浅谈微分方程的起源与发展史
忽略的近义词和反义词-
浅谈微分方程的起源与发展史
摘要
:
微分方程起源于
17
世
纪，
简单的微分方程分别是牛顿、
莱布尼茨和伯努利
从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于
1690
年，这逐渐导致一
些特殊的微分方程的
“特殊技能
”
的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较
少的情况下，
但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，
所以，
他
们的研究具有非常重要的现实意义。<
/p>
这些特殊的方法和问题，
将有助于我们解决
很多问题。
引言：
很多的科学问题
是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以
试着用已知的速度或加
速度来计算粒子的位置，
又比如，
一些放射性物质可能是已知的
衰变
率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通
过这些例子，我们可以发现，如
果知道自变量、
未知函数以及函
数的导数
（或者微分）
组成的关系式，
得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
<
/p>
关键字
：
微分方程
起源
发展史
一、微分方程的思想萌芽
微分方程就是联系着自变量，未知
函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟
随着微积分理论的建立发展起来的，
一般地，
客观世界的时间要服从一定的客观规律，
这种
连接，
用数学语言表达，
即是抽象为微分方程，
一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动
力学行为，
变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动
中，
唯一的计算就与瞬间速度之
间有着紧密的联系，其结果往往
形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，
就明确的掌握了物体的运动规
律。
1.1
微分方程的起源：
微分方程起源于
17
世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布
尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题
。这些早期发现开始于
1690
年，这逐渐导致
一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2
微分方程在实际问题中的应用：
运用微分方程理论解决一些实际
问题，
即根
据生物学，
物理学，
化学，
几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程
解的性质，
并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。<
/p>
物质运动和它的变化规律在数
学上是用函数关系描述的
,
但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数
,
却比较
容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式
,
即微分方程。只有一个自变量的微分方程称
< br>为常微分方程
,
简称微分方程。
例
1
传染病模型
传染病
< br>（瘟疫）
经常在全世界各地流行，
假设传染病传播期间其
他地区的总
人数不变，为常数
n
，最开
始的染病人数为
x
0
，在
t
时的健康人数为
y
(
t
)
，染病
人数为
x
(
t
)
。
因为
总人数为常数
n
所以可得到式子
< br>x
(
t
)
y
(
t
)
n
①
假设单位时间内一个病人能传染的
人数与当时的健康人数成正比，
且比例常数为
k
，
称
k
为传染系数，于是即可
得到式子
由①和②可得
dx
(
t
)<
/p>
ky
(
t
)
x
(
t
),
x
(
0
)
x
0
②
dt
dx
k
x
(
n
x<
/p>
),
x
(
0
)
x
0
③
dt
这个
模型就是
SI
模型
，即易感染者模型和
已感染者模型。
对于无免疫的传染性疾病如痢疾、
伤风等等，
病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。
所
以我们可以假设单位时间内的治愈率为
，那么方程②就应该修改为
由①和④可得
dx
(
t
)<
/p>
ky
(
t
)
x
(
t
)
x
(
t
),
x
(
0
)
x
0
④
dt
k<
/p>
dx
1
kx<
/p>
(
n
x
)
x
kx
(
n
x
),
x
(
0
)
x
0
，
⑤
dt<
/p>
1
k
就是这个
传染病的平均传染期，
为整个传染
期内每
这个模型称为
SIS
模型
，
个病人有下接
触的平均人数（平均接触数）。
对于很强免疫性的传染性疾病
例如天花、
流感等等，
病人治愈以后不会有再被传染的机
会。我们就可以假设在时刻
t
的治愈后的免疫
人数为
r
(
t
)
，称为移出者，且治愈率为常数
l
，
所以可得
dr
(
t
)<
/p>
lx
(
t
)
⑥
dt
x
(
t
)
y
(
t
)
r
(
t
)
n
< br>
⑦
dx
(
t
)<
/p>
dr
(
t
)
⑧
ky<
/p>
(
t
)
x
(
t
)
dt
dt
dx
kxy
lx
,
x
(
0
)
x
0
根据⑥、⑦和⑧可得
⑨
dt<
/p>
dy
kxy
,
y
(
0
)
y
n
x
0
0
< br>
dt
这个模型称为
SIR
模型
，
综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程
微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、
几何、<
/p>
化学等的实际问题所
受到的启发。
二、微分方程的推导
1.1
术语和记号
当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用
< br>y
替代
f
(
x
)
，用
y
替代
f
(
x
)
，更高阶的
导数可以记为
y
、
y
< br>
①等。当然其他字母，如
u
,
v
,
z
等等都
可以用来代替
y
.
微分方程
的阶，意思
是出现在其中的导数的最高阶数。例
如，
y
y
是一阶，微分方程
y
x
y
sin(
x
y
< br>
)
就是一个二阶方程。
3
1.2
微分方程的推导
三、微分方程有哪些类型
微分方程的类型：
①
常微分方程（自变量的个数
1
个）；
②
偏微分方程（自变量的个数
2
或
2
个以上）
1.1
常微分方程（自变量的个数只有
1
个）：
d
2
y
dy
2
b
cy
< br>
f
(
t
)
dt
dt
(
dy
2
dy
)
t
y
0
dt
dt
上述两个常微分方程（自变量：
t
未知函数：
y
）
常微分方程的发展阶段：
①
发展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示
其解，属于“求
通解”时代。莱布尼茨（
Leibniz
）曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解
问题。
②早期的常微分方程的求解热潮被刘维
尔
（
Liouville
）
于
1841
年证明里卡帝方程不存在
一般的初等解而中断。再加上柯西（
Cauchy
）
初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转
向了“求定解”时代。
首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、
唯一性等解的性质的
研究；
其次，
是针对线性微分方程，
特别是二阶线性微分方程，
通过专门定义一些特殊函数以
求解特殊方程，比如贝塞尔（
Bessel
）函数、勒让德（
Legendre
）多项式等，这就促成了微
分方程与复变函数论结合产生微分方
程解析理论。
最后，
因为天文计算的
需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、
幂级数等近视方法
的研究。
③
19
世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围形态，
从
而使常微分方程的研究从“求定解问题”转为“求所有解”的新时代。
首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微
分方程解的大范围性态。因为希尔伯特
（
Hilbert
）
提出
20
世纪
23
个数学问题中关于极限环个数的第
16
问题，
大大促进了定性理
论的发展。<
/p>
然后，就是李雅普诺夫（
Lyapunov
）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰
动不影响原方程解得趋势问题，
在工程技术、
< br>天文、
以及物理中得到广泛应用，先后在前苏
联，美国都
受到了很大的重视。
最后，<
/p>
20
世纪初，伯克霍夫（
Birkhof
f
）在动力系统方面开创了一个新的领域，因为拓
扑方法的渗入
，
20
世纪
50
年代后经阿诺的（
Arnold
）、斯梅尔（
Smale
）等数学界的加入
和参与，从而得到了蓬勃
发展。
④
20
世纪六七十年代以后，
常微分方程由于计算机技术的发展
从而迎来了一个新的时期，
从“求所有解”转化为“求特殊解”的一个时代，还发现了具
有新性质的特殊的解和方程。
在
20
世
纪
60
年代洛伦兹发现了成为
Lore
nz
方程的常微分方程，对初值敏感的特性导致了
混沌现象发现
引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定
论”。
常微分
方程的研究还跟其他领域和学科相结合，
从而出现各种新的研究分支，
< br>比如说时标
微分方程、脉动微分方程、分支理论、控制论、泛函微分方程、种群生
态学、广义微分方程
等。
例
2
化学动力模型
1972
年，化学家
Schlogt
提出了分子反省的
化学动力学模型。设想一个化学
反应体系内部包含三种化学成分
A
、
B
和
x<
/p>
，
A
、
B
是反应物，
x
为中间产物，
< br>进行这样一组化学反应：
垐
k
2
垎
垐
k
0
垎
A
2
x
x
B
噲
,
噲
垐
3
x
垐
k
k
1
3
即
B
类的一个分子反
应后变为
x
类的一个分子；
A
类得一个分子与
x
类的两个分子反应后
变成
3
个
x
类分子，相应的反应率分别为
k
0
和
k
2
；同时假定反应是可逆
的，相应的反应率
分别为
k
1
和
k
3
，此处
k
0
、
k
2
、
k
1
< br>、
k
3
均为正常数；
A
、
B
、
x
分别代表
A
类、
B
类和
x
类的分子数。<
/p>
既定反应过程不涉及任何热效应
，所有成分组成一个理想溶液，反应动力学满足质量作
用定律，于是有反应引起的各组成
成分浓度的变化速率为
v
A
k
2
Ax
2
k
3
x
3
,
v
B
k
0
B
k
< br>1
x
,
v
x
v
A
v
B
.
当反映的条件是固定时，
所有速率系数都
是恒定的，
设除了由于化学反应以外各成分的浓度
还是可以通过
和外界环境的交换而变化，
其中成分
i
与外界的交换速率为
w
i
，
于是各成分浓
度的变化方程为
< br>dA
v
A
w
A
,
dt
dB
v
B
w
B
,<
/p>
dt
dx
v
x
w
x
.
dt
如果只有成分
A
和成分
B
可以和外界交换，并通过
交换而维持它们在体系中的浓度恒
定，成分
x
< br>并不能和外界交换，它的浓度完全决定与体系内部的动力学，所以就有方程
w<
/p>
x
0,
dA<
/p>
dB
0,
<
/p>
0.
dt
dt
在这种情况下体系的状态仅有单个变量
x
来表征，并且有
dx
k<
/p>
3
x
3
k
2
Ax
2
k
1
x
k
0
B
< br>
①
dt
这就是
Schlogt
单分子化学动力学模型
。
考虑有两个中间变量的化学反应体系
k
1
A
x<
/p>
2
x
,
2
2
y
,
x
y
<
/p>
k
k
3
y
E
.
但这些发行步骤的总结果是
E
A
其中
A
和
E
是反应物和产物，假定他们的浓度
可由外界控制为恒定，
x
和
y
是两种反应中
的中间产物，他们的浓度可以自由发展，逆反应过程可以完
全忽略（自催化），则有反应方
程
k
dx
k<
/p>
1
Ax
k
2
xy
,
dt
②
dy
<
/p>
k
xy
k
y
.
2
3
dt
这是一类
双分子化学动力学模型
。
现设一开放的体系中进行着下面一系列化学反应
1
2
x
< br>,
B
x
y
D
,
A
k
k
3
4
3
x
,
x
< br>E
.
2
x
y
k
k
假定反应
过程是恒定和均匀的，产物
D
，
E
一经产生即可除去，反应物浓度很高，无扩散，
此时对
x
和
y
的反应动力学方程为
dx
2<
/p>
k
A
(
k
B
k
)
x
k
x
y
,
1
2
4
3
dt
dy
<
/p>
k
Bx
k
x
2
y
.
2
3
dt
化简上述式子可得：
<
/p>
dx
A
(
B
1)
x
x
2
y
,
dt
③
dy<
/p>
Bx
x
2
y
.
dt
此式子是
3
分子化学动力学模型
。
终上所述①、②和③分子的化学反应模型均为常微分方程。
1.2
偏微分方程：
偏
微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如
果一个微分方程中出
现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有
关，
而
且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，
那么这种微分方程就是偏微
分方程（自变量的个数为
2
个或
2
个以上）。
< br>2
T
2
T
2
T
2
2
2
0
<
/p>
x
y
z
上述微分方程的自变量：
x
、
y
、
z
未知函数：
T
因为上
述微分方程的自变量个数为
3
，所以该微分方程为偏微分方程。
2
T
T
4
2
t
x
此微分方程的自变量：
x
、
t
未知函数：
T
因为此微分方程的自变量个数为
2
，所以该微分方程为偏微分
方程。
1.2.1
偏微分方程为题的来源
偏微分方程是由最初研究直接来源于几何和物理的问题最
后发展到一个独立的数学分
支，
它的内容比较庞大复杂，
方法多种多样。
偏微分方程所讨论的问题也不仅仅是来源于几
何、化学、物理、生物、力学等学科的问题，而且再解答这些问题是运用到了现代数学的许
多工具。近几十年来，在这个领域研究的工作，特别是对非线性方程的理论、运用以及计算
方法的研究都能起到了极大的推动作用，十分活跃。
自然界中的各种运输现象，比
如分子扩散过程和热传导过程等等，都是可以用票无形偏
微分方程的。自然界中各种稳定
的物理现象，
比如浓度分布、
稳定的温度分布、无旋稳定恒
电流场、静电场等与时间无关的自然现象，那么这就可以建立位势方程这样的数学模型了，<
/p>
这就是纯正的数学中椭圆型微分方程进入稳定的物理现象的中间桥梁。
自然界是一个特别大
的系统，
所以必然现象不过只是他其中
的一个子系统。
然而波动系统、
运输现象和稳定的物
理现象又是必然现象的下一层次的三个子系统。
与之相对应的用来描述必然
现象的数学模型
的经典数学，它们分别是双曲型、抛物型以及椭圆型偏微分方程这三个字
系统。所以，
同样
是自然界中的必然现象，
但还是存在着层次上的差别。
我们最后在建立数学模型的时候，
应
该建立那种模型，这就需要我们具体问题具体分析了。
1.2.2
偏微分方程的发展过程
在十八世纪，欧拉在他的著作中最早的提出了弦振动的而
解方程而后不就，法国数学家
达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分
方程。在
1747
年的时候，达朗
贝尔
又在他的论文
《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》
中有明确的
说出弦的震动所满足的
偏微分方程，
并且还给出了其通解。
而且还提议说证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振
动的模式。<
/p>
就这样由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
所以说，<
/p>
达朗贝尔那次所
发表的论文
《张紧的弦振
动时形成的曲线的研究》
就被看作为偏微分方程论的开端。
不仅
如
此，
丹尼尔·
贝努利也有研究数学物
理方面的问题，
并且还提出了了解弹性系振动问题的一
般方法，
这对偏微分方程的发展也起了比较大的作用。
还有拉格朗日也有
讨论一阶偏微分方
程，更加丰富了这门学科的内容。
偏微分方程是在十九世纪得到
了迅速的发展，因为那时候有许多的数学物理问题的研究
都多了起来，
< br>而且也有许多的数学家对那些问题的解决都做出了贡献。
现在我们就谈一谈这
其中的一位，
他就是法国的数学家傅里叶，
在他年轻的时候，
他就是一个很出色的数学学者。
他在对热流动
的研究中，
写出了
《热的解析理论》，
并且他在文章中提出了三维空间的热方
程，
而且他还解决它特殊
条件下的热传导问题，
也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方
程的求解。
这种热方程就是一种偏微分方程。
他的研究对于偏
微分方程的发展有着非常大的
影响。
1.2.3
偏微分方程的发展趋势
随着物理学研究现象的广度和深度的拓展，偏微分方程的
运用范围就更加的广泛。我们
从数学自身的角度看，
可以发现偏
微分方程的求解促使着数学在函数论、
常微分方程、
微分
几何、变分法、代数、级数展开的方面进行发展。由此可见，偏微分方程就变成了数学的中
心。
20
世纪很多数学家和物理学家在关于数学物理方程的研究有着前所未有的发展，
这些发
展有着如下的特点以及趋势：
1.
在很多大自然科学以及工程技术中所提及的数学问题大多都是非线性偏微分方程，即
使是有部分的线性偏微分方程的问题，
但是由于最后研究的深入，<
/p>
我们还是要考虑非线性偏
微分方程的问题，
而且研究非线性偏微分方程难度很大，
但是对线性偏微分方程的已有结论
很有启示。
2.
实
践中的问题大多数都是由多种因素相互影响、相互作用的。所以有很多数学模型都
是由非
线性偏微分方程组成的。
比如说：
电磁流体力学方程组、反应扩
散方程组、
辐射流体
方程组、流体力学方程组等等，这在数学上
称之为双曲
-
抛物线方程组。
3.
偏微分方程现在不仅仅只是描述力学、物理等的数学
模型，而且还能描述生物学、化
学、
农业、
医学以及环保领域，
甚至还在经济等社会科学领域都能不断的提出一些重要的偏
微分方程。
4.
< br>随着科技的不断发展，偏微分方程也在不断的发展、进步和完善。
例
3
< br>马尔萨斯模型
(
偏微分方程在人口问题中的应用
)
人口问题是大家都很感兴趣的问题
(
这里所说的人口是广义的，
并不一定限于人，
可以是任何一个与人有类似性质的生命群体
)
。对人口的发展进
行研究最先所采
用的大多是常微分方程模型。设想
p
(
t
)
表示
t
时刻的人口总数，
p
0<
/p>
为初始时刻
t
0
时人口总数，
a
表示人口净增长率。
马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。
因为当生物群体总
数增大时，
生物群体的
各成员之间由于有限的生存空间、
有限的自然资源及食物等原因，
就要进行生存竞争。
< br>而马
尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项
ap
(
t
)
，没有
考虑生存竞争对群体总数增长
的抵消作用。
因此在群体总数大了
以后，
马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，
这时就
要采用威尔霍斯特模型：
dp
(
t
)
< br>
ap
(
t
)
ap
2
(
t
),
dt
<
/p>
t
t
0
:
p
p
0
.
其中，
a
称为生命系数，而且
a
比
a
要小很多。
ap
< br>(
t
)
就是考虑到生存竞争而引
入的竞争
项。当群体总数
p
(
t
)
不太大时，由于
a
比
a
小很多，则可以略去上面方程中右
端的第二项
而回到马尔萨斯模型。
但是当群体总数增大到一定的
程度时，
上面方程中右端的第二项所产
生的影响就不能忽略。<
/p>
不论是马尔萨斯模型还是维尔霍斯
特模型，
它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等
地位来对
待，
这个则只适用于低等动物。
对于人类群体来说，
必须考虑不同个体之间的差别，
特别是年龄因素的影响。
< br>人口的数量不仅和时间有关，
还应该和年龄有关，
而且人
口的出生、
死亡等都和年龄有关。
不考虑年龄因素就不能正确的
把握人口的发展动态。
这时，
就必须给
出用偏微分方程描述的人口模型：
2
p
(
t
,
x
)
p
(
t
,
x
)
< br>
d
(
x
)
p
(
t
,
x
),(
t
0,0
x
A
)
⑴
t
x
t
0
:
< br>p
p
0
(
x
),(0
x
A
)
⑵
x
0
:
p
(
t
,0)
b
(
< br>
)
p
(
t
,
)
d
,(
t
0)
⑶
2
1
其
中，
p
(
t
,
x
)
表示任意时刻
t
按年龄
x
的人口分布密度，
d
(
x
)
表示年龄为
x
的人口死亡
率，
b
(
x
)
表示年龄为
x
(
a
x
A
)
的人的生育率，
a
表示可以生育的最低年龄，
A
表示人
< br>的最大年龄。
对于上述偏微分方程模型成立如下结论：
定理
1
：对偏微分方程的处置问题⑴—⑶，如果下列条件成
立：
A.
在区间
0,
A
上，
p
0
(
x
)
0
且适
当光滑；
B.
在区间
0,
A
< br>上，
d
(
x
)
0
且适当光滑，并且当
x
A
0
时，
d
(
x
)
及
x
0
d
(
)
d
；
C.
p
0<
/p>
(0)
A<
/p>
a
b
(
)
p
0
(
)
d
；
D.
p
< br>0
(0)
d
< br>(0)
p
0
(0)
A
a
< br>b
(
)(
p
0
(
)
d
(
<
/p>
)
p
0
(
))
d
。
则该初边值问题⑴—⑶存在唯一的整体解<
/p>
p
(
t
,
x
)
并且满足
p
(
t
,
x
)
0
且
p
(
t
,
< br>A
)
0
。
该模型在经过适当的简化
假设后，例如假设
d
(
x
)
b
< br>常数
，
b
(
x
)
b
常数
，就可
以回到前面的常微分方程
模型。但在偏微分方程模型中
d
d<
/p>
(
x
)
、
b
b
(
x
)
均与年龄有关，
这与
现实情况相符。
因此，
片微分方程模型确实更进一步、
更能精确地描述人口分布的发展
过程。
四．求微分方程的解
1.1
基本概念
⑴．微分方程的解：
代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数，
称为微分方程的解（这
个
函数的图形，称为该微分方程的积分曲线）。
⑵．
微分方程的通解：
如果微分方程的解中含有独立
的任意常数，
且任意常数的个数与微分
方程的阶数相同，则这样
的解称为微分方程的通解。
附注：所为函数
< br>y
(
x
,
C
1
,
C
2
,
L
,
C
n
)
含有
n
个独立常数
C<
/p>
1
、
C
2
、
L
、
C
n
，是指存
C
1
在（
x
,
C
1
,
C
2
,
L
,
C
n
）的某个邻域，使得行列式
C
1
M
(
n
1)
C
1
中
(
k
)
C
2
<
/p>
C
2
M
(
n
1)
C
2
L
L
< br>O
L
C
n
C
n
M
(
n
1)
C
n
0
，其
表示
对
x
的
k
阶导数。
⑶．
微分方程的初始条
件：
确定微分方程通解中任意常数所给出的条件，
称为定解条件
.
如
果这样的定解条件是在同一时刻
给出的，称为微分方程的初始条件。
⑷．
微分方程的特解：由初始条件定
出通解中的任意常数后得到的解，称为微分方程的特
解
.
附注：有的参考书上将微分方程的特解定义为：由初始条
件定出通解中的任意常数后得
到的解或不含任意常数的解，
称为
微分方程的特解
.
这个定义比教材上更广泛些
.
例如，
对
dy
<
/p>
2
于微分方程
y
1<
/p>
0
，其通解为
y
sin(
x
C
)
.
易
证函数
y
1
也是该方程的解，
dx
但他不能由通解中去适当的常数得到。按照教材的定义，他就不是特解。
2
1.2
微分方程的类型及解法
1.2.1
一阶微分方程
Ⅰ
.
可变
量分离的微分方程。
形如
y
f
(<
/p>
x
)
g
(
y
)
或
dy
f
(
x
)
g
(
y
< br>)
dx
①
的微分方程，称为可变量分离的微
分方程。这里可假设
f
(
x
)
，
g
(
y
)
分别是
x
，
y
的连续
函数。
当
g
(
y
)
0
时，方程①可写成
1
dx
f
(<
/p>
x
)
dx
②
g
(
y
)
1
dy
f
(
x
)
dx
两端分别积分可以得到原方程的通解
g
(
y
)
如果存在
y
0
使得
g
(
y
0
)
0
，则
y
y
0
也是该方程的解。
附注：
y
y
0
这种形式的解，有时可能包含在通解中（即可在通解中取适当
的常数得
到），有时不包含在通解中（即在通解中取任意常数都得不到这种解）
.
另一方面，若只求
方程的通解，可不考虑这
种形式的解。
例
4.
求解方程
dy
x
.
dx
y
解：
将变量分离，得到
ydy
x
dx
,
两边同时积分，可得
y
2
x
2
c
< br>
,
2
2
2
因而，通解可得
x
y
c
,
这里
c
为任意正常数。或者解出
y
，写出显函数形式的解
y
c
x
2
.
2
2
例
5.
求解人口增长的
logistic
模型
dN
N
r
(1
)
N
,
< br>N
(
y
0
)
N
0
,
N
(
t
)
0.
dt
N
m
解：应用变量方法并对分式分解化为
rdt
N
m
dN
< br>dN
dN
< br>,
(
N
m
N
)
N
N
N
m
N
两边积分可得
rt
c
<
/p>
ln
N
ln(
N
m
N
),
其中
c
为任意常数，化解方程可得
e
解得
N
(
rt
c
)
N
m
1,
N
N
m
,
< br>rt
1
ce