数学知识点归纳
老年人适合吃什么-
字交叉双乘法没有公式，一定要说的话
那就是利用
x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)<
/p>
其中
PQ
为常数。
x^2
是
X
的平方
< br>
1.
因式分解
即和差化积，
其最后结果要分解到不能再分为止。
而且可以肯定一个多项式要能
< br>分解因式，
则结果唯一，
因为：
数域
F
上的次数大于零的多项式
f(x
),
如果不计零
次因式的差异，那么
f
(x)
可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x
)*,
其中
α
是
f(x)
的最高次项的系数，
P1(x),P2(x)……P
i
（
x
）是首
1
互不相等的不可约多项式，并且
Pi(x)(I=1,2…,
t)
是
f(x)
的
Ki
重因式。
（
*
）或叫
做多项式
f(x)
的典型分解式。证明：可参见《高代》
P52-53
初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等
要求为：要分到不能再分为止。
2.
方法介绍
2.1
提公因式法：
如果多项式各项都有公共因式，<
/p>
则可先考虑把公因式提出来，
进行因式分解，
注
意要每项都必须有公因式。
例
15x3+10x2+5x
解析显然每项均含有公因式
5x
故可考虑提取公因式
5x
，接下来剩下
x2+2x+1
仍可继续分解。
解：原式
=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2
公式法
即多项式如果满足特殊公式的结构
特征，
即可采用套公式法，
进行多项式的因式
< br>分解，
故对于一些常用的公式要求熟悉，
除教材的基本公
式外，
数学竞赛中常出
现的一些基本公式现整理归纳如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±
2ab+b2=(a±
b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±
3
a2b+3ab2±
b2=(a±
b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2
a1a2+…+2an
-
1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-
bc)
an+bn=(a+b)
(an-1-an-
2b+…+bn
-1)(n
为奇数
)
说明由因式定理，即对一元多项式
f(x)
，若
f(b)=0
，则一定含有一次因式
x-b
。
可判断当
n
为偶数时，
当
a=b,a=-b
时，<
/p>
均有
an-
bn=0
故
an-bn
中一定含有
a+b
，
a-b
因
式。
例
2
分解因式：①
64x6-y12
②
1+x+x2+…+x15
解析各小题均可套用公式
解①
64
x6-y12=
（
8x3-y6
）
(8x3+y6)
< br>=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②
1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多项式分解时，先构造公式再分解。
2.3
分组分解法
当多项式的项数较多时，
可将多项式进行合理分组，
达到顺利分解的目的。
当然
可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。
例
1
分解因式：
x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式
=
（
x15+m12
）
< br>+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例
2
分解因式：
x4+5x3+15x-9
解析可根据系数特征进行分组
解原式
=
（
x4-9
）
+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4
十字相乘法
对于形如
ax2+bx+c
结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法
,
即
x
2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)
当
x2
项系数不为
1
时，
同
样也可用十字相乘进行操
作。
例
3
分解因
式：①
x2-x-6
②
6x2-x-1
2
解①
1x2
1x-3
原式
=
（<
/p>
x+2
）
(x-3)
②
2x-3
3x4
原式
=
（
2x
-3
）
(3x+4)
注：
“ax4+bx2+c”
型也可考虑此种方法。
2.5
双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘法
是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，
尤其是某些二次六项式，如
4x2-4xy-3y2-4x+10y-3
，也可以运用十字相乘法分
解因式，其具体步骤为：
（
1
）用十
字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图
（
2
）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个
< br>十字中交叉之积的和等于原式中含
y
的一次项，
同时还必须与第一个十字中左端
的两个因式交叉之积的和等于原式中含<
/p>
x
的一次项
例
5
分解因式
①
4x2
-4xy-3y2-4x+10y-3
②
x2-3xy-10y
2+x+9y-2
③
ab+b2+a-b-2
④
6x2-7xy-3y
2-xz+7yz-2z2
解①
原式
=
（
2x-3y+1
）
(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②原式
=
（
x-5y+2
）
(x+2y-1)
x-5y2
x2y-1
③原式
=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab-2
④原式
=
（
2x-3y+z
）
< br>(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
说明：③式补上
oa2,
可用双十字相乘法，当然此题
也可用分组分解法。
如（
ab+a
）
+(b2
-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三个字母满足二次六项式，把
-
2z2
看作常数分解即可：
2.6
拆法、添项法
对于一些多项式，
如果不能直接因式分解时，
可以将其中的某项拆成二项之差或
< br>之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，
可
解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。
例
6
分解因式：
x3+3x2-4
解析法一：可将
-4
拆成
-1
，
-3
即（
x3-1
）
+(3x2
-3)
法二：添
x4,
再减
x4,.
即（
x4+3x2-4
）
+(x3-x4)
法三：添
4x,
再减
4x
即，（
x3+3x2-4x
）
+(4x-4)
法四：把
3x2
拆成
4x2-x2,
即（
x3-x2
）
+(4x2-4)
法五：把
x3
拆为，
4x2-3x3
即
(4x3-4)-(3x3-3x2)
等
解（选择法四）原式
=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2
．
7
换元法
换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
< br>
种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
例
7
分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用换元法分解此题
解原式
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令
y=x
2+5x+5
则原式
=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令
x2+5x+4=y
或
x2+5x+6=y
或
x2+5x=y
请认真比较体会哪种换法
更简单？
2
．
8
待定系数法
待定系数法
是解决代数式恒等变形中的重要方法
,
如果能确定代数式变形后
的字
母框架
,
只是字母的系数高不能确
定
,
则可先用未知数表示字母系数
,<
/p>
然后根据多
项式的恒等性质列出
n
个含有特殊确定系数的方程
(
组
)
，解出这个方程
(
组
)
求出
待定系数。待定系数法应用广泛
,
在此只研究它的因式分解中的一些应用。
例
7
分解因式：
2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析属于二次六项式，也可考虑用
双十字相乘法，在此我们用待定系数法
先分解
2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解设可设原式
=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m
+2n)a+(3m-
3n)b+mn……………
比较两个多项式（即原式与
*
式）的系数
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式
=
（
2x-3
b+4
）
(a+3b+5)
注对于（
*
）式因为对
a,b
取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求
m,n
令
a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令
a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9
因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式
f(x)=anxn+an-1xn-
1+…+a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一
次因式
(x-)
（其中
p
，
q
互质），
p
为首项系数
an
的约数，
q
为末项系数
a0
的约数
若
< br>f
（）
=0,
则一定会有（
x-
）再用综合除法，将多项式分解
例
8
分解因式
x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为
4
的正约数为
1
、
2
、
4
∴可能出现的因式为
x±
1,x±
2,x±
4,
∵
f(1)
≠0,f(1)≠0
但
f(2
)=0,
故
(x-2)
是这个多项式的
因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式
=(x-2)(x2-2x+2)