数学发展的三个时期
万仙山景区-
..
在人类的知识宝库中有三大类科学
，
即自然科学、
社会科学、
认识和思维
的科学。
自然
科学又分为数学、物理学、化学、天文学、地理学
、生物学、工程学、农学、医学等学科。
数学是自然科学的一种，
是其它科学的基础和工具。
在世界上的几百卷百科全书中，
它
通常
都是处于第一卷的地位。
从本质上看，
数学是研究现实世界的
数量关系与空间形式的科学。
或简单讲，
数学是研
究数与形的科学。
对这里的数与形应作广义的理解，
它们随着数学的发展，
而不断取得新的
容，不断扩大着涵。
数学来
源于人类的生产实践活动，即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地
和测量容积、
计算时间和制造器皿等实践，
并随着人类社会生产力的发展而发
展。
对于非数
学专业的人们来讲，可以从三个大的发展时期来大
致了解数学的发展。
一、初等数学时期
初等数学时期是指从原始人时代到
1
7
世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、
常量和不变的
图形。
在这一时期，
数学经过漫长时间的萌芽阶段，
在生产的基础上积
累了丰富的有关数和形
的感性知识。
到了公元前六世纪，
希腊几何学的出现成为第一个转折点，
数学从此由具体的、
实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交
流，
最后形成了几何、
算术、
< br>代数、
三角等独立学科。
这一时期的成果可以用“初等数
学”(即
常量数学
)
来概括，它大致相
当于现在中小学数学课的主要容。
世界上最古老的几个国家都位于大河流域：
黄河流域的中国；<
/p>
尼罗河下游的埃及；
幼发
拉底河与底格里
斯河的巴比伦国；
印度河与恒河的印度。
这些国家都是在农业的
基础上发展
起来的，从事耕作的人们日出而作、日落而息，因此他们就必须掌握四季气候
变迁的规律。
..
.
..
游牧民族的迁徙，也要辨清方向：白天以太阳为指南，晚上以星月为向导。因此，在世界各<
/p>
民族文化发展的过程中，天文学总是发展较早的科学，而天文学又推动了数学的发展。
随着生产实
践的需要，大约在公元前
3000
年左右，在四大文明古国—巴
比伦、埃及、
中国、印度出现了萌芽数学。
现在对于古巴比伦数学的了解主要
是根据巴比伦泥版，
这些泥版是在胶泥还软的时候刻
上字，然后
晒干制成的
(
早期是一种断面呈三角形的“笔”在泥版上按不同
方向刻出楔形刻
痕，叫楔形文字
)
。<
/p>
已经发现
的泥版上面载有数字表
(
约
200
件
)
和一批数学问题
(
约
100
件
)
，
大致可以分为
三组。第一组大约
创制于公元前
2100
年，第二组大约从公元前
1792
年到公元前
1600
年，
第三组大约从公元前
600
年到公
元
300
年。
这些数学泥版表明，
巴比伦自公元前
2000
年左右即开始使用
60
进位制的记数法进行较
复杂的计算了，并出
现了
60
进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了
关于倒
数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表，除法常转化为乘
法进行计
算。公元前
300
年左右，<
/p>
已得到
60
进位的达
17
位的大数；一些应用问题的解法，
表明已具
有解一次、
二次
(
个别甚
至有三次、
四次
)
数字方程的经验公式
；
会计算简单直边形的面积和
简单立体的体积，并且可能知道勾
股定理的一般形式。巴比伦人对于天文、历法很有研究，
因而算术和代数比较发达。
巴比伦数学具有算术和代数的特征，
几何只是表达代数问题的一
种方法。这时还没有产生数学的理论。
对埃及古代数学的了解，
主要是根据
两卷纸草书。
纸草是尼罗河下游的一种植物，
把它
的茎制成薄片压平后，
用“墨水”写上文字
(
最早的是象形文字
)
。
同时把许多纸草纸粘在一
起连成长幅，卷在杆干上，形成卷轴。已经发现的一卷约写于
公元前
1850
年，包含
25
个问
题
(
叫“莫斯科纸
草文书”，
现存莫斯科
)
；
另一卷约写于公元前
1650
年，
包含
85
个问题
(
叫
“莱因德纸草文书”，是英国人莱因德于
185
8
年发现的
)
。
..
.
..
从这两卷文献中可以看到，古埃及
是采用
10
进位制的记数法，但不是位值制，而是所
谓的“累积法”。
正整数运算基于加法，
乘法是通
过屡次相加的方法运算的。
除了几个特殊
分数之外，
所有分数均极化为分子是一的“单位分数”之和，
分数的运算独特而又复杂
。
许
多问题是求解未知数，而且多数是相当于现在一元一次方程
的应用题。利用了三边比为
3
：
4
：
5
的三角形测量直角。
< br>
埃及人的数学兴趣是测量
土地，
几何问题多是讲度量法的，
涉及到田地的面积、
谷仓的
容积和有关金字塔的简易计算法。
但是由
于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和
谷物分配、容量计算等日常生活中必须
解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式、
定理、
证明
加以理论推导的倾向。
埃及数学的一个主要用途是天文研究，
也
在研究天文中得
到了发展。
中国古代数学将在后面的作专门介绍。
印度在
7
世纪以前缺乏可靠的数学史料，
在此略
去不论。
总的说来，
萌芽阶
段是数学发展过程的渐变阶段，
积累了最初的、
零碎的数学知识
。
由于
地理位置和自然条件，
古希腊受到埃及、
巴比伦这些文明古国的
许多影响，
成为欧
洲最先创造文明的地区。
在公元前
775
年左右，
希腊人把
他们用过的各种象形文字书写系统
改换成腓尼基人的拼音字母后，
文字变得容易掌握，
书写也简便多了。
因此希腊人更有能力<
/p>
来记载他们的历史和思想，
发展他们的文化了。
< br>古代西方世界的各条知识支流在希腊汇合起
来，
经过古希
腊哲学家和数学家的过滤和澄清，
形成了长达千年的灿烂的古希腊文化。
从公
元前
6
世纪到公元
4
世纪，古希腊成了数学发展的中心。
希腊数学大体可以分为两个时期。
第一个时期开始于公元前
6
世纪，
结束于公元前
4
世纪，
通称为古典时期。
泰勒斯开始
了
命题的逻辑证明；
毕达哥拉斯学派对比例论、
数论等所谓“几何
化代数”作了研究，
据说
非通约量也是由这个学派发现的。
进入公元前
5
世纪，
爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运
..
.
..
动的悖论；研究“圆化方”的希波克拉茨开始编辑《原本》。
从此，有许多学者研究“三大
问题”，
有的试图用“穷竭法”去
解决化圆为方的问题。
柏拉图强调几何对培养逻辑思维能
力的重
要作用；
亚里士多德建立了形式逻辑，
并且把它作为证明的工具
；
德谟克利特把几何
量看成是由许多不可再分的原子所构成。<
/p>
公元前四
世纪，
泰埃特托斯研究了无理量理论和正多面体理论，
欧多克斯
完成了适用于
各种量的一般比例论……。
“证明数学”的形成是
这一时期希腊数学的重要容。
但遗憾的是
这一时期并没有留下较
为完整的数学书稿。
第二个时期自公元前
4
世纪末至公元
1
世纪，
这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大<
/p>
里亚，
因此被称为亚历山大里亚时期。
这
一时期有许多水平很高的数学书稿问世，
并一直流
传到了现在。
公元前
3
世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、
立体几何的集大
成的著作《几何原本》，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为数学史
乃至思想史上一部
划时代的名著。
遗憾的是，
< br>人们对欧几里得的生活和性格知道得很少，
甚至连他的生卒年月
< br>和地点都不清楚。
估计他大约生于公元前
330
年，
很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练，
后来成为亚历山大里亚大学
(
约建成于公元前
< br>300
年
)
的数学教授和亚历山
大数学学派的奠
基人。
之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来
，
根据力学原理去探求几
何图形的面积和体积，第一个播下了积
分学的种子。阿波罗尼写出了《圆锥曲线》一书，成
为后来研究这一问题的基础。公元一
世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的《测量术》
等著作。二世纪的托勒密完成了到
那时为止的数理天文学的集大成著作
《数学汇编》，
结合
天文学研究三角学。三世纪丢番图著《算术》，使用简略号求解不定方程式等问题，它对数
学发展的影响仅次于《几何原本》。希腊数学中最突出的三大成就——欧几里得的几何学，<
/p>
阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论，标志着当时数学的主体部分——算术、代数、
几何基本上已经建立起来了。
..
.
..
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。公元前
47
年，罗马人焚毁了亚历山大里亚图
书馆，两个半世纪以来收集的藏书和
50
万份手稿竞付之一炬。基督教徒又焚毁了塞劳毕斯
< br>神庙，大约
30
万种手稿被焚。公元
640
年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉伯征服者
欧
默下令焚毁。由于外族入侵和古希腊后期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。
从
5
世纪到
15
世纪，
数学发展的中心转移到了的印度、
中亚细亚、
阿拉伯国家和中国
。
在这
1000
多年时间里，数学主要
是由于计算的需要，特别是由于天文学的需要而得到迅速
发展。和以前的希腊数学家大多
数是哲学家不同，的数学家大多数是天文学家。从公元
6
世纪到
17
世纪初，初等数学在各个地区之间交流，并且取得了重大进
展。
古
希腊的数学看重抽象、
逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何；
而古
代中国和印度的数学看重具体、
经验和应用
，
强调数学是支配自然的工具，
重点是算术和代
数。大约在公元前
1000
年，印度的数学家戈涅西已
经知道：圆的面积等于以它的半周长为
底，以它的半径为高的矩形的而积。
印度早期的一些数学
成就是与教仪一同流传下来的，
这包括勾股定理和用单位分数表示
某些近似值
(
公元的
6
世纪
)
。
公元前
500
年左右，
波斯王征服了印度一部分土地，<
/p>
后来的印
度数学就受到了外国的影响。
数
学作为一门学科确立和发展起来，
还是在作为吠陀辅学的历
法学
受到天文学的影响之后的事。
印度数学受婆罗门教的影响很大，
此外还受希腊、
中国和
近东数学的影响，特别是受中国的影响。
印度数
学的全盛时期是在公元五至十二世纪之间。在现有的文献中，
499
年阿耶波多著
的天文书《圣使策》的第二章，已开始把数学作为一个学科体系来讨论
。
628
年婆罗门这多
(
梵藏
)
著《梵图满手册》，讲解对模式化问题的解法
，由基本演算和实用算法组成；讲解正
负数、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次
方程、多元一次方程等组成。已经有了相
当于未知数符号的概念，能使用文字进行代数运
算。这些都汇集在婆什迦罗
1150
年的著作
< br>中，后来没有很大发展。
..
.
..
印度数
学文献是用极简洁的韵文书写的，
往往只有计算步骤而没有证明。
印度数学书中
用
10
进位记数法进行
计算；在天文学书中不用希腊人的“弦”，而向相当于三角函数的方
向发展。
这两者都随着天文学一起传入了阿拉伯世界，
而现行的“阿拉伯数码”就源
于印度，
应当称为“印度—阿拉伯数码”。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时
期
(
公元
8
至
15
世纪
)
在
阿拉伯语的文献中看到的数学。
七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国家的语言，而且
成为近东、中东、中亚细亚许多国
家的官方语言。
阿拉伯数学有
三个特点：
实践性；
与天文学有密切关系；对古典著作做大量<
/p>
的注释。它的表现形式和写文章一样，不用符号，
连数目也用阿拉
伯语的数词书写，而“阿
拉伯数字”仅用于实际计算和表格。
对于阿拉伯文化来说，
数学是外来的学问，
在伊斯兰教创立之前，
只有极
简单的计算方
法。七世纪时，
通过波斯传进了印度式计算法。后
来开始翻译欧几里得、阿基米得等人的希
腊数学著作。花拉子模著的《代数学》成为阿拉
伯代数学的例。在翻译时代
(
大约
85
0
年之
前
)
过
去之后，
是众多数学家表现创造才能著书立说的时代
(1200
年之前
)
。
梅
雅姆、
纳速·拉
丁、阿尔·卡西等等，使阿拉伯数学在
11
世纪达到顶点。
阿拉伯人改进了印度的计数系统，
“
代数”的研究对象规定为方程论；
让几何从属于代
数，不重视证
明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现
平面三角与
球面三角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来。
1200
年之后，阿拉
伯数学进入衰退时期。初期的阿拉伯数学在
1
2
世纪被译为拉丁文，通过达·芬奇等传播到
西欧，使西欧人重
新了解到希腊数学。
在西欧的历史上，“中世纪”一般是指从
5
世纪到
14
世纪这—时期。从
5
世纪到
11
世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代，除了
制定教历外，在数学上没什么成就。
12
世纪成了
翻译者的世纪，古代希腊和印度等的数学，通过阿拉伯向西欧传播。
13
世纪前期，数学在
一些大学兴起。斐波那契著《算盘书》、《几何实
用》等书，在算术、初等代数、几何和不
定分析方面有独创的东西。
14
世纪黑死病流行，“百年战争”开始，相对地是数学上的不
毛之地。奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定点的位置。
..
.
..
15
世纪开始了欧洲的文艺复兴。随
着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着希腊文化的财富
流入意大利。大约在这个世纪的中叶，
受中国人发明的影响，
改进了印刷术，彻底变革了书
籍的出版条
件，
加速了知识的传播。
在这个世纪末，哥伦布发现了美洲，不
久麦哲伦船队完
成了环球航行。
在商业、
航海、
天文学和测量学的影响下，西欧作为初等数学的最后一个发
展中心，终于后来居上。
<
/p>
15
世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著《
三角全书》是欧洲人
对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。
16
世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代
数解法，接受了负数并使用了虚数。
16
世纪最伟大
的数学家是韦达，他写了许多关于三角
学、代数学和几何学的著作，其中最著名的《分析
方法入门》改进了符号，使代数学大为改
观；
斯蒂文创设了小数
；
雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人，
< br>他还雇用了一批计算人员，花费
12
年时间编制了两个著
名的、至今尚有用的三角函数表。
其中一个是间隔为
10
、
10
位的
6
种三角函数表，
另一个是间隔为
10
、
15
位的正弦函数表，
并附有第一、第二和第三差。
由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加，一批普及的算术读本开始出现。<
/p>
到
16
世纪末，这样的书不下三百种。“
＋”、“—”、“＝”等符号开始出现。
17
世纪初，对数的发明是初等数学
的一大成就。
1614
年，耐普尔首创了对对数，
1624
年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向前推进了
一大步。
初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公
元前
6
世纪以前；几何优先阶段，公元前
5
世纪到公元
2
世纪；代数优先阶段，
3
世纪到
17
世纪前期
。至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经
全部形成，并且发展成熟。
..
.
..
二、变量数学时期
变量数学时期从<
/p>
17
世纪中叶到
19
世纪
20
年代，这一时期数学研究的主要容是数量的
变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、
高等代数
等学科，它们构成了
现代大学数学课程
(
非数学专业
)
的主要容。
十六
、
十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会。由于资本主义
工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，
以及航海、
< br>军事等的发展，
促使技术
科学
和
数学急
速向前发展。
原来的初等数学已经不能满足实践的需要，
在数学研究中自然而然地就引入了
变量与函数的概念，从此数学
进入了变量数学时期。它以笛卡儿的解析几何的建立为起点
(1637
< br>年
)
，接着是微积分的兴起。
在数
学史上，引人注目的
17
世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中
发生了对于数学具
有重大意义的三件大事。
首先
是伽里略实验数学方法的出现，
它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。
其特
点是在所研究的现象中，
找出一些可以度量的
因素，
并把数学方法应用到这些量的变化规律
中去。
具体可归结为：
(1)
从所要研究的现象中，
选择出若干个可以用数量表示出来的特点；
(2)
< br>提出一个假设，
它包含所观察各量之间的数学关系式；
(
3)
从这个假设推导出某些能够实
际验证的结果；
(4)
进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结果尽可能地用数值表示
以来；
(5)
以实验结果来肯定或否定
所提的假设；
(6)
以肯定的假设为起点，提出新假设，
再
度使新假设接受检验。
伽里
略的实验数学为科学研究开创了一种全新的局面。在它的影响下，
17
< br>世纪以后的
许多物理学家同时又是数学家，而许多数学家也在物理学的发展中做出
了重要的贡献。
..
.