笔算开方
-
笔算开立方的方法
方法一
1
．将被开立方数的整数部分从
个位起
向左每三位分为一组；
2
．根据最左边一组，求得立方
根的最高位数；
3
．用第
一组数减去立方根最高
位数的立方，在其右边写上第二
组数；<
/p>
4
．用求得的最高位数的平方的
300
倍试除上述余数
，得出试商；并把求得的最
高
位数的平方的
300
倍与试商的积、求
得的最高位数的
30
倍与试商
的平方的
积和试
商的立方写在
竖式左边，观察其和是否大于
余数，若大于，就减小试商
再试，若不大
于，试商就
是
立方根的第二位数；
5
．用同样方法继续进行下去。
方法二
第
1
、
2
步同上。
第三步，商完后，落下余
数和后面紧跟着的三位，如果后面没有
就把余数后面添
< br>上三个
0
；
第四步
，将要试商的数代入式子
“
已商数
×
要试商数
×
（<
/p>
10×
已
商数
+
要试
商数）
×
3
0+
要商数的立方
”
，最接近但不超过第三步
得到的数者，即为这一位要商
的数。
然后重复第
3
、
4
步，直到除尽。
开方算法的历史记载
九章算
术
《
九章算术》
中讲了
开平
方
、
开立方的方法
，
而且计算步骤和现在的基本
一样．
所
不同的是古代
用筹算
进行演算，现以少广章第
12
题为例，说明古代开平方
演算的步
骤，
“
今有<
/p>
积五万五千二百二十五步．问
为方几何．
”“
答曰：
二百三十五步．
”
这里所
说的步是我国
古代的长度单位。
开立方
原文
开立方
〔立方适
等，求其一面也。〕
术曰：
置
积为实。借一算，步之，超二等
。
〔言千之
面十，言百万之面百。〕
议所得
，
以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者
，亦求为方幂。以上议命而除之
，则立方等也。〕
除已，三
之为定法。
〔为当
复
除，故豫张三面，以定方幂为定
法也。〕
复除，折
而下。
〔复除
者
，三面方幂以皆自乘之数，须得
折、议，定其厚薄尔。开平幂
者，
方百之面
十；
开立幂者，
方千
之面十。
据定法已有
成方
之幂，
故复除当以千为百
，
折下一等
也。〕
以三乘所
得数，置中行。
〔设三廉
之定长。〕
复借一算
，置下行。
〔欲以
为
隅方。立方等未有定数，且置一
算定其位。〕
步之，中
超一，下超二等。
〔上方
法
，长自乘而一折，中廉法，但有
长，故降一等；下隅法，无面
长，
故又降一
等也。〕
复置议，
以一乘中，
〔为三廉
备幂也。〕
再乘下，
〔令隅自
乘，为方幂也。〕
皆副以加
定法。以定法除。
〔三面
、
三廉、一隅皆已有幂，以上议命
之而除，去三幂之厚也。〕<
/p>
除已，倍
下，并中，从定法。
〔凡再
以
中、三以下，加定法者，三廉各
当以两面之幂连于两方之面，
一隅
连于三廉
之端，以待复除也。言不尽
意，
解此要当以棋，乃得明耳。〕
复除，折
下如前。开之不尽者，亦为不可
开。
〔术亦有
以定法命分者，不如故幂开方，
以微数为分也。〕
[
1]
开平方
开方
(
是指开平方，由正方形面积求其
一边之长．
)
术曰：置积为实
(
即指筹算中把
被开方数放置
于第二行，
称为实
)
借一算
(<
/p>
指借用一算
筹放置于最后一行
，
如图
1
－
25(1)<
/p>
所示用以定位
)
．步之
< br>(
指所借的算
筹一步一步移动
)
超一等
(
指所借的算筹由个位越过
十位移至百位
或由百位越过千位移至万位等等
，
这与现代笔算开平方
中分节相当如图
1
－
25(2)
所示
)
．议所得
(
指议得初商，由
于实的万位
数字是
5
，而且
22
＜
5
＜
32
，议
得初商为
2
，
而借算在万位，
因此应在第一行
置初商
2
于百位，
如图<
/p>
1
－
25(3)
所示
)
．
以
一
乘所借一算
为法
(
指以初商
2
乘所借算一次为
20000
，
置于
“
实
”
下为
“
法
”
，
如图
1
－
2
5(4)
所示
)
而
以除
(
指以初商
2
乘
“
法
”20000
得
40000
，由
“
实
”
减去得：
55225-40000=1
5225
，如图
1
－
2
5(5)
所示
)
除
已，倍法为定法，其复除，折法
而下
(
指将
“
法
”
加倍，向
右移一位，
得
4000
为
“
定法
”
因为现在要求平方根的十位
数字，
需要把
“
借算
”
移至百位
，
如图
1
－<
/p>
25(6)
所示
)
．
复置借算步之如初，
以复议
一乘之
，
所得副，
以加定法，
以除
(
这
一段是指：要求平方根的
十位数字，需置借算于百位．因
“
实
”
的千位
数字为
15
，且
4