小学奥数质数合数分解质因数
宁为卿狂-
5-5
质数合数分解质因数
教学目标
本讲中的知识点在小学课本内已经
有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另
一种分类方式，但是相
对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难
点。在
奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前
的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重
点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运
用。
知识点拨
1
．
质数与合数
一个数除了
1
和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数<
/p>
(
也叫做素数
).
一个数除了
1
和它本身，还
有别的约
数，这个数叫做合数
.
要特别记住：
0
和
1
不是质
数，也不是合数
.
常用的
100
以内的质数：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
，共计<
/p>
25
个；除了
2
其余的质数都是奇数；除了
2
和
5
，其余的质数个位数
字只能是
1
，
3
，
7
或
9.
考点：
⑴
值
得注意的是很多题都会以质数
2
的特殊性为考点
.
⑵
除了
2
和
5
，其余质数个位数字只能是
1
，
3<
/p>
，
7
或
9.
这也是很多题解题思路，需要大家注意
.
2
．
质因数与分解质因数
质因数：如果一
个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
.
互质数：公约数只有
1
的两个自然数，
叫做互质数
.
分解质因数：把一个合
数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
.
例如：
30
2
3
5
.
其中
2
、
3
、
5
叫做
30
的质因数
.
又如
12
2
2
3
2
2
3
，
2
、
3
都叫做
12
的质因
数，其中后一个式子
叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标
准式
.
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我
们分析数字的特征
.
3
．
唯一分解定理
a
3
a
k
a
2
p
3
<
/p>
L
p
k
任何一个大于
1
的自然数
n
都可以写成质数的连乘积，
即：
n
p
1
a<
/p>
1
p
2
其中为质数，
a
1
a
2
L
L
a
k
为自然数，并且这种表示是唯一的
.
该式称为<
/p>
n
的质因子分解式
.
例如：三个连续自然数的乘积是
210
< br>，求这三个数
.
分析：
∵
210=2×3×5×7
，
∴
可知这三个数是
5
、
6
和
7.
4.
部分特殊数的分解
111
3
37
；
10
01
7
1
1
13
；
1
1111
41
271
；
10001
73
137
；
1995
3
5
7
19
；
1998
2
3
3
3
37
；
2007
3
3
223
；
2008
2
2
2
251
；
10101
3
7
13
37
.
5.
判断一个数是否为质数的方法
根据定
义如果能够找到一个小于
p
的质数
q<
/p>
(
均为整数
)
，
使得
q
能够整除
p
，那么
p
就不是质数，所以
我们只
要拿所有小于
p
的质数去除
p
就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的
p
，我们可以先找
一个大于且接近
p
的平方数
K
2
，再列出所有不大于
K
的质数，用这些质数去除
p
，如没有能够除尽的那
么
p
就为质数
.
例如：
< br>149
很接近
144
12
12
，根据整除
的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149
是质数
.
例题精讲
模块一、质数合数的基本概念的应用
【例
1
】
下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
请你将诗中
56
个字第
1
行左边第一字起逐行逐字编为
1—56
号，再将号码
中的质数由小到大
找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
【巩固】
(
2008
年南京市青少年
“科学小博士”
思维训练
)
炎黄骄子
菲尔兹奖被誉为
“数学界的诺贝尔奖
”
，
只奖励
40
岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于
1982
年、
2006
年荣获此奖．我
们知道正
整数中有无穷多个质数
(
素数
)
，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对
任何正整数<
/p>
k
，存在无穷多组含有
k
个等间隔质数
(
素数
)
的数组．例如，
k
3
时，
3
，
5
，
7
是间
隔为
2
的
3
个质数
；
5
，
11
，
17
是间隔为
6
的
3
个质数：而
，
，
是间隔
为
1
2
的
3
个质数
(
由小到大排列，只写一组
3
个质数即
可
)
．
【巩固】
(
2003
年
“祖冲之杯”
邀请赛
)
大约
1500
年前，
我国伟大的数学家祖冲之，
计算出
π
的值在
3.
1415926
和
3.1415927
之间，
成为世界上第一个把
π
的值精确
到
7
位小数的人．
现代人利用计算机已
经将
π
的值计算到了小数点后
515<
/p>
亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左
起的第一位
3
是质数，
31
也是质数，
但
314
不
是质数，
在
3141
，
31415
，
314159
，
3141592
，
31415926<
/p>
，
31415927
中恰有一个是质数，
是哪个？
【巩固】
(
2004
年全国小学奥林匹克
)
自然数
N
是一个两位数，
< br>它是一个质数，
而且
N
的个位数
字与十位数
字都是质数，这样的自然数有多少个？
【例
2
】
两
个质数之和为
39
< br>，求这两个质数的乘积是多少
.
【解析】
因
为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是
2
，
另一个是
37
，乘积为
74
.
我们
要善于抓住此类题的突破口。
【巩固】
如
果
a
，
b
均为
质数，且
3
a
7
b
41
，则
a
b
______.
【巩固】
A
，
B
，
C
为<
/p>
3
个小于
20
的
质数，
A
B
C
30
，
求这三个质数
.
【巩固】
已
知
3
个不同
质数的和是最小的合数的完全平方，求这
3
个质数的乘积是多少
？
【巩固】
小
晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易
记住，因为它的形式为
abba
，其中
a
b
，而且
ab
和
ba
都是质数
(
a
和
b
< br>是两个数字
)
．具有这种
形式的
数共有多少个？
【例
3
】
(
“祖
冲之杯”
小学数学邀请赛
)
九九重阳节
，
一批老人决定分乘若干辆至多可乘
32
人的大巴前去
参观兵马俑．如果打算每辆车坐
22
个人，就会有
1
个人没有座位；如果少开一辆车，
那么，这
批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？
【巩固】
(
俄罗斯数学奥林匹克
)
万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不
相同．如果个位数字等于前两个
数字的和，那么这个数是几？
【巩固】
(
第五届“华杯赛”口试第
15
题
)
图中圆圈内依次写出了前
25
个质数；甲顺
次计算相邻二质数之
和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．<
/p>
甲填
“
和数<
/p>
”
5
8
12
...
...
...
...
...
质数列
2
3
5
7
11
13
...
89
97
乙填
“
积数
”
6
15
35
...
...
...
...
...
问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同
?
为什么
?
【巩固】
(
全国小学数学奥林匹克
)
从
1
～
9
中选出
8
个数排成一个圆圈，
使得相邻的两数之和都是
质数．
排
好后可以从任意两个数字之间切开，
< br>按顺时针方向读这些八位数，
其中可以读到的最大的数是多
少？
【巩固】
(
保良局亚洲区城市小学数学邀请赛
)
用
L
表示所有被
3
除余
< br>1
的全体正整数．如果
L
中的数
(1
不算
)
除
1
及它本身以外，不能被
L
的任何数整除，称此数为
“L—
质数
”
．问：第
8
个
“L—
质数
”
是什么？<
/p>
【例
4
】
9
个连续的自然数，每个数都大于
80
，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组
【巩固】
(
我爱数学少年数学夏令营
)
用
0
，
1
，
2
，
…
，
9
这
10
个数字组成
6
个质数，
每个数字至多用
1
次，
每个质数都不大于
500
，那
么共有多少种不同的组成
6
个质数的方法．请将所有方法都列出
来．
【巩固】
从
小到大写出
5
个质数，使后面数都比
前面的数大
12
。这样的数有几组？
【例
5
】
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
< br>，
9
这
9
个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，
那么这
9
个数字最多能组成多少个质数
.
【巩固】
有
三张卡片，
它们上面各写着数字
1
，<
/p>
2
，
3
，
从中抽出一张、
二张、
三张，
按任意次序排列出来，
可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的
质数都写出来
.
【巩固】
某
质数加
6
或
减
6
得到的数仍是质数，在
50
以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来
.
【例
6
】
7
个连续质数从大到小排列是
a
、
b
、
c
、
d
、
e
、
f
、
g
。已知它们的和是偶数，那么
d
是多少？
< br>
【巩固】
从
20
以内的质数中选出
6
个，
然后把这
6
个数分别写在正方体木块的
6
个面上，并且使得相对两
个面的数的和都相等
.
将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能
有多少种不
同的值？
【巩固】
将
八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数
互质，那么
A
最小是几？
A
=
（
）
+
（
）
=
（
）
+
（
）
=
（
）
+
（
）
=
（
）
+
（
）
【巩固】
4
只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．
每瓶和其他各瓶分别合称一次，
记录千克数如下：
8
，
9
，
10
，
11
，
12
，
13
．已知
4
只空瓶的重量之和以及油的重量之
和均为质数，求最重的两瓶内有
多少油？
【例
7
】
将
60
拆成
1
0
个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少
< br>
【巩固】
将
50
分拆成
10
个质数的和，要求其中
最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
【巩固】
将
37
拆成若干个不同的质数之和，
有多少种不同的拆法？将每一
种拆法中拆出的那些质数相乘，
得到的乘积中，哪个最小？
【巩固】
如
果一个数不能表示为三个不同合数的和，
那么我们称这样的数为智康数，
那么最大的智康数是
几？