(完整)初三数学寒假辅导讲义第1讲三角形提高班教师版
裂脚亚目-
1
中
考
第
一
< br>轮
复
习
三
角
形
考试内容
中考大纲剖析
A
考试要求层次
B
< br>会用尺规作给定条件的三角形；
掌握三角形内角和定理及推论；会按
要求解决三角形的边、
角的计算问题；
能用三角形的
内心、外心的知识解决
简单问题；会证明三角形的中位线定<
/p>
理，并会应用三角形中位线性质解决
有关问题
能用等腰三角形、等边三角形、
直角三角形的性质和判定
解决简单问
题
会运用等腰三角形、<
/p>
等边三角形、
直角三角形
的知识解决有关
问题
会运用全等三角形
的知识和方法
解决有关
问题
C
三角形
了解三角形的有关概念；
了解三角形的稳定性；
会按边
和角对三角形进行分类；
理解
三角形的内角和、
外角和及三
边关系；
会画三角形的主要
线
段；
知道三角形的内心、
外心
和重心
了解等腰三角形、
< br>等边三
角形、
直角三角形的概念，
会
识别这三种图形；
理解等腰三
角形
、
等边三角形、
直角三角
形的性质和判
定
等腰三角形和直角
三角形
全等三角形
勾股定理及其逆定
理
相似三角形
了解全等三角形的概念，
掌握两个三角形全等的条件和性
了解相似三角形与全等三角
质；会应用全等三角形的性质与判定
形之间的关系
< br>
解决有关问题
已知直角三角
形的两边
长，会求第三边长
了解两个三角形相似的
概念
会用勾股定理及其逆定理解决简
单问题
会利用相似三角形的性质与判定
进行简单的推理和计算；会利用
三角
形的相似解决一些实际问题
由某
个角的一个三角函数值，会
求这个角的其余两个三角函数值；会
计算含有
30
，
45
，
60
角的三角函数式的
值
淘宝搜索店铺名：优能教育在
锐角三角函数
了
解
锐
角
三
角
函
数
（
si
n
A
，
cos
A
，
tan
A
）；
知道
30
，
45
，
60
角的三
角函数值
线，小学、初中、高中全套课外
辅导、补习、家教资
料都有！
会解直角三角形；能根据
问题的
需要添加辅助线构造直角三角形；会
解由两个特殊直角三
角形构成的组合
图形的问题
能运用三
角函数解
决与直角三角形有关的
简单问题
解直角三角形
知道解直角三角形的含
义
能综合运用直角三
角形的性质解决有关问
题
初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
1
本讲结构
知识导航
一、等腰三角形
①等腰三角形的两大特性．
A
A
E
F
D
C
B
H
D
C
F
CH=DE-DF
图形
a
a
E
B
H
CH=DE+DF
特性
<
/p>
“
等腰三角形中的三线合一
”
“
底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的
关系
”
②构造等腰三角形．
“
垂直平分线造等腰
”
③特殊等腰三角形．
“
平行线
加角平分线
”
“
平行线截等腰三角形
”
“
圆构造等腰
”
图形
60°
60°
60°
45°
30°
30°
1
∶∶
1
2
1
∶∶
1
3
36°
36°
72°
72°
1
∶∶
1
5+1
2
三边
之比
1
∶
1
∶
1
1
∶∶
1
5
1
2
二、直角三角形
1
．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余．
②．三边满足勾股定理．
③．边角间满足锐角三角函数．
初三
寒假·第
1
讲·提高班·教师版
2
2
．特殊直角三角形
60°
“
等腰直角三角形
”
< br>
“
含
30
和
60
的直角三角形
”
45°
边的比：
1
∶∶
1
2
3
．直角三角形中的特殊线．
a
d
c
b
边的比：
1
∶
3
∶
2
a
h
c
b
“
直角三角形斜边中线
< br>d
c
”
2
ab
“
直角三角形斜边高
h
”
c
< br>三
.
尺规构造等腰三角形和直角三角形
< br>
问题
等腰
三角
形
直角
三角
形
A
作图
求点坐标
“
万能法
”
其他方法
作等腰三
< br>角形底边
的高，用
B
A
l
B
分别表示出点
A<
/p>
、
B
、
P
的
A
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
l
坐标，再表示出线段
AB
、
已知点
A
、
B
和直线
l
，
在
l
上
求
点
P
，
使
BP
、
AP
的长度，
由①
AB=AP
勾股或相
②
AB=BP
③
BP=AP
列方程解出坐标
分别表示出点
A
、
B
、
P
的
似建立等
量关系
△
PAB
为等腰三角形
B<
/p>
l
“
两圆一垂
”
B
坐标，再表示出线段
AB
、
BP
、
AP
的长度，由
作垂线，
用勾股或
相似建立
等量关系
已知点
A
、
B
和直线
l
，
在
l
上
求
点
P
，
使
l
A
P
1
P
2
P
3<
/p>
P
4
①
AB
BP
AP
②
BP
AB
AP
③
AP
AB
BP
列方程解出坐标
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
△
PAB
为直角三角形
“
两垂一圆
”
四
.
全等三
角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
全等三角形的判定：⑴
SSS
；⑵
SAS
；⑶
ASA
；⑷
AAS
；⑸
HL
< br>．
初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
3
在证明
图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合
.
五
.
相似三
角形
相似三角形的性质：
⑴
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．
⑵
相似三角形对应高的比等于相似比
，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
相似三角形的判定：
⑴
平行于三角形一边的直线，截其他
两边所得的三角形与原三角形相似；
⑵
两角对应相等，两三角形相似；
⑶
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
⑷
三边对应成比例，两三角形相似．
相似三角形的基本模型：
A
D
E
E
D
A
D
B
C
< br>B
A
D
A
A
E
D
B
(
1)
D
A
E
C
B
(3)
A
C
C
B
(6)
C
A
D
(4)
A
E
E
E
B
A
B
C
（
10
）
D
E
B
C
(2)
【
编写思路
】
由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三
角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单 ，
所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求
.
另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究
”
，
使得每一讲有一
个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花
.
本讲的探究
是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最
值问题”
.
B
(5)
C
B
C
（
8
）
D
C
（
9
）
D
模块一
特殊三角形
夯实基础
B
【例
1<
/p>
】
（
1
）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知
A
、
B
是
两格点，如果
C
也是图中的格点，且使得
△
ABC
为等腰三角形，则点
C
的
个数是（
）
A
A.6
B.7
C.8
D.9
10)
，
（
2
）
在平面直角坐标系中，
点
A
的坐标为
(4
，
0
)
，
点
B
的坐标为
(4
，
点
C
在
y
轴上，
且
△
ABC
是直角三角形
，则满足条件的
C
点的坐标为
．
（
2010
顺义一模）
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< br>
初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
4
（
3
）
已知：
如图，
在
△
ABC
中，
点
D
在<
/p>
AB
边上，
点
E
在
AC
边的
延长线上，
且
BD
< br>CE
，
B
ACB
，
连接
DE
交
BC
于
F
．
B
求证：
DF
EF
．
（
2012
海淀期中）
D
F
A
E
C
（
4
）如图所示，在
△
ABC
中，
BC
< br>=6
，
E
，
F
分别是
AB
，
< br>AC
的中点，点
P
在射线
EF
上，
BP
交
CE
于
D
，点
Q
在
CE
上且
BQ
平分∠
CBP
，
设
BP
=
y
，
PE
=
x<
/p>
.
当
CQ
=
1
CE
时，
y
与
x
之间的函数关系式
2
是
.
【解析】
（
1
）
C
，
“<
/p>
两圆一垂
”
；
（
2
）（
0
，
0
），（
0
，
10
），（
0
，
2
），（
0
，
8
）
.“
两垂一圆
”
确定四个点之后，用勾股求得；
（
3
）证明：过
D
点
作
AC
的平行线交
BC
于点
G
，
则
∠
B
=
∠
ACB
=
∠
BGD
；
∴
BD
=
DG
=
CE
；
易证
△
DFG
≌△
EFC
；
∴
D
F
=
EF
.
注：
本题
方法很多，
还可以过
D
作
BC
平行线，
或过
E
作
AB
的平行线，
由
“
平行线截等腰三角
形
”
得新等腰三角形
.
（
4
）
y
=
–
x
+6
；
提示：延长
BQ
与射
线
EF
相交，由
“
平行线加角平分线
”
得到等腰三角形
.
【例
2
】
<
/p>
（
1
）如图，正方形
ABCD
的边长为
2,
将长为<
/p>
2
的线段
QF
的
两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点
Q
从点
A
出发，沿
图中所示方向按
A
B
C
D
A
滑动到点<
/p>
A
为止，同时点
F
从点
B
出发，沿图中所示方向按<
/p>
B
C
D
A
B
滑动到
点
B
为止，那么在这个过程中，线段
QF
的中点
M
所经过的路线围
成的图形的面积为（
）
（
2010
宣武一模）
A. 2
B.
4
－
C.
D.
<
/p>
1
（
2
）如图，在
△
ABC
中，∠
C
=90°
，
AC
=4
，
BC
=2
，点
A
、
C
分别在
x
轴、
y
轴上
，当点
A
在
x
轴上运动时，点
C
随之在
y
轴上运动，
在运动过程中，点
< br>B
到原点的最大距离是（
）
A
．
2
2
2
B
．
2
5
C
．
2
6
D
．
6
（
2010
西城二模）
以下探究主题为：
几何最值问题
【探究
1
】
如图，
△
ABC
为等边三角形，边长<
/p>
AB
=4
，点
A
、
C
分别在
x
轴、
y
能力提升
A
Q
M
B
y
C
D
C
F
第
8
题图
<
/p>
B
O
A
x
y
C
B
O
A
x
5
初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
轴上，当点
A
在
x
轴上运动时，点<
/p>
C
随之在
y
轴上
运动，在运动过程中，
点
B
到原点的最大距离是
________.
【探究
2
】
如图，
在
△
ABC
中，
∠
C
=90°
，
AC
=4
，
BC
=3
< br>，
点
A
、
C
分别在
x
轴、
y
轴上
，当点
A
在
x
轴上运动时，点
C
随之在
y
轴上运动，
在运动过程中，点
< br>B
到原点的最小距离是
__________.
A
y
C
O
B
A
x
【探究
3
】
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
=90°
，∠
B
=30°
，
CB
=
3
3
，
P
< br>点
D
是平面上一点且
CD
=2
，点
P
为线段<
/p>
AB
上一动点，当
△
C
B
ABC
绕点
C
任意旋转时，在旋转过程中线段
DP
长度的最大值
为
_______
，最小值为
_______.
D
【解析】
（
1
）
C
，由
“
直角三角形斜边中线等于斜边的一半
”
可知
BM
、
CM
、
CM
、
AM
均等于
FQ
的一
< br>半，于是
M
的轨迹围成一个半径为
1
的圆；
（
2
）
A
，如右图<
/p>
1
，取
AC
中点
D
，连结
OD
、
BD
，当
O
、
y
B
D
、<
/p>
B
三点共线时，
OB
的值最大；
y
C
C
D
探究
1
：
2+2
3
，方法同上，取
AC
中点
D
，连结
OD
、
D
O
< br>BD
，当
O
、
< br>D
、
B
三点共线时，
OB
的值最大；
A
x
O
x
A
B
探究
2
：如右图
2
，取
AC
中点
D
，连结
OD
、
BD
，当
O
、
D
、
B
三点共线时，
OB
的值最小，最小值为
13
2
；
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探究
3
：
“
△
ABC
绕点
C
旋转
”
等价于
“
CD
绕点
C
旋转
”
，如下图
1
，连
结
CP
，当
PD=PC+CD
时，
PD
最大，当
PD
=
︱
PC-CD
︱
时，
PD
最小
.
如图
2
，当
< br>P
与
B
重合，
< br>PD
取最大值为
3
3
2
，如
图
3
，当
CP
⊥
AB
时，
PD
取最小值为
A
P
D
C
D
图
1
图
2
图
3
B
D
C
B
(
P
)
C
B
图
1
图
2<
/p>
3
3
2
.
2
A
P
A
【点评】
动线段最
值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）
：
（
1
）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为
定值，但是形状可变化，如下左图，
“
外共线
< br>”
值
最大，
“
< br>内共线
”
值最小（已知
AB
、
BP
为定值，求动线段
< br>AP
的最大或最小值）
；
（
2
）如下右图，垂线段最短，端点处最大
（已知点
P
是线段
BC
上的动点，求线段
AP
的最大或最
小值）
.
< br>初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
6
P
P
1
B
P
2
A
B
(
P
)
1
P
A
< br>P
2
C
模块二
全等三角形
夯实基础
【例
3
】
<
/p>
△
ABC
与
△<
/p>
CDE
均为等边三角形，点
C
为公共顶点，连结
AD
、
BE
相交于点
P
，
BE
交
AC
于点
< br>M
，
AD
交
CE
于点
N
，
（
1
）如图
1
，当点
B
、
C
、
D
在同一直线上，请证明以下
结论：
①
AD
=
BE
；
②
连结
PC
，则
PC
平分∠
BPD
；
③
APB
60
；<
/p>
④
连结
MN
，则
△
MCN
为等边三角形；
⑤
PB=P
A+PC
，
PD=PE+PC
（⑥
连结
A
E
，点
P
为
△
ACE
的费马点
.
学生版上没有）
（
< br>2
）如图
2
，当
△
CDE
绕点
C
旋转任意角度时，
（
1
）中
的
5
个结论仍成立吗？
A
A
P
M
< br>B
图
1
N
E
M
D
B
图
2
C
P
N
E
C
D
【解析】
（
1
）由
△
ACD
≌△
BC
E
可得
①
；过点
C
分别作
AD
、
BE
边上的高，由
“
全等三角形面
积相
等
”
或者通过证明
“
全等三角形对应边上的高相等
”
可得两高相等，证得
②
；由
“
八
”
字模型倒角证得
③
；由
△
BMC
≌△
ACN
或者
△
CND
≌△
CME
得
CN=CM
，证得
④
；
由
APC
EPC
120
，
在
四
边
形
ABCP
和
EDCP
中
利
用
旋
转
可
证
得
⑤
；
由
⑤<
/p>
中
的
结
论
可
知
PA+PC+PE=BE
，
APC
EPC
APE
120
，点
P
到
△
ACE
的三个顶点的距离和最小，即可证得
⑥
.
（
2
）结论
①②③⑤⑥
均成立
.
【例
4
】
<
/p>
在△
ABC
中，
AB
=
AC
，∠
BAC
=
（
0
60
）
，将
线段
BC
绕点
B
逆时针旋转
60
°得到
初三寒假·第
1
讲·提高班·教师版
能力提升
7