函数概念的历史发展(完整资料).doc
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函数概念的历史发展
函数概念是中学
中最重要的概念之一，
它既是数学研究的对
象，又是解决数学问
题的基本思想方法。早在
16
、
17<
/p>
世纪，生
产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，<
/p>
而且要研
究运动过程中各个量之间的依赖关系，
< br>从而促进数学由常量上学
时期进入到变量数学时期。
函数
也就成为研究变量数学必不可少
的概念。
函数（
function
）一词，始用于
< br>1692
年，见著于微积分创始
人之一莱布尼兹
c,1646
—
1717
）的著作。而
f(x)
则由欧
拉
（
Euler
）
于
1724
年首次使用。
我国于
1859
年引进函数的概念，
它首次是在清代数
学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译
的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学
中，在物理、化学
和其他自然科学中，
在经济领域和社会科学中
，
均有广泛的应用，
起着基础的作用。
函数的概念随着数学的发展而发展，
函数的定义在发展过程
中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精
确化
的表达。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函
2
< br>3
x
,
x
,
x
,
…
）
数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（
，
1673
年，
莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变
动的几何量，
如切线、
法线，以及点的横坐标都成为函数。
一、解析的函数概念
在
18
世
纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表
达式．
1698
< br>年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量
x
和常<
/p>
量用任何方式构成的量都可以称为
x
的函
数．
这里任何方式包括
代数式子和超越式子．
< br>
1748
年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小
分析引沦》
中把函数定义为
“由一个变量与一些常量通过任何方
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式形成的解析表达式”
，
这就把变量与常量以及由它们的加
、
减、
乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式
子，均
称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数
< br>函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值
函数与多值函数．
当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家
达朗贝尔和拉格朗日．
但这种解
析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应
关系不能用解析式子表达出来，
那么根据这个定义就不能称之为
函数关系．例如著名的狄利克雷（
D1richkt
）函数
二、几何的函数概念
因为解析表达式在几何上可表示为
曲线，一些数学家把曲
线称为函数．
1746
年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的
解析表达式给出的曲线是函数．
后来欧拉发现有些曲线不一定是
由单个解析式给出的，
他提出了一个新定义：
函数是
“
xy
平面上
随手画出来的曲线所表示的
y
与
x
间的关系”
．即把函数定义为
一条随意画出来的曲线．
欧拉称之为
任意函数，
即包括了由单个
解析表达式给出的连续函数，
也包括由若干个解析式表示的不连
续函数
(<
/p>
“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的
)
．但是，欧拉
的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．
1822
年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角
级数，
这实际上是说，
不管是连续函数或不能用解析表达式给
出
的函数
(
凡能用图形给出
)
都可以用三角级数表示．
因此也说明了，
仅从表达式是否“单一”
，或函数是否连续来区别是不是函数，
显然是不合理的．
傅立叶在论文《热的分析
理论》中，证明了“由不连续的线给出
的函数，能用一个三角函数式来表式”
．他举例指出图
7
．
2<
/p>
．
1
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1
，
x
为有理数
D(x)=
0
，
x<
/p>
为无理数
所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即
< br>
4
,
2
k
x
(2
k<
/p>
1)
y
0,
x
k
k
0,
1,
2,
…
< br>,(2
k
1)
x
2(
k
1)
4
但可以用单一的三角式表示为
y
这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数
的真
伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函
数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：
y
sin
x
sin
x
sin
x
…
1
3
5
pi/4
O
pi
x
三、科学定义的雏形
1775
年，
欧拉在
《微分学》
一书中，
给出了函数的另一定义：
“如果某些变量，
以这样一种方式依赖于另一些变量，
即当后者
变
化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．
”
值
得指出的是这里的“依赖”
，
“随之变化”等的含意不十分确<
/p>
切．
例如
g
＝<
/p>
x^2
，
当
x<
/p>
取一
3
，
十
3
时
y
均等于
9
，
y
没有变化．
又
如常量函数
y
＝
c
，不论
x
如何变化
y
总是一个不变的值．因此，
该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．
1
9
世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：
“若当
x
的每个值，
都有完全确定的
y
值与之对应，
则称
y
是
f
的函数．
”
此定义澄清了函数概念与曲线、
连续、
解析式等纠缠不清的关系，
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