笔算开立方
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笔算开立方
一天，我遇到了一道需要用到
3
10
的近似值的物理题。我没带计算器<
/p>
或《中学数学用表》
，只好逐个计算一些数的立方，并与
10
比较，好不容
易才把小数点后第二位数字确
定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法
我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些
关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤
回忆一下：
1
．将被开方数的整数部
分从个位起向左每两位分为一组；
2
．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；
3
．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二
组数；
4
．用求得的最高位数的
< br>20
倍试除上述余数，得出试商。再用最
高位数的
20
倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，
试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5
．用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第
1
步中的“两”应改为
“三”
，第
2
、
3
步中的“平”应改为“立”
，而第
5
步不变化。关键是第
4
步如何进行。
当天晚上，
我想到完全平方公式是
(a+b)
2
=
a
2
+2ab+b
2
< br>，完全立方公式是
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
。于是我猜想“
20
倍”应该与“
2ab
”有关。我先后
想出了几种可能的方法，经检验，都
是行不通的。那么我有必要分析笔算
开平方的本质。
以两位数
ab
为例，
a
b
= (10a+b)
2
=100a<
/p>
2
+20ab+b
2
。这里
a
代表平方根
的最高位数，
b
代表试商。事实上，
100a
2
已在第
3
步里被减
去了。那么剩
下的就是
20ab+b
2
，即
(20a+b)
·
b
，也就是“求得的最高位数的
20
< br>倍与试
商的和再乘以试商”
。这样，如果被开方数是
(10a+b)
2
，那么最后所得的余
数恰好为零；如果被开方数比
(10a+b)
2
大，就把
10a+b
看作
a
继续进行下
去。同样的道理，这个法则对多位
数、一位数和小数也适用。
类似地，
(10a+b)
3
=1000a
3
+300a
2
b+30ab
2
+b
3
，其中
1000a
3
在开立方法则
第
3
步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的
300
倍与
试商的积，
求得的最高位数的
30
倍与试商的平方的积和试商的立
方写在竖
式的左边，用第
3
步所得余
数减去它们的和。举几个简单的例子验证一
下：
(300=1
2
×
300
×
1 (600=1
2
×
< br>300
×
2 (1200=2
2
×
300
×
1)
2