高中数学必修4教案 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
背心裙-
2.3.2
平面向量的正交分解及坐标表示
项目
内容
2.3.2
平面向量的正交分解及坐
标表示
课题
（共
1
课时）
1.
通过探究活
动
,
能推导并理解平面向量
基本定理
.
2.
掌握平面里的任何一
个向量都可以用两
个不共线的向量来表示
,
理解这是应
教学
目标
用向量解决实际问题的重要思想
方法
.
能够在具体问题中适当地选取基底
,
使
[
来源
学
+
科
+
网<
/p>
Z+X+X+K]
修
改
< br>与
创
新
其他向量都能够用基底来表达
.
3.
了解向量的夹角与垂直的概念
,
并能应
用于平面向量的正交分解中
,
会把向量
正交分解
,
会用坐标表示向量
.
教学重点
:
平面向量基本定理、向量的夹角
与垂直的定义、平面向量的正交分
教学
解、平面
重、
向量的坐标表示
.
难点
教学难点
:
平面向量基本定理的运用
.
教学
多媒体课件
准备
导入新课
前面我们学习了向量的代数运算以
及对应的几何意义
,
如果将平面内向量
的始点放在一起
,
那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是
否都可以用这
两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理
.
教师可
教学过
程<
/p>
以通过多
对几个向量进行分解或者合成
,
在黑板上给出图象进行演示和讲
解
.
如果条件允许
,
< br>用多媒体教学
,
通过相应的课件来演示平面上任意向量的
分解
,
对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会
有什么样的结论？
提出问题
图
1
①给定平面内任意两个不共线的非零向量
e
1
、
e
2
,
请你作出向量
3
< br>e
1
+2
e
2
、
e
1
-2
e
2
.
平
面内的任一向量是否都可以用形如
λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的向量表示呢
?
< br>②如图
1,
设
e
1
、
e
2
是同一平面内两个不共线的向量
,
a
是这一平面内的任一向
量
,
我们通过
作图研究
a
与
e
1
、
e
2
之
间的关系
.
活动
:<
/p>
如图
1,
在平面内任取一点
O,
作
OA
=
e
1
,
OB
=
e
2
,
OC
=
a
.
过点
C
作平
行于直线
OB
的直线
,
与直线
OA;
过点
C
作平行于
直线
OA
的直线
,
与直线
OB
交
于
< br>点
N.
由
向
量
的
线
性
运
算
性
质
可<
/p>
知
,
存
在
实
数
λ
1
、
λ
2
,
使
得
OM
=λ
1
e
1
,
ON
=λ
2
e
2
.
由于
OC
OM
ON
,
所以
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
也
就是说
,
任一
向量
a
都可以表示成
λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的形式
.
由上述过程可以发现
,
平面内任一向量都可
以由这个平面内两个不共线的
向量
e
1
、
e
2
表示出
来
.
当
e
1<
/p>
、
e
2
确定后<
/p>
,
任意一个向量都可以由这两个向量量化
,
这为我们研究问题带来极大的方便
.
由此可得
:
平面向量基本定理
: <
/p>
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量
,
那么对于这一平面内的任意向量
a
,
有且只有一对实数
λ
1
、
λ
2
,<
/p>
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
定理说明<
/p>
:(1)
我们把不共线向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基
底
;
(2)
基底不唯一
,
关
键是不共线
;
(3)
由定理可将任一
向量
a
在给出基底
e
< br>1
、
e
2
的条件下进行分解
;
(4)
基底给
定时
,
分解形式唯一
.
讨论结果
:
①可以
.
②
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
提出问题
①平面中的任意两个向量之
间存在夹角吗？若存在
,
向量的夹角与直线的夹角
一样吗？
②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
活动
:
引导学生结合向量的定义和性质
,
思考平面中的任意两个向量之间
的关系是
什么样的
,
结合图形来总结规律
.
教师通过提问来了解学生总结的情
况
,
对回答正确的学生进行表扬
,
对回答不全面
的学生给予提示和鼓励
.
然后教
[
来源
学
*
科
*
网
Z*X*X*K]
师给出总结性的结论
:
不共线向量存在夹角
,
关于向量的夹角
,
我们规定
:
图
2
已
知
两
个
非
零
向
量
a
和
b
(
如
图
< br>2),
作
OA
=
a
,
OB
=
< br>b
,
则
∠
AOB=θ(0°≤θ≤180°)
叫做向量
a
与
b
的夹角
.
显然
,
当
θ=0°
时
,
a
与
b
同向
;
当
θ=180°
时
,
a
与
b
反向
.<
/p>
因此
,
两非零向量的夹
< br>角在区间
[0°
,180°
]<
/p>
内
.
如果
a<
/p>
与
b
的夹角是
9
0°
,
我们说
a
与
b
垂直
,
记作
a
⊥
b
.
由平面向量的基本定理
,
对平面上的任意向
量
a
,
均可以分解为不共线的两
个向量
λ
1
a
1
和
λ
2
a
2
,
使
a
=λ
1
a
< br>1
+λ
2
a
2
.
在不共线的两个向量中
,
垂直是一种重要的情形
.
把一个向量分解为两个
互相垂直的向量
,
叫做把向量正交分解
.
如上
,
重力
G
沿互相垂直的两个方向分
解就是正交分解
,
正交分解是向量分解中常见的一
种情形
.
在平面上
,
如果选取互相垂直的向量作为基底时
,
会为我们研究问题带来
方便
.
讨论
结果
:
①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间
[0°
,180°
]
内
;
向量与直线的
夹角不一样
< br>.
②可以
.
提出问题
①我们知道
,
在平面直角坐标系中
,
每一
个点都可用一对有序实数
(
即它的坐标
)
表示
.
对直角坐标平面内的每一个向
量
,
如何表示呢
?
< br>②在平面直角坐标系中
,
一个向量和坐标是否是一一对应
的？
图
3
活动
:
如图
3,
在平面直角坐标系中
,
分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向
量
ｉ
、
j
作为基底
.
对于平面内的一个向量
a
,
由平面向量基本定理可知
,
有且只
有一
对实数
x
、
y,
使得
a
=x
ｉ
+y
j
①
这样
,
平面内的任一向量
< br>a
都可由
x
、
< br>y
唯一确定
,
我们把有序数对<
/p>
(x,y)
叫做向量
a
< br>的坐标
,
记作
a
=(x,y
)
②
其中<
/p>
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标
,y
叫做
a
在
y
轴
上的坐标
,
②式叫做向量的
坐标表示<
/p>
.
显然
,
ｉ
=(1,0),
j
=(0,1),
0
=(0,0).
教师应引导学生特别注意以下
几点
:
(1)
向量
< br>a
与有序实数对
(x,y)
一一
对应
.
[
来源
学
+
科
+
网<
/p>
Z+X+X+K]
(2)
向量
a
的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点
的具体位置没有关系
,
只与其相对位置有关系
< br>.
如图所示
,
A
1
B
1
是表示
a
的有向线段
,A
1
、
B
1
的坐标分
别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
),
则向量
a
的坐标为
x
=x
2
-x
1
,y=y
2
-y
1
,
即
a
的坐标为
< br>(x
2
-x
1
< br>,y
2
-y
1
< br>).
(3)
为简化处理问题的过程
,
把坐标原点作为表示向量
a
的有
向线段的起点
,
这时
向量
a
的坐标就由表示向量
a
的
有向线段的终点唯一确定了
,
即点
A<
/p>
的坐标就
是向量
a
的坐标
,
流程表示如下
:
讨论结果
:
①平面内的任一向量
a
都可由
x
、
y
唯一确定
,
我
们把有序数对
(x,y)
叫做向量
a
的坐标
,
记作
a
=(x,y).
②是一一对应的
.
应用示例
例
1
如图
4
,
ABCD,
AB
=
< br>a
,
AD
=
b
,H
、
M
是
AD
、
DC
之中点
,F
使
BF=
1
BC,
3
以
a
,
b
为基底分解向量
AM
和
HF
.
图
4
活动<
/p>
:
教师引导学生利用平面向
量基本定理进
行分解
,
让学生自己动手、
动