2020中考数学复习微专题：最值胡不归问题
婚礼钢琴曲-
- <
/p>
2020
中考数学复习微专题：最值（
“
胡不归
”
问题）
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，
某天不幸得知老父亲病危的消息，
便立即赶路回家．
根
据
“
两点之间线段最短
”
，虽然从他此刻位置
A
到家
B
之间是一片砂石
地，但他
义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻
居告诉小伙子说，
老人弥留之际不断念叨着
“
胡不归？胡不归？
…”
（
“
胡
”
同
“
何
”
）
而如果先沿着驿道
AC<
/p>
先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
< br>B
V
1
V
1
驿道
砂石地
A
V
2
C
【模型建立】
如图，
一动点
P
在直线
MN
外的运动速度为
V
1
，
在直线
MN
上运动的速度为
V
2
，
且
V
1<
V
2
< br>，
A
、
B
为定点，点
C
在直线
MN
上，确定点
C
的位置使
最
小．
B
AC
BC
的值
V
2
V
1
V
1<
/p>
M
N
A
V
2
C
-
-
-
总
结
.
-
【问题分析】
V
V
AC
BC
1
=
BC
1
A
C
，记
k
1
，
V
2
V
1
V
1
V
2
V
2
即求
BC
+
kAC
的最小值．
【问题解决】
构造射线
AD
使得
sin
∠
DAN
=
k
，
CH
/
< br>AC
=
k
，
CH
=
kAC
．
< br>
B
M
sin
< br>α
=
A
CH
AC
α
=k
H
C
N
D
CH=kAC
将问题转化为求
BC
+<
/p>
CH
最小值，过
B
点作
BH
⊥
AD
交
MN
于点
C
，交
AD
于
H
点，此时
BC
+
CH
取到最小值，即
BC
+
kA
C
最小．
B
M
A
α
H
C<
/p>
N
D
【模型总结】
在求形如
“
P
A
+
< br>kPB
”
的式子的最值问题中，关键是构造与
kPB
相等的线段，将
“
P
A
+
kPB
”
型问题转化为
“
P
< br>A
+
PC
”
型．
-
-
-
总
结
.
-
而这里的
PB
必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到
kPB
< br>的等线段．
1.
如图，
△
ABC
中，
AB
=
AC
=10
，
tan
A
=2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一
个动点，则
CD
5
BD
的最小值是
____
___
．
5
A
E
D
B
C<
/p>
【分析】本题关键在于处理
“
sin
ABE
5
BD
”
，考虑
ta
n
A
=2
，
△
ABE
三边之比为
1:
2
:
5
，
5
5
5
，故作
DH
⊥
AB
交
AB
于
H
点，则
< br>DH
BD
．
< br>
5
5
A
A
H
E
D
H
D
E
B
C
B
C
问
题
转
化
为
CD
+
DH
最
小
值
，
故
C
、
D
< br>、
H
共
线
时
值
最
小
，
此
时
CD
<
/p>
DH
CH
<
/p>
BE
4
5
．
【小结】本
题简单在于题目已经将
BA
线作出来，只需分析角度的三角函数
值，
作出垂线
DH
，即可解决问题，若
稍作改变，将图形改造如下：
-
-
-
总
结
.