Sn=2n
（
n
∈
N*
< br>），证明：
{an}
是
“H
数列
”
；
（
2
）设
{an}<
/p>
是等差数列，其首项
a1=1
，公差
d
＜
0
，若
{an}
是
“H
数列
”
，求
d
的值
；
（
3
）证
明：对任意的等差数列
{an}
，总存在两个
< br>“H
数列
”{bn}
和
{cn}
，使得
an=bn+cn
（
n
∈
N*
）成立
.
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两
部分）（一）选择题（本题包括
21
、
22
、
23
、
24
四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修<
/p>
41
：
几何证明选讲】
< br>
21.
（
10
分）如图，
AB
是圆
O
的直径，
C
，
D
是圆
O
上位于
AB
异侧的两点，证明：
∠
OCB=
∠
D.
【选修<
/p>
42
：矩阵与变换】
< br>22.
（
10
分
）
已
知
矩
阵
A=
A
=B
，求
x+y
的值
.
，
B=
，
向
量
=
，
x
，
y
为
实
数
，
若
【选修
43
：极坐标及参数方程】
23.<
/p>
在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线<
/p>
l
的参数方程
（
t
为参数），直线
l
与
抛物线
y2=4x
相交于
AB
两点，则线段
AB
的长为
.
【选修
44
：不等式选
讲】
24.
已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，证明（
1+x+y2
）（
1+x2+y
）<
/p>
≥9xy.
(
二）必做题（本部分包括
25
、
26<
/p>
两题，每题
10
分，共计
20
分）
25.
（
10
分）盒中共有
9<
/p>
个球，其中有
4
个红球，
3
个黄球和
2
个绿球，这些球
除颜色外完
全相同
.
（
1
）从盒中一次随机取出
2
个球，求取出的
2
个球颜色相同的概率
P
；
（
2<
/p>
）从盒中一次随机取出
4
个球，其中红球
、黄球、绿球的个数分别记为
x1
，
x
2
，
x3
，
随
机变量
X
表示
x1
，
x2
，
x3
中的最大数，求
X
的概率分布和数学期望
< br>E
（
X
）
.
26.
（
10
< br>分）已知函数
f0
（
x
）
=
（
1
）求
2f1
（
）
+
f2
（
（
x
＞
0
），设
fn
（
x
）为
fn
﹣
1
（
x
）的导数，
n
∈
N*.
）的值；
）<
/p>
+
fn
（
）
|=
都成立
.
（
2
）证明：对任意
n
< br>∈
N*
，等式
|nfn
﹣
1
（
高考模拟题复习
试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）
参考答案与试题解析
一、填空题（本
大题共
14
小题，每小题
5
分，共计
70
分）
1.
（
5
分）已知
集合
A={
﹣
2
，﹣
1
，
3
，
4}
，
B={
﹣
1
，
2
，
3}
，则
A∩B={
< br>﹣
1
，
3}.
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论
.
【解答】解：
∵
A={
﹣
2
，﹣
1
，
3
，
4}
，
B={
﹣
1
，
2
，
3}
，
∴
A∩B={
﹣
1
，
3}
，
故答案为：
{
﹣
1
，
3}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础
.
2.
（
5
分）已知复数
z=
（
5+2i
）
2
（
i
为
虚数单位），则
z
的实部为
21 .
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论
.
【解答】解：
z=
（
5+2
i
）
2=25+20i+4i2=25
﹣
4+20i=21+20i
，
故
z
的实部为
21
，
故答案为：
21
【点评】本题主要考
查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基
础
< br>.
3.
（
5
< br>分）如图是一个算法流程图，则输出的
n
的值是
5 .
【分析】算法的功能
是求满足
2n
＞
20
< br>的最小的正整数
n
的值，代入正整数
n
验证可得答
案
.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足
2n
＞
20
的最小的正整数
n
的值，
∵
24=16<
/p>
＜
20
，
25=
32
＞
20
，
∴
输出
n=5.
故答案为：
5.
【点评】本题考查了
直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题
的关键
.
4.
（
5
分）从
1
，
2
，
3
，
6
< br>这
4
个数中一次随机抽取
2
个数，则所取
2
个数的乘积为
6
的概
率是
.
【分析】首先列举并求出
“
从
1
，
2
，
3
，
6
这
4<
/p>
个数中一次随机抽取
2
个数
”
的基本事件的个
数再从中找到满足
“
所取
2
个数的乘积为
6”
的事件的个数，利用概率公式计算即可
.
【解答】解：从
1
，
< br>2
，
3
，
6
这
4
个数中一次随机抽取
2
个数的所有基本事件有（
1
< br>，
2
），（
1
< br>，
3
），（
1
< br>，
6
），（
2
< br>，
3
），（
2
< br>，
6
），（
3
< br>，
6
）共
6
个，
所取
2
个数的乘积为
6
的基本事件有（
1
，
6
），（
2
，
3
）共
2<
/p>
个，
故所求概率
P=
故答案为：
.
【点评】本题主
要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件
.
5.
（
5
分）已知函数<
/p>
y=cosx
与
y=sin
（
2x+φ
）（
0≤φ
＜
π
），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则
φ
的值是
.
的交点，可得
.
【分析】由于函
数
y=cosx
与
y=sin
（
2x+φ
），它们的图象有一个横坐标为
=
.
根据
φ
的范围和正弦函数的单调性即可得出
.
【解
答】解：
∵
函数
y=cosx
与
y=sin
（
2x+
φ
），它们的图象有一个横坐标为
∴
∵
0≤φ
＜
π
，
∴
∴
+φ=
.
.
，
=
.
，
的交点，
解得
φ=
故答案为：
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、
三角函数求值，属于基础题
.
6.
（
5
分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中
60
株树木的底部周长（单
位：
cm
），所得数据均在区间
[80
< br>，
130]
上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的
60
株树木中，有
24
株树木的底部周长小于
100cm.
【分析】根据频率
=
小矩形的面积
=
小矩形的高
×
组
距底部求出周长小于
100cm
的频率，再
根据频数
=
样本容量
×
频率求出底部周长小于
100cm
的频数
.
【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于
< br>100cm
的频率为（
0.015+0.025
）
×10=0.4
，
∴
底部周长小于
100cm
的频数为
60×0.4=24
（株）
.
故答案为：
24.
【
点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率
=
小矩形的面积
=
小矩形的
高
×
组距
=
.
7.
（
5
分）在各项均为
正数的等比数列
{an}
中，若
a2=
1
，
a8=a6+2a4
，则
a6
的值是
4 .
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出
.
【解答】解：设等比数列
{an}
的公比为
q
＞
0
，
a1
＞
0.
∵
a8=a6+2a4
，
∴
，
化为<
/p>
q4
﹣
q2
﹣<
/p>
2=0
，解得
q2=2.
∴
a6=
=
=1×22=4
.
故答案为：
4.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题
.
8.
（
5
分）设甲
、乙两个圆柱的底面积分别为
S1
，
S
2
，体积分别为
V1
，
V2
，若它们的侧面
积相等，且
=
，则
的值是
.
< br>【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的
< br>比
.
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为
R
，
r
；高分别为<
/p>
H
，
h
；
∵
∴
∴
∴
=
=
，
，它们的侧面积相等，
，
=
=
.
故答案为：
.
【点评】本题考查柱体
体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目
.
9.
（
5
分）在平面直角坐标系
xOy
中，直线
x+2y
﹣<
/p>
3=0
被圆（
x
﹣
2
）
2+
（
y+1
）
2=4
截得的
弦长为
.
【分析】求出已知
圆的圆心为
C
（
2
，﹣
1
），半径
r=2.
利用点到直线的距离公式，算出点
C
到直线直线
l
的距离
d
，
由垂径定理加以计算，可得直线
x+2y
﹣
3=0
被圆截得的弦长
.
【解答
】解：圆（
x
﹣
2
）
2+
（
y+1
< br>）
2=4
的圆心为
C
（
2
，﹣
1
），半径
r=2
，
∵
点
C
到直线直线<
/p>
x+2y
﹣
3=0
的距离
d=
=
，
∴
根
据
垂
径
定
理
，<
/p>
得
直
线
x+2y
﹣
3=0
被
圆
（
x
﹣
2
）
2+
（
y+1<
/p>
）
2=4
截
得<
/p>
的
弦
长
为
2
=2
.
=
故答案为：
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公
式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题
.
10.
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
< br>=x2+mx
﹣
1
，若对于任意
x
∈
[m
，<
/p>
m+1]
，都有
f
（
x
）＜
0
成立，
则实数
m
的取值范围是
（﹣
，
0
）
.
【分析】由条件利用二次函数的性质可得
m
的范围
.
【解答】解：
∵
二次函数
f
（
x
）
=x2+mx
﹣
1
的图象开口向上，
对于任意
x
∈
< br>[m
，
m+1]
，都有
f
（
x
）＜
0
成立，
∴
，由此求得<
/p>
，
即
，解得﹣
＜
m
＜
0
，
故答案为：
（﹣
，
0
）
.
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题
.
11.
（
5
分）在平面直角坐标系
xOy
中，若曲线<
/p>
y=ax2+
（
a
，
b
为常数）过点
P
（
2
，﹣
5
< br>），且该曲线在点
P
处的切线与直线
7x+2y+3=0
平行，则
a+b
的值是
﹣
3 . <
/p>
【分析】由曲线
y=ax2+
（
a
，
b
为常数）过点<
/p>
P
（
2
，﹣
5
），且该曲线在点
P
处的切线与
直线
7x+2y+3=0
平行，可得
y|x=2=
﹣
5
，且
y′|x=2=
【解答】解：
∵
直线
7x+2y+3=0
的斜率
k=
曲线
y=ax2+
，
，解方程可得答案
.
（
a
，
b
为常数）过点
P
（
2
，﹣
5
），且该曲线在点
P
处的切线与直线
7x+2y+3=0
平行，
∴
y′=2ax
﹣
，
∴
，
解得：
故
a+b=
﹣
3
，
，
故答案为：﹣
3
【点评】本题考查的
知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到
y|x=2=
﹣
5
，且
y′|x=2=
，是解答的关键
.
=3
，
•
=2
，则
12.
（
5
分）如图，在平
行四边形
ABCD
中，已知
AB=8<
/p>
，
AD=5
，
•
的值是
22 .
<
/p>
【
分
析
】
由
=3
，
•
=3
，
可
得
=
+
，
=
﹣
，
进
而
由
AB=8
，
AD=5
，
=2
，构造方程，进而可得答案
.
=3
，
=
，
﹣
，
【解答
】解：
∵
∴
=
+
又
∵
AB=8
，
AD=5
，
∴
•
=
（
+
）
•
（
﹣<
/p>
）
=|
|2
﹣<
/p>
•
﹣
|
|2=2
5
﹣
•
﹣
12
=2
，
故
•
=22
，
故答案为：
22.
【点评】本题考查
的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已
知得到
=
+
，
=
﹣
，是解答的关键
.
13.
（
5
分）已知
f
（
x
）是定义在
R
上且周期为
3
的函数，当
x
∈
[0
，
3
）时，
f
（
x
）
=|x2
﹣
2x+
|
，若函数
y
=f
（
x
）﹣
a
在区间
[
﹣
3
，
4]
上有
10
个零点（互不相同），则实数
a
的
取
值范围是
（
0
，
）
.
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线
y=a
< br>的图象，利用数形结合判断
a
的范围
即可
.
【解答】解：
f
（
x
）是定义在
R
上且周期为
3
的函数，当
< br>x
∈
[0
，
3
）时，
f
（
x
）
=|x2
﹣
< br>2x+
|
，若函数
y=f
（
x
）﹣
a
在区间
[
﹣
3
，
4]
上有
10
个零点（互不相同），在同一坐标系
中画出函数
f
（
x
）与
y=a
的图象如图：由图象可知
故答案为：（
< br>0
，
）
.
.
【点评】本题考查函数的图象以
函数的零点的求法，数形结合的应用
.
14.
（
5
分）若
△
ABC
的内角满足
sinA+
sinB=2sinC
，则
cosC
的
最小值是
.
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等
式即可得到结论
.