2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析
-
2020
年湖南省长沙市中考数学试卷
和答案解析
一、选择题（在下列各题
的四个选项中，只有一项是符合题意的．请
在答题卡中填涂符合题意的选项．
本大题共
12
个小题，
每
小题
3
分，
共
36
分）
1
．
（
3
分）
（
﹣
2
）
3
的值
等于（
）
A
．﹣
6
B
．
6
C
．
8
D
．﹣
8
解析：根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．
参考答案：解：
（﹣
2
）
3
＝﹣
8
，
故选：
D
．
点拨：
此题考查了有理数的乘方，
熟练
掌握有理数的乘方的运算法
则是解本题的关键．
2
．
（
3
< br>分）
下列图形中，
是轴对称图形但不是中心对称图形的是
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
解析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求
解即
可．
参考答案：解：
A
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故
此选项不合题意；
B
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选
项符合题意；
第
1
< br>页（共
32
页）
C
、
既不是轴对称图形，
也不是中心对称图形，
故此选项不合题意；
D
、不是轴对称
图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：
B
．
点拨：
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，
注意掌握好
中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称
中心，
旋转
180
度后与原图重合．<
/p>
3
．
（
3
分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政
府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进
出口企
业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，
2020
年
1
月至
5
月
，全国累计办理
出口退
税
632400000000
元，其中数
字
632400000000
用科学记数法表示为（
）
A
．
6.324
×
1
0
11
C
．
632.4
×
10
9
B
．
6.324
×
10
10
D
．
0.6324
×
10
12
解析：科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
的形式，其中<
/p>
1
≤
|a|
＜<
/p>
10
，
n
为整数
．
确定
n
的值时，
要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少
< br>位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
＞
10
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n<
/p>
是负数．
参考答案：解：
632 400 000 000
＝
6.324
×
10
11
，
故选：
A
．
点拨：
此题考查科学记数法的表示方法．
科学记数法的表示形式为
a
×
10<
/p>
n
的形式，其中
1
≤
|a|
＜
10
，
n
为整数，表示时关键要正确确定
第
2
页（共
32
页）
a
的值以及
n
的值．
4
．
（
3
分）下列运算正确的是（
）
A
．
+
＝
B
．
x
8
÷
x
2
＝
x
< br>6
C
．
×
＝
D
．
（
a
5
）
2
＝
a
7
解析：根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数
幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，
底
数不变，指数相乘，利用排除法求解．
参考答案：解：
A
、
本选项不符合题意．
B
、原式＝
x
< br>8
﹣
2
＝
x
6
，计算正确，故本选项符合题意．
C
、原式＝
＝
，计算错误，故本选项不符合题意．
与
< br>不是同类项，不能合并，计算错误，故
D
、原式＝
a
5
×
2
＝
a
10
，计算错误，故
本选项不符合题意．
故选：
B
．
点拨：
本题主要考查了二次根式的混合运算，
< br>幂的乘方与合并同类
项以及同底数幂的除法，
属于基础计
算题，
熟记相关计算法则即可
解答．
5
．
（
3
分）
2019
年
1
0
月，
《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方
案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜
娟花开”
的美丽姿态．
该高铁站建设初期需要运送大量土石方．
某
运输公司承担了运送总量为
10
< br>6
m
3
土石方的任务，该运输公
司平
均运送土石方的速度
v
（单位：<
/p>
m
3
/
天）与完
成运送任务所需时间
t
（单位：天）之间的函数关系式是（
）
A
．
v
＝
B
．
< br>v
＝
10
6
t
C
．
v
＝
t
2
<
/p>
D
．
v
＝
10
6
t
2
第
3
页（共
32
页）
解析：按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度
v
< br>×完成运送
任务所需时间
t
，列
出等式，然后变形得出
v
关于
t
的函数，观察
选项可得答案．
参考答案：解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度
v
×完
成运送任务所需时间
t
，
∴
10
6
＝
vt
，
∴
v
＝
，
故选：
A
．
点拨：
本题考查了反比例函数的应用，
理清题中的数量关系是得出
函数关系式的关键．
6
．
（
3
< br>分）
从一艘船上测得海岸上高为
42
米的灯塔顶部的仰角为
30
°
时，
船离灯塔的水平距离是（
）
A
．
42
米
B
．
14
米
C
．
21
米
D
．
42
米
解析：在直角三角形中，已知角的对边求邻边，
可以用正切函数来
解决．
参考答案：
解：根据题意可得：船离海岸线的距离为
42
÷
tan30
°＝
42
（米）<
/p>
故选：
A
．
点拨：
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角的定义，
要求学生能借
助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7
．
（
3
分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（
）
第
4
页（共
32
< br>页）
A
．
C
．
B
．
D
．
解析：
根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，
从而可以
将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．
参考答案：解：由不等式组
，得﹣
2
≤
x
＜
2
，
故该不等式组的解集在数轴表示为：
故选：
D
．
点拨：
本题考查解一元一次不等式组、
在数轴上表示不等式组的解
集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
8
．
（
3
分）一个不透明袋子中装有
1
个红球，
2
个绿球，除颜色外无
其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一
个．下列说法中，错误
的是（
）
A
．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B
．第一次摸出
的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C
．第一次摸出的球是红球的概率是
D
．两次摸出的球都是红球的概率是
解析：根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．
<
/p>
参考答案：解：
A
、第一次摸出的球是红
球，第二次摸出的球不一
定是绿球，故本选项错误；
B
、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选
第
5
页（共
32
页）
项正确；
C
、∵不透明袋子中装有
1
个红球，
2<
/p>
个绿球，∴第一次摸出的球是
红球的概率是
，故本选项正确；
D
、共用
9
种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、
绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是
，
故本选项正确；
故选：
A
．
点拨：
此题考查了概率的求法，
解题时
要注意此题是放回试验还是
不放回试验．
用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
9<
/p>
．
（
3
分）
2020
年
3
月<
/p>
14
日，是人类第一个“国际数学日”
．
这个节
日的昵称是“
π
（
Day
）
”
．国际数学日之
所以定在
3
月
14
日，是因
为“
3.14
”是与圆周
率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算
得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个
国家当时数学与科技
发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早
把圆周率的精确值计算到小数点后第
7
位的
科学巨匠，该成果领
先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①
圆周率是一个有理数；
②
圆周率是一个无理数；
③
圆周率是一个与圆的大小无关的常数，
它等于该
圆的周长与直径
的比；
④
圆周率是一个与圆的大小有关的常数，
它等于该圆的周长与半径
的比．
第
6
页（共
32
页）
其中表述正确的序号是（
）
A
．
②③
B
．
①③
C
．
①④
D
．
②④
<
/p>
解析：根据实数的分类和
π
的特点进行解
答即可得出答案．
参考答案：解：因为圆周率是一个无理数，
是一个与圆的大小无关
的常数，它等于该圆的周长与直径的比，
所以表述正确的序号是
②③
；
故选：
A
．
点拨：此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“
π
”的意义是解
题的关键．
10
．
（
3
分）如图：一块直角三角板的
60
°角的顶点
< br>A
与直角顶点
C
分别在两平行线
FD
、
GH
上
，斜边
AB
平分∠
CAD
，交直线
GH
于点
E
，则∠
ECB
的大小为（
）
A
．
60
°<
/p>
B
．
45
°
C
．
30
°
D
．
25
°
解析：
依据角平分线的定义以及平行线的性质，
即可
得到∠
ACE
的
度数，进而得出∠
ECB
的度数．
参考答案：解：∵
AB
平分∠
CAD<
/p>
，
∴∠
CAD
＝
2
∠
BAC
＝
120
°，
又∵
DF
∥
H
G
，
∴∠
A
CE
＝
180
°﹣∠
< br>DAC
＝
180
°﹣
120
°＝
60
°，
第
7
页（共
32
页）
又∵∠
ACB
＝
90
°，
∴∠
ECB
＝∠
ACB
﹣∠
ACE
＝
90
°﹣
60
°＝
30
°，
故选：
C
．
点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，
同旁内角互补．
11
．
（
3
分）随着
5G
网络技术的发展，市场对
5G
产品的需求越来
越
大，
为满足市场需求，
某大型
5G
产品生产厂家更新技术后，
加快
了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产
30
万件产品，现
在生产
500
万件产
品所需时间与更新技术前生产
400
万件产品所
需时间相同．
设更新技术前每天生产
x
万件产品，
依题意得
（
）
A
．
C
．
＝
＝
B
．
D
．
＝
< br>＝
解析：
设更新技术前每天生产
x
万件
产品，
则更新技术后每天生产
（
x+3
0
）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在
生
产
500
万件产品所需时间与更新技术前生产
< br>400
万件产品所需时
间相同，即可得出关于
x
的分式方程，此题得解．
参考答案：解：设更新技术前每天生产
x
万件产品，则更新
技术后
每天生产（
x+30
）万件产品
，
依题意，得：
故选：
B
．
点拨：本题考查了由
实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正
确列出分式方程是解题的关键．
第
8
页（共
32
页）
＝
．
12
．
（
3
分）
“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆
腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，
我们把
“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”
．在
特定
条件下，
“可食用率”
P
与加工煎炸时
间
t
（单位：分钟）近
似满足的函数关
系为：
p
＝
at
2
+bt+c
（
a
< br>≠
0
，
a
，
b
，
c
是
常数）
，如
图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验
数据，可以
得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（
）
A
．
3.50
分钟
B
．
4.0
5
分钟
C
．
3.75
分钟
D
．
4.25
分钟
< br>
解析：将图象中的三个点（
3
，
0.8
）
、
（
4
，
0.9
）
、
（
5
，<
/p>
0.6
）代入函
数关系
< br>p
＝
at
2
+bt+c
中，
可得函数关系式为：
p
＝﹣
0.2t
2
< br>+1.5t
﹣
1.9
，
再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，
求出即
可得结论．
参考答案：解：将图象中的三个
点（
3
，
0.8
）
、
（
4
，
0.9
）
、
（
5
，
0.6
）
代入函数关系
p
＝
at
2
+bt+c
中，
，
解得
，
第<
/p>
9
页（共
32
页
）
所以
函数关系式为：
p
＝﹣
0.2t
2
+1.5t
﹣
1.
9
，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的
最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t
＝﹣
＝﹣
＝
3.75
< br>，
则当
t
＝
3.75
分钟时，可以得到最佳时间．
< br>
故选：
C
．
点拨：
本题考查了二次函数的应用，
解
决本题的关键是掌握二次函
数的性质．
二、填空题（本大题共
4
个小题，每小题
3
分，共
12
分）
13
．
（
< br>3
分）长沙地铁
3
号线、
5
号线即将试运行，为了解市民每周乘
坐地铁
出行的次数，某校园小记者随机调查了
100
名市民，得到
如下统计表：
次数
7
次及
以上
人数
8
12
31
24
15
6
6
5
4
3
2
1
次及
以下
4
这次调查中的众数和中位数分别是
5
，
5
．
解析：根据中位数和众数的概念求解即可．
< br>参考答案：解：这次调查中的众数是
5
，
这次调查中的中位数是
故答案为：
< br>5
；
5
．
点拨：
本题考查中位数和众数的概念；
在一组数据中出现次数最多
的数叫做这组数据的众数；
将一
组数据从小到大依次排列，
把中间
数据（或中间两数据的平均数
）叫做中位数．
第
10
页（共
32
页）
，
14
．
（
3
分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发
给
A
、
B
、
C
三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中
的扑克牌数量足够多）
，然后依次完成以下三个步骤：
第一步，
A
同学拿出二张扑克牌给
B
同学；
第二步，<
/p>
C
同学拿出三张扑克牌给
B
同学；
第三步，
A
同学手中此时有多少张扑克牌，
B
同学就拿出
多少张扑
克牌给
A
同学．
请你确定，最终
B
同学手
中剩余的扑克牌的张数为
7
．
解析：本题是整式加减法的综合运
用，设每人有牌
x
张，解答时依
题意列
出算式，求出答案．
参考答案：
解：
设每人有牌
x
张，
B
同学从
A
同学处拿来二张扑克<
/p>
牌，又从
C
同学处拿来三张扑克牌后，<
/p>
则
B
同学有（
x+2+3
）张牌，
A
同学有（
x
﹣
2
）张牌，
那么给
A
同学后
B
同学手中
剩余的扑克牌的张数为：
x+2+3
﹣（
x
﹣
2
）＝
x+5
﹣
x+2
＝
7
．
故答案为：
7
．
点拨：
本题考查了列代数式以及整式的加减，
解决此题的关键根据
题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应
的等量关系．
15
．
（
3
分）已知圆锥的母线长为
3
，底面半径为
1
，该圆锥的侧面展
开图的面积为
3
π
．
第
11<
/p>
页（共
32
页）
解析：根据圆锥的侧面积公式：<
/p>
S
侧
＝
的侧面展
开图的面积．
2
π
< br>r
•
l
＝
π
rl
．即可得圆锥
参考答案：解：
∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴
S<
/p>
侧
＝
π
rl
＝
3
×
1
π
＝
3
π
，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为
3
π
．
故答案为：
3
π
．
点拨：
本题考查了圆锥的计算，
解决本题的关键是掌握圆锥的侧面
展开图的扇形面积公式．
16
．
（
3<
/p>
分）
如图，
点
P
在以
MN
为直径的半圆上运动
（点
P
不与
M
，
N
重合）
，
PQ
⊥
MN
，
NE
平分∠
MNP
，交
PM
于点
E
，
交
PQ
于
点
F
．
（
1
）
+
＝
1
．
＝
．
（
2
）若
PN
2
＝
PM
•
MN
，则<
/p>
解析：
（
1<
/p>
）证明△
PEN
∽△
QFN
，得
得
②
< br>，再
①
×
②
得
①
，证明△
NPQ
∽△
PMQ
，
，再变形比例
式便可求得结果；
（
2
）
证明△
NPQ
∽△
NMP
，
得
PN
2
＝
NQ
•
MN
，
结合已知条件得
PM
＝
NQ
，再根据三角函数得
解一元二次方程得答案．
参考答案：解：
（
1
）∵
MN
为
⊙
O
的直径
，
第
12
页
（共
32
页）
，进而得
MQ
与
NQ
的方程，再
∴∠
MPN
＝
90
°，
∵
PQ
⊥
MN
，
∴∠
PQN
＝∠
MPN
＝
90
°，
∵
NE
平分∠
PN
M
，
∴∠
M
NE
＝∠
PNE
，
∴△
PEN
∽△
QFN
，
∴
，即
①
，
< br>∵∠
PNQ+
∠
NPQ
＝∠
PNQ+
∠
PMQ
＝
90
°，
∴∠
NPQ
＝∠
PMQ
，
∵∠
PQN
＝∠
PQM
＝
90
°，
∴△
NPQ
∽△
PMQ
，
∴
②
，
，
∴
①
×
②
得
∵
QF
＝
PQ
﹣
PF
，
∴
∴
+
＝
1
﹣
＝
1
，
，
故答案为：
1
；
（
2
）∵∠
PNQ
＝∠
MNP
，∠
NQP
＝∠
NPM
，
∴△<
/p>
NPQ
∽△
NMP
，
∴
，
∴
PN
2
＝<
/p>
QN
•
MN
，<
/p>
∵
PN
2
＝
PM
•
MN
，
第
13
页（共
32
页）
∴
PM<
/p>
＝
QN
，
∴
，
，
∵
cos
∠
M
＝
∴
∴
，
，
∴
NQ<
/p>
2
＝
MQ
2
+MQ
•
NQ
，即
设
，则
x
2<
/p>
+x
﹣
1
＝
0
，
，或
x
＝﹣
，
．
，
解得，
x
＝
∴
＝
＜
0
（舍去）<
/p>
，
故答案为：
点拨：本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平
分线的定义，关键是灵
活地变换比例式．
三、解答题（本大题共
9
个小题，第
17
、
18
、
19
题每小题
6
分，第
20
、
21
题每小题
6
分
，第
22
、
23
题每小题
6
分，第
24
、
25
题每小
题
6
分，共
72
分．解答应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17
．
（
6
< br>分）计算：
|
﹣
3|
﹣（
﹣
1
）
0
+
cos45
°
+
（
）
﹣
1
．
解析：首先化简绝对
值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数
指数幂，再按顺序进行加减运算．
参考答案：解：原式＝
3
﹣
1
＝
2+1+4
第
14
页（共
32
页）
+4
＝
7
．
点拨：
本题主要考查了化简绝对值，
零指数
幂，
特殊角的三角函数，
负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法
则是解答此题的关键．
18
．
（
6
分）先化简再求值：
•
﹣
，其中
x
＝
4
．
解析：
根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，
然后将<
/p>
x
的
值代入化简后的式子即可解答本题．
参考答案：解：
＝
< br>＝
＝
，
＝
3
．
•
﹣
当
x
＝
4
时，原式＝
点
拨：
本题考查分式的化简求值，
解答本题的关键是明确分式化简
求值的方法．
19
< br>．
（
6
分）人教版初中数学教科
书八年级上册第
48
页告诉我们一种
作
已知角的平分线的方法：
已知：∠
A
OB
．
求作：∠
AOB
的平分线．
作法：
（
1
）以点
O
为圆心，适当长为半径画弧，交
OA
于点
M
，
交
OB
于点
N
．
（
2
）分别以点
M
，
N
为圆心，大于
MN
的长为半径画弧，两弧
第
15
页（共
32
页）
在∠
AO
B
的内部相交于点
C
．
（
3
）画射线
OC
，射线
OC
即为所求（
如图）
．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（
1
）这种作已知角的平分线的方法的依据是
< br>
①
．
（填序号）
①
SSS
②
SAS
< br>③
AAS
④
ASA
（
2
）请你证明
OC
为∠
AOB
的平分
线．
解析：
（
1
）直接利用角平分线的作法得出基本依据；
（
2
）直接利用全等三角
形的判定与与性质得出答案．
参考答案：
解：
（
1
）
这种作已知角的平分线的方法的依据是
①
SSS
．
故答案为：
①
（
2
）由基
本作图方法可得：
OM
＝
ON
，
OC
＝
OC
，
MC
＝
NC
，
则在△
OMC
和△
ONC
中，
，
∴△
OM
C
≌△
ONC
（
SSS
）
，
∴∠
AOC
＝∠
BOC
，
即
OC
为∠
AOB
的平分线．
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16
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32
页）