2019湖南省各市中考压轴题选编(含答案)
-
2019
湖南省各市中考压轴题选编
(2019
年长沙
T26)
如图，抛物线
y
＝
ax
2
＋
6
ax
(
a
为常数，
a
＞
0)
与
x
轴交于
O
，
A
两点，点
B
为抛物线的顶点，点
D
的坐标为
(t
，
0)(
﹣
， <
br>C <
br>求点 <
br>
若点
3
，连接
BD
并延长与过
O
A
，
B
三点的
⊙
P
相交于点
．
(1)
A
的坐标；
(2)
过点
C
作⊙
P
的切线
CE
交
x
轴于点
E
．
①如图
1
，求证<
/p>
CE
＝
DE
，<
/p>
②如图
2
，连
接
AC
，
BE
，
BO
，当
a
＝
1
1
3
<
/p>
，∠
CAE
＝∠
OBE
时，求
的值
．
3
OD
OE
1
/
23
（
2019
湖南张家界
T23
）已知抛物线
y
ax
bx
c
(
a
≠0)
过点
A(1,0), B(3,0)
两点
,
与
y
轴交于点
C,
OC=3.
(1)
求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标
;
(2)
过点
A
作
AM
⊥
BC,
垂足为
M,
求证
:
四边形
ADBM
为正方形
;
(3)
点
P
为抛物线在直线
BC
下方图形上的一动点
,
当
PBC
面积最大时，求
P
点坐标及最
大面积
的值
;
(4)
Q
为线段
OC
上的一动点
,
问
AQ+
若不存在
,
请说明理由
.
2
1
Q
C
是否存在最小值
?
若存在
,
求岀这个最小值
,
2<
/p>
2
/
23
（
2019
年岳阳
T24
）
如图
1
，
△
AOB
的三个顶点
A
、
O
、
B
< br>分别落在抛物线
F
1
：
y
1
2
7
x
x
< br>3
3
的图象上，点
A
的横坐标为－
4
，点
B<
/p>
的纵坐标为－
2
．（点
< br>A
在点
B
的左侧）
（
1
）求点
A
、
B
的坐标；
2
（
2
）将
△
AOB
绕点
O
逆时针转
90°
得到<
/p>
△
A
′
OB
′
，抛物线
F
2<
/p>
：
y
ax
bx
4
经过
A
′
、
B
′
两点，已知点
M<
/p>
为抛物线
F
2
的
对称轴上一定点，且点
A
′
恰好在以<
/p>
OM
为直径的圆上，连
接
OM
、
A
′
< br>M
，求
△
OA
< br>′
M
的面积；
（
3
）如图
2
，延长
OB
′
交抛物线
F
2
于点
C
，连接
A
′
C
，在坐标轴上是否存在点
D
，使得以
A
、
O
、
D
为顶点的三角形与
△
OA<
/p>
′
C
相似．若存在，请求出点
D
的坐标；若不存在，请说
明理由．
3
/
23
（
2019
年湖南省永州市
T26
）
(
本小题
12
分
)(1)<
/p>
如图
26
－
1<
/p>
，在平行四边形
ABCD
中，
∠
A
=30°
，
AB
=6
，
AD
=8
，将平行四边形
ABCD
分割成两部分，然后拼成一个矩形，请
画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．
(
保留分割线的痕迹
)
(2)
若将一边长为
1
的正方形按如图
26
－
2
－
1
所示剪开，
恰好能拼成如图
26
－
2
－
2
所示的
矩形，则
m
的值是多少？
(3)
四边形
ABCD
是一个长为
7
，宽为
5
的矩形
(
面积为
35
)
，若把它按如图
26
－
3
－
1
所示的
方式剪开，分成四部分，重新拼成如图
26
－
3
－
2
所示的图形，
得到一个长为
9
，宽为
4
的矩形
(
面积为
36)
．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
4
/
23
1
（
201
9
年邵阳
）
如图，二次函数
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
的图象过原点，与
x
轴的另
一个交点为
3
（
8
，
0
）
（
1
）求该二次函数的解析式；
（
2
）在
x
轴上方作
x
轴的平行线
y
1
＝
m
，
交二次函数图象于
A
、
B
两点，过
A
、
B
两点分别
作
x
轴的垂线，
垂足分别为点
D
、点
C
．当矩形
ABCD
为正方形时，求
m
的值；
（
3
）在（
2
）的条件下，动点
P
从点
A
出发沿射
线
AB
以每秒
1
个单位长度匀速运动，同时
动点
Q
以
相同的速度从点
A
出发沿线段
AD
匀速运动，到达点
D
时立即原速返回，当动
点
Q
返回到点
A
时，
P
、
Q
两点同时停止运动，设运动时间为
t
秒（
t
＞
0
）．过点
P
向
x
轴作垂
线，交抛物线于点
E
，交直线
AC
于点
F
，问：以
A
、
E
、
F
、
Q
四点为顶点构成的四边形能
否是平行四边形．若能，请求出
t
的值；若不
能，请说明理由．
5
/
23
（
2019
·娄底）
26
．如图，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
（
−
1
，
0
），点
B
（
3
，
0
< br>），与
y
轴交于点
C
，且过点
D
（
2
，
−
3
）。点
P
、
Q
是抛物线上
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的动点。
（
1
）求抛物线的解析式：
（
< br>2
）当点
P
在直线
OD
下方时，求△
POD
面
积的最大值。
（
3
< br>）直线
OQ
与线段
BC
相交于点
E
，当△
OB
E
与△
ABC
相似时，求点
Q
的坐标。
第
26
题图
1
第
26
题图
2
6
/
23
(20
19
衡阳
,T26
）（本小题满分
12
分）如图，在等边三角形
ABC
中，
AB=6cm
，动点
P
从点
A
出发以
< br>1cm/s
的速度沿
AB
匀速运
动
.
动点
Q
同
时从点
C
出发以同样的速度沿
BC
的延长线方
向匀速运动，当点
P
到达点
B
时，点
P
、
Q
同时停止运动
.
设运动时间为
t
（
s
），过点
P
作
< br>PE
⊥
AC
于
< br>E,
连接
PQ
交
AC
边于
D.
以
CQ
、
CE
为边作平行四边
形
CQFE.
(1)
当
t
为何值时，△
BPQ
为直
角三角形；
（
2
）
是否存在某一时刻
t
，
使点
F
在∠
ABC
的
平分线上？若存在，
< br>求出
t
的值，
若不存在，
请说明理由；
（
3
）求
DE
的长；
（
4
）
取
线段
BC
的中点
M
，
连接
PM
，
将△
BPM
沿直线
PM
翻折，得△
B
′
PM
，连接
AB
′，
当
t
为
何值时，
AB
′的值最小？并求出最小值
.
7
/
23
（
201
9
年郴州
T
26
）已知抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
<
/p>
3
与
x
轴分别交
于
A
（－
3
，
0
），
B
（<
/p>
1
，
0
）
两点，与
y
轴交于点
C
．
（
1<
/p>
）求抛物线的表达式及顶点
D
的坐标；<
/p>
（
2
）点
F
是线段
AD
上一
个动点．
1
AF
①如图
1
，设
k
< br>＝
，当
k
为何值时，
CF
＝
AD
？
2
AD<
/p>
②如图
2
，以
A
，
F
，
O
为顶点的三角形是否与△
ABC
相似？若相
似，求出点
F
的坐标；
若不相似，请说
明理由．
y
D
F
C
A
O
B
y
D
D
y
C
C
F
F
A
O
B
A
O
B
8
/
23
（
201
9
年常德
T26
）
在等腰
△
ABC
中，
AB
=
AC
，作
CM
^
AB
交
AB
于点
M
，作
BN
^
AC
交
AC
于点
N.
⑴在如
图
1
中，求证：
△
BMC
≌△
CNB
；
⑵在如图
2
中的线段
CB
上取点
P
，过
点
P
作
PE
/
/
AB
交
CM
于点
E
，作
PF
//
AC
交
BN
于点
F
，
求证：
PE
+
PF
< br>=
BM
；
⑶在如图
3
中，动点
P
在
CB
的延长线上，类似⑵过
P
作
PE
//
AB
交
CM
延长线于点
E
，作
PF
//
AC
交
NB
延长线于点
F
，求证：
AM
?
PF
OM
?
BN
AM
?
PE
A
M
N
O
B
C
图
1
A
M
E
N
F
B
O
P
C
图
2
9
/
23
A
E
M
N
P
O
F
B
C
图
3
（
201
9
·长沙）
{
解析
}
本题考查了
一元二次方程的解法、切线的判定、切割线定
理、等
角对等边，是一道二次函数与圆的综合性问题
．
{
答案
}
解：
(1)
令
ax
2
＋
6
ax
＝
0
，∴
ax
(
x
＋
6)
＝
0
，所以
A(
﹣
6
，
0)
，
(2)
连接
PC
，连接
PB
延长交
x
轴于点
M
，
∵⊙
P<
/p>
过
O
、
A
、
B
三点，
B
为顶点，
∴
PM<
/p>
⊥
OA
，∠
PB
C
＋∠
BOM
＝
90
°，
又∵
PC
＝
PB
，∴∠
PCB
＝∠
PBC
，
∴
CE
为切线，∴∠
PCB
＋∠
ECD
＝
90
°，
又∵∠
BDP
＝∠
CDE
，∴∠
ECD
＝∠
CD
E
，∴
CE
＝
DE
(3)
解：设
OE
＝
m
，即
E(m
，
0)
由切割定理：
C
E
2
＝
OE·
AE
2
t
(m
－
t)
2
＝
m(m
＋
6)
推出
m
＝
①
6
2
t
∵∠
CAE
＝∠
CBD
，
已知∠
CAE
＝∠
OBE
，∠
CBO
＝∠
EBO
，
BD
DO
由角平
分线定理：
即
BE
OE
3
t
2
27
t
推出
m
＝
6
t
②<
/p>
t
6
3
m
2
27
m
6
t
< br>t
2
由①②得
＝
推出
t
2
＋
< br>18t
＋
36
＝
0
，
6
2
t
t
6
∴
t<
/p>
2
＝﹣
18t
﹣
36
，
∴<
/p>
1
1
1
1
3
t
6
1
2
OD
OE
t
m
t
6
（
2019
·张家界）
{
解析
}
本题是二次函数与几
何的综合题，有一定难度
.
主要考查了二次函
< br>数表达式的确定，二次函数的顶点坐标和最值的求法，正方形的判定，最值问题等．
（
1
）
由于抛物线
< br>y
ax
bx
c
经过的点（
1,0
），（
3,0
），（
0,3
），代入建立关于
2
a,b,c
的方程组求解，并用配方法或公式法求顶点
D
的坐标；（
2
）先证△
ABD
和△
ABM
是<
/p>
等腰直角三角形，根据正方形的判定方法得证；（
3
）先判断点
P
在位于抛物线点
A
到点
D
之间时，
< br>
PBC
面积
S
最大
.
设点
P
坐标为（
m,m
2
-4m-3
），用含
m
的式子表示
S
，并结合二
0
次函数知识求
最大值和点
P
的坐标；（
4
）过点
C
作
∠
OCG=30
,
过点
A<
/p>
作
AH
⊥
CG<
/p>
于
H
交
OC
于点
P
，此时
AQ
+
1
QC
有最小值，根据三角函数关系
可求这个最小值
.
2
a
b
c
0
a
1
<
/p>
{
答案
}
解：（
1
）根据题意，得
< br>
9
a
3
b
c
0
，解得
b
4
，抛物
线的解析式为
y=x
2
-
c
3
< br>
c
3
4x+3,
又
y=x
2
-4x+3=(x-2)
2
-1,
所以顶点
D
的坐标为（
2
，
-1
）；
10
/
23
（<
/p>
2
）由点
A(1,0),B(3,0),
D(2,-1)
易证
△
ABD
是等腰直角三角形，∴
AD=BD.
∠
ADB=90
,
∠
AB
D=
∠
BAD=45
0
,
∵
OB=OC,
∴∠
OBC=45
0
,
∴
∠
DBM=90
0
,
< br>∵
AM
⊥
BC,
∴
四边形
ADBM
为正方形；
（
3
）当<
/p>
点
P
在位于抛物线点
A
到点
D
之间时，
PBC
面积
S
最大
.
如图，设点
P
坐标为
（
m,m
2<
/p>
-4m-3
），
S=S
< br>梯形
BCEF
-S
△
CEP
-S
△
BFP
=
0
1
(
m
2
4
m
3
< br>
m
2
4
m
3
3
)
3
2
1
1
m
(
m
2
4
m
< br>
3
3
)
(
3
m
)(
m<
/p>
2
4
m
3
)
=
2
2
3
9
3
3
27
3
< br>
m
2
m
(
m
)
2
，所以当
m=
时，
PBC
面积最大，最大面积为
2
2
2
2
8
2
27
；
8
（
4
）存在
.
过点
C<
/p>
作
∠
OCG=30
,
过点
A
作
AH
⊥
CG
于
H
交
OC
于点
Q
，所以
QH=
0
1
QC,
根据垂线段
2
最短，此时
AH=QA+QH=QA+
1
QC
有最小值
.
又
OG=
3
,AG=
3
+1,
在
Rt
△
AGH
中，∵
cos30
0
=
2
AH
1
3
3
3
3
3
(
3
1
)
,
∴<
/p>
AH=
,
即
AQ
+
QC
的最小值为
.
< br>
2
2
2
AG
2
（
2019
·岳阳
）
{
解析
}
本题考查了二次函数与几何图形的综合运用．
（
1
）分别将
A
点横坐
标和
B
点纵坐标代入抛物线
F
1
可得；
（
2
）
通过
A
< br>′
、
B
′
的坐标求出抛物线
F
2
的函数关系式
，
根据点
M
在对称轴上求出点
M
的横坐标；延长
A
′
M
交
x
轴于点
N
，则
△
A<
/p>
′
MN
为等腰直角三
角形，求出
N
点坐标，进一步求出直线
A
′
N
的解析式，得到点
M
的坐标，最后利用
S
A
′
OM
＝
S
A
′′
ON
－
S
OMN
求
解．
（
3
）根据点在直线
OB
′
和抛物线
F
2
上求出点
C
的坐标，
得到
A
′
C
的
长度
及∠
OA
′
C
的度数，
根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，<
/p>
分两种情况讨论求点
D
的坐标．
11
/
23