湖南省中考数学压轴题解析汇编
-
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【
2013
·湖南长沙·
26
题
】
如图，在平面直角坐标系中，直线
y
=
-
x
+2
与
x
轴、
y
轴交于点
A
、
B
，动点
P(
a
，
b
)
在第一象限内，
由点
P
向
x
轴
、
y
轴所作的垂线
PM
、
PN
（垂足为
M
、
N
）分别与直
线
AB
相交于点
E
、<
/p>
F
，当点
P(
a
，
b
)
运动时
，矩形
PMON
的面积为定值
2. <
/p>
（
1
）求∠
OA
B
的度数；
（
2
）求证：△
AOF
∽△
BEO
；
（
3
）当点
E
、
F
都在线段
AB
上时，由
三条线段
AE
、
EF
< br>、
BF
组成一个三角形，记
此三
角形的外接圆面积为
S
1
，△
OEF
的面积为
S
2<
/p>
。试探究：
S
1
+S
2
是否存在最小值？
E
O
M
A
x
y
B
F
P
N
若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。
解：
（
1<
/p>
）由
y
=
-
x
+2
知，
∵当
x
=0
时，<
/p>
y
=2
<
/p>
∴
B
（
0
，
2
）
，即
OB=2
∵当
y
=0
时，
x
=2
∴
A
（
2
，
0
）
，即
OA=2
∵
OA=OB
∴△<
/p>
AOB
是等腰直角三角形
∴∠
OAB=45°
（
2
）∵
EM
∥
OB
∴
BE
OM
AB
OA
2
∵
FN
∥
OA
∴
AF
AB
ON
<
/p>
OB
2
∴
AF
·
BE=<
/p>
2
ON
·
2
OM=2OM
·
ON
∵矩形
PMON
的面积为
2
∴
OM<
/p>
·
ON=2
∴
AF
·
BE=4
∵
< br>OA
·
OB=4
∴
AF
·
BE=OA
·
OB
，即
AF
OA
OB
BE
∵∠
OAF=
∠
EBO=45°
∴△
AOF
∽△
BEO
（
3<
/p>
）易证△
AME
、
△
BNF
、△
PEF
为等腰直角三角形
∵
AM=
EM=2
-
a
∴
AE
2
=2(2
-
a
)
2
=2<
/p>
a
2
-
8
a
+8
∵
BN=F
N=2
-
b
∴
BF
2
=2(2
-
b
)
2
=2<
/p>
b
2
-
8
b
+8
∵
PF=P
E=
a
+
b
-
2
∴
EF
2
=2(
a
+
b
-
2)
2
=2
a
2
+
4
ab
+2
b
2
-
8
a
-
8
b
+8
∵
ab
=2
∴
EF
2
=2
a
2
+
2
b
2
-
8
a
-
8
b
< br>+16
∵
EF
2
=
AE
2
+BF
2
∴由线段
AE
、
< br>EF
、
BF
组成的三角形为直角
三角
形，且
EF
为斜边，则此三角形的
外接圆面积为：
S
1
=
4
EF
< br>2
=
4
·
2(
a
+
b
-
2)
2
=
2
(
a
+
b
-
2)
2
∵
S
1
梯形
OMPF
=
2
(PF+OM)
·
PM
S
1
2
PF
·
PE
，
S
1
△
PEF
=
△
OME
=
2
OM
·
EM
∴
S
2
=S
梯形
OMPF
-
S
△
PEF
-
S
△
OME
=
1
2
(PF+OM)
·
PM
-
1
2
PF
·
PE
-
1
2
OM
·
EM
=
1
2
[PF
·
(PM
-
PE)+OM
·
(PM
-
EM)]
=
1
2
(PF
·
EM+OM
·
PE)
=
1
2
PE
·
（
EM+OM)
=
1
2
(
a
+
b
-
2)(2
-
a
+
a
)
=
a
+
b
-
2
∴
S
1
+S
2
=
< br>2
(
a
+
b
-
2)
2
+(
a
+
b
-
2)
设
m=
a
+
b
-
2<
/p>
，
则
S
1
1
1
+S
2
=
2
m
2
+m=
2
(m+
)
2
-
2
∵面积之和不可能为负数
∴当
m
＞
-
1
时，
S
1
+S
2
随
m
的增大而增大
∴当
m
最小时，
S
1
+S<
/p>
2
就最小
∵<
/p>
m=
a
+
b
-
2=
a
+
2
a
-
2=(
a
2
2
a
)
+2
2
-
2
∴当
a
2
a
，即
a
=
b
=
2
时，
m
最小，最小
值为
2
2
-
2
∴
S
1
< br>+S
2
的最小值
=
(2
2
-
2)
2
2
+
2
2
-
2
=
2(3
-
2
2
)
π
+2
2
-
2
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1
【
2013
·湖南株洲·
24
题
】
已知抛物线
C
1
的顶点为
P
（<
/p>
1
，
0
）
，且过点（
0
，
）<
/p>
，将抛物线
C
1
向下平移
h
个单位
4
< br>（
h
＞
0
）得到抛物线
C
2
，一条平行于
x
轴的直线与两条抛物线相交于
A
、
B
、
C
、
D
四点（如图）
，且点<
/p>
A
、
C
关
于
y
轴对称，直线
A
B
与
x
轴的距离是
m
2
（
m
＞
0
）
。
<
/p>
（
1
）求抛物线
C
1
的解析式的一般形式；
（
2
）当
m=2
时，求
h
的值；
<
/p>
（
3
）若抛物线
C
1
的对称轴与直线
AB
交于点
E
，与抛物线
C
2
交于点
D
，求证
：
tan
∠
EDF
-
tan
∠
ECP=
1
解：
（
1
）由题意设抛物线
C
1
的解析式为
y
=
a
(
x
-
1)
2
∵抛物线
C
1
过点（
0
，
1
4
）
∴
a
=
1
4
∴抛物线
C
1
的解析式的一般形式为
< br>
y
=
1
4
(
x
-
1
)
2
=
1
4<
/p>
x
2
-
1
2
x
+
1
4
（
2
）
由题意可得，
抛物线
C
y
=
1
2
的解析式为
4
(
x
-
1)
2
-
h
∵当
m=2
时，直线
AB
与
x
轴的距离是
4
∴直线
AB
的解析式为
y
=4
∵在抛物线
C
1
1
中，当
y
=4
时，
(
x
-
1
)
2
4
=4
解得
x
=5
或
-
3
∴点
C
的坐标为（
5
，
4
）
∵点
A
、
C
关于
y
轴对称
∴点
A
的坐标为（
-
5
，
< br>4
）
代入抛物线
C
1
2
的解析式得
4=
4
(
-
5
-
1)
2
-
h
∴
h
=5
（
3
）∵在抛物线
C
1
1
中，当
y
=m
2
时，
4
(
x
-
1)
2
=m
2
解得
x
=1+2m
或
1
-
2m
∴点
C
坐标为（
1+2m
，
m
2
）
∵点
E
坐标为（
1
，
m
2
）
∴
PE=m
2
，
EC=2m
∴
tan
∠
ECP=
PE
EC
m
2
m
2m
=
2
2
∵在抛物线
C
1
2
中，当
y
=m
2
时，
(
x
-
1)
2
-
h
=m
2
4
解得
x<
/p>
=1+2
m
2
+
h
或
1
-
2<
/p>
m
2
+h
∴点
A
坐标为（
1
-
2
m
2
+h
，
m
2
）
点
D
坐标为（
1+2
m
2
+h
，
m
2
）
∵点
A
、
C
关于
y
轴对称
∴
1
-
2
m
2
+h
+1+2m=0
∴
m<
/p>
2
+h
=m+1
∵
DE=2
m
2
+h
，
EF=m
2
+h
∴
tan
∠
EDF=
EF
m
2
+h
m
2
+h
DE
2
m
2
+h
=
2
=
m+1
2
∴
tan
∠
E
DF
-
tan
∠
ECP=
m+1
2
-
m
1
2
=
2
y
C
1
C
2
A
B<
/p>
E
C
D
O
P
x
F
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【
2013
·湖南郴州·
26
题
】
如图，在直角梯形
AOCB
中，
AB
∥
OC
，∠
AOC=90°
，
AB=1
，
AO=
2
，
OC=3
，以
O
为原点，
OC
、
OA
所在直线为轴建立坐标系。
抛物线顶点为
A
，
且经过点
C
。
点
P
在线段
AO
上由
A
向点
O
运动，
点
Q
在线段
OC
上由
C
向点
O
运动，
QD
⊥
OC
交
BC
于点
D
，
OD
所在直线与抛物线在第一象限交于点
E
。
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）点
E′
是
E
关于
y
轴的对称点，点
Q
运动到何处时，四边形
OEAE′
是
菱形？
（
3
）点
P
、
Q
分
别以每秒
2
个单位和
3
个单位的速度同时出发，运动的时间为
t
秒，当
t
为何值时，
PB
∥
OD
？
<
/p>
解：
（
1
）由题
意知，点
A
（
0
，
2
）是抛物线的顶点
∴可设抛物线的解析式为
y
=
ax
2
+2
由题意得，点
C
（
3
，
0
）在抛物线上
∴
9
a
+2=0
，得
a
=
-
2
9
∴抛物线的解析式为
< br>y
=
-
2
9
x
2
+2
（
2
）连接
EE′
< br>交
y
轴于
F
< br>当四边形
OEAE′
是菱形时，
OA
与
E
E′
互相垂直
平分，即
F
是
OA
的中点，其坐标为（
0
，
1
）
∴点<
/p>
E
的纵坐标为
1
由
-
2
9
x
2
+2=1
解得
x
=
±
3
2
2
∵点
E<
/p>
在第一象限
∴点
E
坐标为（
3
2
2
，
1
）
∴直线
OE
的解析式为
y
=
2
3
x
由题意得，点
B
坐标为（
1
，
2
）
设直线
BC
的解析式为
y
=
kx<
/p>
+
b
，则
k
b
2
3
k
b
< br>
0
解得
<
/p>
k
1
b
3
∴直线
BC
的解析式为
y
=
-
x
+3
联立直线
OE
、
BC
的解析式解得：
点
D
坐标为（
27
9
2
9
2
7
，
6
7
）
∵
QD
⊥
OC
∴点
Q
坐标为（
27
9
2
7
，
0
）
<
/p>
故，当点
Q
运动到（
27
9
2
7
，
0
）时，四边
< br>形
OEAE′
是菱形
（
3
）∵
PB
∥
OD
∴∠
APB=
∠
AOE
∵
DQ
∥
OA
∴∠<
/p>
QDO=
∠
AOE
∴∠
APB=
∠
QDO
∴
Rt
△
PAB
∽
Rt
△
DQO <
/p>
∴
DQ
OQ
AP
AB
过点
B
作
BH
⊥<
/p>
OC
于
H
，则四
边形
AOHB
是矩
形，得
BH=OA=2
，
OH=AB=1
∴
HC=BH=2
，即△
BH
C
为等腰直角三角形
∴△
CDQ
为等腰直角三角形
∴
DQ=CQ=3t
∵
AP=2t
，
OQ=OC
-
CQ=3
-
3t
∴
3
t
3
3
t
2
t<
/p>
1
，得
t=<
/p>
1
2
经检验<
/p>
t=
1
2
是分式
方程的根
∴当
t=
< br>1
2
s
时，
PB
∥
OD
y
< br>A
B
E
’
P
F
E
D
x
O
H
Q
C
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【
2013
·湖南常德·
26
题
】
已知两个共一个顶
点的等腰
Rt
△
ABC
，
Rt
△
CEF
，∠
ABC=
∠
CEF=9
0°
，连接
AF
，
M
是
AF
的中点，连接
MB
、
ME
。
（
1
）如图
1
，当
CB
与
CE
在同一直线上时，求证：
MB
∥
CF
；
< br>（
2
）如图
1
< br>，若
CB=
a
，
CE=2
a
，求
BM
，
ME
的长；
（
3
）如图
2
，当∠
BCE=45°
时，求证：
BM=ME
．
E
N
F
M
A
B
C
图
1
解：
（
1
）延长
BM
交
EF
于
N
。
∵
< br>AB
⊥
CE
，
< br>EF
⊥
CE
∴
AB
∥
EF
∵∠
BAM=
∠
NFM
，∠
ABM=
∠
FNM
∵
M
是
AF
的中点
∴
AM=FM
∴△
< br>ABM
≌△
FNM
∴
AB=FN
∵
AB=BC
∴
BC=FN
∵
CE=FE
∴
BE=NE
∴△
< br>BEN
是等腰直角三角形
∴∠
EBN=45
°
∵∠
C=45
°
∴∠
EBN=
∠
C
∴
BM
∥
CF
（
2
）由
(1
)
得，
BE=NE=CE
-
BC=
a
∴
BN=
BE
2
NE
2
=
2
a
∵△
ABM
≌△
FNM
∴
BM=MN
E
A
B
M
图
2
C
N
F
<
/p>
∴
BM=
1
2<
/p>
BN=
2
2
a<
/p>
∵△
BEN
是
等腰直角三角形，
M
是
BN
的中点
∴
ME=
1
2
BN=
2
2
a
（
3
）延长
BM
交
CF
于
N
，连接
BE
、
NE
。
∵∠
BCE=45°
，∠
C=45°
∴∠
BCF=90°
，即
CF
⊥
BC
∵∠
ABC=90°
，即
AB
⊥
BC
∴
AB
∥
CF
与
(1)
同理可证，△
ABM
≌△
FNM
∴
BM=NM
，
AB=FN
∵
AB=BC
∴
BC=FN
∵∠
< br>BCE=
∠
NFE=45°
，<
/p>
CE=FE
∴△
BCE
≌△
NFE
（
SAS
）
∴
BE=NE
，∠
BEC=
∠
N
EF
∵∠
CEF=
∠
NEF+
∠
CEN=90°
∴∠
BEN=
∠
BEC+
∠
CEN=90°
∴△
BEN
是等腰直角三角形
∵
BM=NM
，即
M
是
BN
的中点
∴
BM=ME=
1
2
BN
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【
2013
·
湖南益阳·
21
题
】
< br>阅读材料：
如图
1
，
在平面直角坐标系中，
A
、
B
两点的坐标分别为
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）
，
AB
中点
P
的坐标为
（
x
p
，
y
p
）
．
由
x
p
-
x
1
=
x
2
-
x
p
，
< br>得
x
p
=
x
1
x
2
y
y
2
x
x
2
，
同理
y
p
=
1
，
所以
AB
的中点坐标为
（
1
，
2
2
2
y
1
y
2
2
2
< br>）
。由勾股定理得
AB
2
=|
x
2
-
x
1
|
2
+|
y
2
-
y
1
|
2
，所以
A
、
B
两点间的距离公式为
AB=
(
x
2
x
1
)
< br>(
y
2
y
1
)
2
注：上述公式对
A
、
< br>B
在平面直角坐标系中其它位置也成立。
解答下列问题：
如图
2
，
直线
l
< br>：
y
=2
x
+2
与抛物线
y
=2
x
2
交于
A
、
B
两点，
P
为
AB
的中点，
y
p
y
y
2
图
1
B
P
A
|
x
2
-
x
1
|
过<
/p>
P
作
x
轴的垂线
交抛物线于点
C
。
< br>（
1
）求
A
、
B
两点的坐标及
C
点的坐标；
（
2
）连结
AB
、
AC
，求证：
△
ABC
为直角三角形；
（
3
）将直线
l
平移到
C
点时得到直线
l
′
，求
两直线
l
与
l
′
的距离
y
1
|
y
2<
/p>
-
y
1
|
O
x
1
x
p
x
2
x
y
2
x<
/p>
2
解：
（
1
）由
可解得：
2
y
2
x
点
A
坐标为（
点
B
坐标为（
1
5
，
3
5
）
2
1
5
，
3
< br>
5
）
2
1
1
AC
·
BC=
AB
·
CD
2
2
AC
BC
∴
CD=
< br>
AB
∵
S
△
ACB
=
由（
< br>2
）得：
AB=5
AC
2
·
BC
2
=(
25
25
125<
/p>
5
5
)(
5
5
)=
2
2
4
5
5
2
∵点
P
为
AB
的中点
1
∴点
P
坐标为（
，
3
）
2
∵
PC
⊥
x
轴
< br>
∴点
C
横坐标为
∴
< br>AC
·
BC=
1
2
∴
CD=
1
1
时，
y
< br>=2
x
2
=
2
2
1
1
∴点
C
坐标为（
，
）
2
2
∵当
x
=
（
2
）∵
AC
2
=(
5
5
1<
/p>
5
·
=
2
5
2
5
2
∴两直线
l
与
l
′
的距离为
y
25
1
1
5
2
1
-
)
+(
3
5
)
2
=
5
5
2
2
2<
/p>
2
25
1
1
5
2
1
BC
2
=(
-
)
+(
3
5
)
2
=
5
5
2
2
2
2
2
l
B
P<
/p>
l
’
∴
AC
2
+BC
2
=25
1
5
1
5
2
∵
AB
=(
-
)
+(
3
5
3
5
)
2
=25
2
2
∴
AB
2
= AC
2
+BC
2
∴△
ABC
是直角三
角形，且∠
ACB
是直角
（
3
）过点
C
作
CD
⊥
AB
于
D
，则线段
CD
的长就是
两直线
l
与
l
′
的距离。
∵△
ABC
是直角三角形，且∠
ACB
是直角
A<
/p>
D
C
O
x
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【
2013
·湖南张家界·
25
题
】
如图，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a≠0
）的图象过点
C
（
0
，
1
）
，顶点为
Q
（
2
，
3
）
，点
D
在
x
轴正半轴上，且
OD=OC
。
（
1
）求直线
CD
的解析式
；
（
2
）求
抛物线的解析式；
（
3
）将直线
CD
绕点
C
逆时针方向旋转
45°
所得直线与抛物线相交
于另一点
E
，求证：
△
CEQ
∽△
CDO
；
（
4
）在（
3
）的条件下，若点
P
是线段
QE
上的动点，点
F
是线段
OD
上的动点，问：在
P
点和
F
点移动过程
中，
△
PCF
的周长是否存
在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
解：
（
1<
/p>
）∵
OD=OC
，点
C
（
0
，
1
）
∴点
D
坐标为（
1
，
0
）
设直线
CD
的解析式为
y
=
< br>kx
+
b
，则
< br>
b
1
k
k
b
0
解得
<
/p>
1
b
1
∴直线
CD
的解析式为
y
=
-
x
+1
（
2
）∵抛物线的顶点
Q
坐标为（
2
，
3
）
∴可设抛物线解析式
为
y
=
a
(<
/p>
x
-
2)
2
+3
∵点
C
（<
/p>
0
，
1
）在抛物
线上
∴
1=4
a
+3
，得
a
=
-
1
2
∴抛物线解析式为
y
=
-
1
2
x
2
+
2
x
+1
（
3
）∵
OC=OD
∴△
CDO
是等腰直角
三角形，∠
DCO=45°
∵∠
DCE=45°
∴∠
OCE=90°
∴
CE
∥
x
< br>轴，
QH
⊥
CE(QH
为抛物线对称轴
)
∴点
H
坐标为（
2
，
1
）
，点
E
坐标为（
4
，
1
）
∴
QH=CH=2
，
QH=EH=2
∴△
QCH
、△
EQH
为等腰直角三角形<
/p>
∴△
CEQ
为
等腰直角三角形
∴△
CEQ
∽△
CDO
y
K
B
y
Q
Q
P
H
E
P
’
C
C
E
< br>F
’
D
O
D
x
O
F
x
A
（
4
）存在。
作点
C
关于
x
轴的对称点
A(0
，
< br>-
1)
，作点
C
关
于直线
QE
的对称点
B
，连接
AB
交
QE
于
P
，交
OD
于
F
，连接<
/p>
PC
、
CF
。<
/p>
由对称性知，
PC=PB
，
FC=FA
∴
C
△
PCF
=PC+FC+PF=PB+FA+
PF=AB
在
QE
、
OD
上任取点
P
’
、
F
’
，
连
P
’
B
、
P
’
C
、
F
’
C
、<
/p>
F
’
A
、
P
’
F
，得△
P
’
CF
’
。
则
C
△
P
’
CF
’
=P
’
C+F
’
C+P
’
F
’
=P
’
B+F
’
A+P
’
F
’
由两点之间线段最短可知，
< br>AB
＜
P
’
B+F
’
A+P
’
F
’
∴
C
△
PCF
=AB
为△
PCF
周长的最小值
<
/p>
过点
B
作
BK<
/p>
⊥
y
轴于
K <
/p>
由
(3)
知，
E
Q
⊥
CQ
，∠
QCE=45°
∴点
C
、
Q
、
B
< br>在同一直线上，且∠
BCK=45°
< br>∴△
BCK
是等腰直角三角形
由
(3)
可得，
CQ=2
2
∴
BC=2CQ=4
2
∴
BK=CK=BC
·
sin
∠
BCK=4
2
·
2
2
=4
∵
OC=OA=1
∴
AK=CK+OC+OA=6
∴<
/p>
AB=
AK
2
BK
2
36
16
=2
1
3
综上所述，
在
P
点和
F
点移动过程中，
△
PCF
的
周长存在最
小值，最小值为
2
13
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【
2013
·湖南邵阳·
26
题
】
如图所示，在
Rt
△
ABC
中，
AB=BC=4
，∠
ABC=90°
，点
P
是
△
ABC
的外角∠
BCN
的角平分线上一个动点，点
P′
是点
P
关于直线
BC
的对称点，连结
PP′
交
BC
于点
M
，
BP′
交
AC
于
D
，连结
BP
、
AP′
、
C
P′
。
（
1
）若四边形
BPCP′
为菱形，求
BM
的长；
（
2
）若
△
B
MP′
∽△
ABC
，求
BM
的长；
（
3
）若
△
ABD
为等腰三角形，求
△
ABD
的面积
图
1
N
C
图
2
N
C
图
3
N
C
P
P
’
D
A
P
M
B
A
P
< br>’
D
P
M
P
’
D
M
B
A
E
B
解：
（
1
）∵四边
形
BPCP′
为菱形
∴
BM=
1
1
BC=
×
4=2
2
2
∴
BM=BP
′
·
sin45°
=4
×
（
3
）分如下三种情况：
2
=2
2
<
/p>
2
（
2
）∵
△
BMP′
∽△
A
BC
，且△
ABC
是等腰
Rt
△
∴
△
BMP′
是等腰
Rt
△
∴∠
MBP
′
=45°
∴∠
ABP
′
=45°
∴△
ABD
是等腰
Rt
△
∴
BP
′
是
AC
的垂直平分线
∴∠
P
′
AC=
∠
P
′
CA
∵
CP
是∠
BCN
角平分线，且∠
BCN=135°
∴∠
PCM=67.5°
∵点
P′
是点
P
关于直线
BC
的对称点
∴∠
P
′
CM
=
∠
PCM=67.5°
∵∠
ACB=45°
∴∠
P
′
CA=
∠
P
′
CM
-
∠
ACB=22.5°
<
/p>
∴∠
P
′
AC=
22.5°
∴∠
P
< br>′
AB=
∠
P
< br>′
AC+
∠
CAB=22.5°
+45°
=67.5°
∴∠
AP
′
B=180°<
/p>
-
∠
P
′
AB
-
∠
ABP
′
=67.5°
∴∠
P
′
AB=
∠
AP
′
B
∴
BP
′
=AB=4
①
当
AD=
BD
时，则△
ABD
是等腰
Rt
△，即图
2
所示情况
。
由
(2)
可得
S
△
ABD
=
1
1
1
S
△
ABC
=
·
AB
·
BC
2
2
2
1
1<
/p>
=
×
×
4
×
4=4
2
2
②
当
AB=AD
时，
如图
3
所示。
过点
D
作
DE
⊥
AB
于
E
，则△
ADE
是等腰
Rt
△
∴
DE=AD
·
sin45°
=4
×
2
=2
2
2<
/p>
∴
S
△
ABD<
/p>
=
1
1
AB
·
DE=
×
4
×
2
2
=4
2
2
2
③
当
AD=BD
时，
点
D
与点
C
重
合，
点
P
、
M
均与
点
C
重合
此时，
S
△
ABD
=S
△
ABC
=
1
1
AB
·
BC=
×
4
×
4=8
2
2
综上所述，当△
ABD
为等腰三
角形时，△
ABD
的面积为
4
或
8
或
4
2