演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

无

穷

小

是

零

吗

？

──

第

二

次

数

学

危

机

18

世纪 ，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对

这一理论的 可靠性是毫不怀疑的。

1734

年， 英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进

言》

，矛头指向微积分的基础

--

无穷小的问题，提 出了所谓贝克莱悖论。他指出：

牛顿在求

xn

的导数时，采取了先给

x

以增量 ０，应用二项式（

x+0

）

n

，从中减去

xn

以求得增量，

< br>并除以０以求出

xn

的增量与

x

的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这

里牛 顿做了违反矛盾律的手续──先设

x

有增量，又令增量为零，也 即假设

x

没有增量。

< br>他认为无穷小

dx

既等于零又不等于零，召之即来，挥之 即去，这是荒谬，

为逝去量的

灵魂

。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了 数学界甚至哲学

界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

18

世纪 的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中

特别是：没 有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清

楚，以及 发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数

及积分 的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

直到

19

世纪

20

年代，一些数学家才比较关注 于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿

贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯 特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间

经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学 分析奠定了严格的基础。

悖

论

的

产

生

---

第

三

次

数

学

危

机

数学史 上的第三次危机，是由

1897

年的突然冲击而出现的，到现在 ，从整体来看，还

没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的 边缘发现悖论造成

的。

由于集合概念已经渗透到众多的数学分支 ，

并且实际上集合论成了数学的基础，

因此集

< br>合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

1897

年，福尔蒂揭示了集合论中 的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。

1902

年 ，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论

曾被以 多种形式通俗化。

其中最著名的是罗素于

1919

年给出的，

它涉及到某村理发师的困

境。理发师宣布 了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，

只给村里这样的

人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：

理发师是否自己

给自己刮脸？

如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，

那 么他就不符合他的原则。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

无 怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，

在他刚要出版的

《算术的基本 法则》第２卷末尾写道：

一位科学家不会碰到比这更难堪的事情 了，即在工

作完成之时，

它的基础垮掉了，

当本书等待印出的时候，

罗素先生的一封信把我置于这种境

地

。于是终结了近

12

年的刻苦钻研。

承认无穷 集合，

承认无穷基数，

就好像一切灾难都出来了，

这就是第三次数学危机的实

质。尽管悖论可以消除，

矛盾可以解决，

然而数学的确定性却在一步一步地丧失。

现代公 理

集合论的大堆公理，

简直难说孰真孰假，

可是又不能把它们都消除掉，

它们跟整个数学是血

肉相连的 。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

同时，在数学发展史中极为重要的一个过程，就是数的由来和发展。

你是否看过杂技团演出中

小狗做算术