.

要使分析严格化，首先就要使实数系本身

严格 化

.

为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为

整数

(

有理数

).

这样，分析的所有概念便可由整数导出，使

以往的漏洞和缺陷都能得 以填补

.

这就是所谓分析算术化纲

领， 魏尔斯特拉斯本人和他的学生们为实现这一纲领作出了

艰苦的努力并获得了很大成功

.

魏尔斯特拉斯的工作一向

以严格著称， 他关于解析函数的工作也是以追求绝对的严格

性为特征的

.

因此，魏尔斯特拉斯不仅拒绝使用柯西通过复

积分所获得的结果

(

包括柯西积分定理和留数理论

)

，他也不

能接受黎曼提出的那种几何超验方法

.

他相信函数论的原理

必须建立在代数真理的基础上，所以他把目 光投向了幂级数

.

用幂级数表示已用解析形式给出的复函数， 对于魏尔斯特拉

斯来说并不是一个新的创造

.

< br>但是，从已知的一个在限定区

域内定义某个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关 定理，

推导出在其他区域中定义同一函数的另一些幂级数，这个问

题是魏尔斯特拉斯解决的

.

上述过程也称为解析开拓，它在< /p>

魏尔斯特拉斯的理论中起着基本的作用

.

使用这种方法，已

知某个解析函数在一点处的幂级数，通过解析开拓，我们就

.

在

< br>19

世纪末，魏尔斯特拉斯的

方法占据了主导地位，正是 这种影响，使得函数论成为复变

函数论的同义词

.

但是后来柯西和黎曼的思想被融合在一

起，其严密性也得到了改进，而魏尔斯 特拉斯的思想还逐渐

从柯西黎曼观点推导出来

.

这样，上述三种传统便得到了统

一

.

< br>魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出

了现代通用的极限定义，即 用静态的方法

(

不等式

)

刻画变化

过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须

精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作

用。在复变函 数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理

论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学 教员的时期，到

1859

年出任柏林大学教师后才广为人知。由 于他为分析奠

基的出色成就，

后被誉为现代分析之父

不过，

1872

年，

< br>戴德金、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自

的实数理论，而其中戴 德金和康托尔的实数构造方法正是我

们现在通常所采用的

.

这表明，由实数构成的基本序列不会

产生任何更新类型的数，或者说 由实数构成的基本序列不需

要任何更新类型的数来充当它的极限，因为已经存在的实数< /p>

已足够提供其极限了

.

因此，从为基本序 列提供极限的观点

来说，实数系是一个完备系

.

这样，长期以来围绕着实数概

念的逻辑循环得以彻底消除

.

实数的定义及其完备性的确

立，标志着由魏尔斯特拉斯倡 导的分析算术化运动大致宣告

完成。

数学史的个人读书笔记

又这样过了一个月了，尽管也就那 么的几节数学史的

课，可是，依然让我听得津津入味。

认识数学历史，重温数学的发展道路。

数学，似乎是

一个枯燥的学科，但是，却是我们生活当中，最为有用的工

具之一，它是物理化学生物的摇篮，是政治经济学的基础，

是市场里的公平秤 ，是我们量化自己的必要工

具。数学，就是这么的一个工具箱，前人用万分的努力

汗水，

把这个工具弄得更为人性化，

更能让我们好好地使用。

《数学史概论》这本书，真的让我对数学有了更深的认识。

下面，我说说从《数学史概论》这本书，我又学到了什么。

< /p>

研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科

学史研 究下属的一个重要分支。数学史研究的任务在于，弄

清数学发展过程中的基本史实，再现 其本来面貌，同时透过

这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、

合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与

文化本质。 作为数学史研究的基该方法与手段，常有历史考

证、数理分析、比较研究等方法。可以说 ，在数学的漫长进

化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。正是