数学的起源与早期发展
冬瓜炖肉-
数学的起源与早期发展
当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字
2
）时，数学就诞生了。
――伯特兰罗素
1
数与形概念的产生
如同古代世界的许多伟人一样，
数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。
然而，
数学每
前进一步，都伴随着人类文明
的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，
在为数不多的事物
中间增加或取出几个同样的事物，
他们能分辨出多寡
（不少动物也具有这类意
识）。慢慢
地，人类就有了明确的
数的概念：
1
,
2
,
3
,…
…正如部落的头领需要知道有多少成员，
牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。
在有文字记载以前
,
记数和简单的算术就发展起来了。
打猎的人知道
,
把
2
枚箭矢和
3
枚箭
矢放在一起就
有了
5
枚箭矢。
就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样
,
人类最初的
计数方法也是相似的
,
最早可
能是手指计数
,
一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以
内事物的集合。两只手上的指头合在一起
,
不超过
10
个元素的集合就有办法表示。
例如
,
当数
羊的只数时
,
每有一只羊就扳一个手指头。
后来
,
才逐渐衍生出三种有
代表性的记数方法――石
子记数（有的是用小木棍）
、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上）
,
这样
不仅可以
记录较大的数字
,
也便于累计和保存。
在古希腊的荷马史诗
《奥德赛》
中有这样一则故事：
当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕
斐摩斯仅有的
一只眼睛以后
,
那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。
早晨羊
儿外出吃草
< br>,
每出来一只
,
他就从一堆石子
里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞
,
每进去一只
< br>,
他就
扔掉一颗石子。当他把
早晨捡起的石子全都扔光时
,
他就确信
所有的羊儿返回了山洞。
说来有点残酷
,
一些美洲印第安人通
过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目
,
洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。
当指头不敷运用时
,
就出现了石子记数等
,
以便表示同更多的集合元素的对应。
但记数的石
子堆很难长久保
存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。我国《周易•系辞下》有“上古结绳而
< br>
治
,
后世圣人
,
易之以书契”的说
法。
“结绳而治”即结绳记事或结绳记数, “书契”就是在物体
上刻痕
,
以后逐渐发展成为文字。
结绳记事、记数
,
并不限于中国
,
世界各地都有
,
如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯
兰国家都有记载或实
物标本。纽约美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的
绳结
,
在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细
绳
,
再在细绳上打各种各样的结
,
不同的颜色和结的位置、
形状表示不同的事物和数目。结好的绳有一个专名叫
“基普”
。日本的琉球群岛的某些小岛至今
还保留这种结绳记数的古老方法。
（课件展示古印加人的结绳）
在物体
上刻痕记数
,
最迟在旧石器时代的晚期已经出现。
发现一根幼狼胫骨
,
长约
18
厘米
,
上有很深的人工刻痕
,
时间据考大约在
道
,
分为两
组
,
第一组
25
道
,
第二组
30
道
,
每
一组刻痕又按五个一群排列。
后来
,
就产生了各种各样的语言
,
包括对应于
大小不同的数的语言符号。再后来
,
又经历了
< br>
数万年的发展后
,
直
到距今大约五千多年前
,
才出现了书写记数以及相应的记数系统。
早期记数
系统有：
①公元前
3400
年左右的古
埃及象形数字；
②公元前
2400
年左右的巴比伦楔形数字；
③ 公元
前
1600
年左右的中国甲骨文数字；④公元前
而一些非
1937
年在捷克摩拉维亚的洞穴中
3
万年前。刻痕共
55
500
年左右的希腊阿提卡数字；⑤公元前
（课件展示古埃及的象形
数字。）埃及有四种文字
,
最古老的是象形文字。后来经过简化
,
500
年左右的中国筹算数码；⑥公元前
3
00
年左右的印度婆罗门数字⑦以及年代不详的玛雅数字。
<
/p>
成为僧侣文，再进一步简化成通俗文字。还有一种科普特文是公元后
2
—
3
世
纪时用希腊字母拼
写的埃及文字。
象形数字用一根垂直棒或一竖表示
1
,
一根足械或轭表示
10
,
一卷轴或一圈绳表
示
100
,
一朵莲花
表示
1000
。
10
,
000
是一个手指头
,
有时向左弯
,
有时向右弯。
100
,
000
有好
几种写法
,
有时像青蛙或鱼
,
有时
像小鸟。
1
,
000
,
000
是一个跪着的人
,
象征埃及管空间之神。
< br>
当在一个数中出现某个数码的若干倍时
,
就将它的
符号重复写若干次
,
这说明古埃及人的记数系
6
统是叠加制而不是位值制。这些数字常见于陶片、石头、木头
或纸草上，在坟墓内、庙宇的墙上
及方尖塔上都可以
看到。
早在公元前
4
、
5
千年，两河流域（今伊拉克境内）的苏美尔人就
创造了楔（
xie
）形文字，用木笔在软泥板上刻写，形状
像楔子。后来
传给巴比伦人。他们用垂直的楔形来表示
形表示
10
，如
Y
。
（课件展示中国甲骨文数字）
这是殷周时代刻在龟甲兽骨上的数字，
最初出土于河南安阳小
屯村的殷墟，
距今
3
千多年。殷墟是我国商代后期的
都城。
公元前
1300
年商王盘庚建都与安阳
,
史称
殷墟”。
更加接近现代位值制的是中国的算筹记数法。算筹是用于计算的小竹棍
< br>
1
，如。用末端二个横向楔
（
也有木质、骨质、象牙或金属材料的算筹
）
，和筷子差不多长，它是中国人
<
/p>
创造的计算工具•春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，
如“孟子持筹而算之”
（
《
十
发》
）
，“善计者不用筹策”
（
《老子》
）
，等等
.
用筹进行计算称为筹算•据文献记载，用算筹表示数有纵横
两
种摆法。
（
图
2561
摆成
iiii
,
中第一行为纵式，第二行为横式
）
记数时与十进位值制相配合，采用从左到
右（或从上到下）纵横相间的摆法，
遇零则空位•例如<
/p>
308
摆成川
III
•筹算加减法与珠算类似，从左到右逐位相加或相减•筹算乘
除法的步骤稍微复杂一些
.
算筹在中
国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，一
直是中国的主要计算工具，直到元明时
代才逐渐被珠算所代替。中国古代数
学家也称为筹人。
印度文明可远溯到公元前
2000
年，但他们在公元前
800
年以前是没有数学的。大约在公元
<
/p>
前
3
世纪以后，
印度出现了数的记号，典型的的是婆罗门数字。
（课件展示婆罗门数字）婆罗门
数字的出色之处是它给
1
到
9
的每个数都有单独的记号，还没有零和进位记
法。
哥伦布到达以前的美洲，有两个文化中心：一个是南美洲
的印加，广泛使用结绳记数，前面
介绍了。另一个是
中美洲的玛雅。玛雅人分布在现今墨西哥南部的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利
兹、洪都拉斯西部一带。玛雅文化的
开始可以上溯到公元
前
是公兀
3
—
9
世纪。他们创造了一种象形文字，
1000
年获更早，但真正繁荣的时期
最初刻在石碑和建筑物的墙上。
大约
从
9
世纪起，
。
16
世纪西班牙
将无花果的树皮压制成“纸”，用红、蓝。黄、吕、黑等颜色在上面写成“书”
入侵，将这些珍贵的文献焚毁殆尽。玛雅人创造了一种
一个代表零符号
-
--------------------
就
可以表示任何数字。
进位制”上。
这些记数系统采用不同的进制，
其
中巴比伦楔形数字采用六十进制、
外，其他
均采用十进制。
记数系统的出现使人类文明向前迈进了一大步
,
在几个古老的文明地
区发展起来。
<
/p>
与算术的产生相仿，最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来。
本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计、及绘画装饰中加以再现。
（课件展示埃及前王朝时期陶器与西安半坡遗址及出土陶器。
半坡遗址，位于距陕西省西安市十余里的半坡村。考古学家使用碳
在距今
5000
年左右，属于新石
器时代的聚落遗址。
）
20
进位值制记数法，数字表达与算盘的
类似的原理今天被应用在电脑的
“二
算珠有异曲同工之妙。玛雅人创
造了零点符号，像半开的眼睛，也像一只贝壳。他们使用三个符
号：一点、一横、
玛雅数字采用二十进制
在此基础上初等算术便
史前人首先从自然界
14
测出半坡遗址的年代
遗址总面积约
10
万平方米，是一片不规则的
圆形。遗址的主体部分是通常所见的居住区，居住区内有房基、窖
穴和饲养家畜的圈栏。房屋有
地面和半地穴式两
种，
全部为单间。可以看出建筑技术已有了相当的水平。
石器是半坡人使用的
主要生产工具。
半坡遗址居住区的东面是制陶区。从出土的陶器看，陶器坯子主要是手制。
经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展。据希腊历史学家，被尊称为“历史之父” 的希罗多德（越公
元前
484
—前
425
）的研究，古埃及几何学产生于尼
罗河泛滥后土地的重新丈
量。尼罗河定期泛滥，通常自
7
月
中旬开始，淹没全部谷地。
11
月洪水逐渐退落，土地上遗留
着肥沃的淤泥。正月，埃及人在松软的土壤里播种，
能获得丰富
的收成。古埃及测量土地人员有
一个专名，叫做“司绳”或者“拉绳者
”，“拉绳者”指的就是当时的
几何学家。
（课件展示底比
斯墓中灰泥墙上的拉绳者图，约公元前
1415
年）
7
古印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，
公元前
8
世纪至
5
世纪形成的
《绳法经》
就是
关于祭坛与
寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。
古代中国，
几何学起源更多地与天文观测
相联系
。数学经典《周髀算
经》就是一部讨论西周初年（公元前
数学方法的著作。
（后面详细介绍）
1100
年左右）天文测量中所用
2
河谷文明与早期数学
历史学家往往把兴起于埃及、
美索不达米亚、
中国和印度等地域的古代文明称为
“河谷文明” 。
早期数
学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首< p>
先发展起来的。其中古埃
及与美索不达米亚的数
学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，
崛起稍晚点的
中国与印度数学则延续到纪元
之后并在中世纪臻于高潮。
这里先介绍古埃及与美索
不达米亚数
学，古代中国与印度数学我们放到中世纪一并讲
述。
2.1
埃及数学
⑴背景
埃及是文化发达最早的几个地区之一。
埃及文明源自何处至今未知，
但它肯定在公元前
4000
年之前就已存
在。正如希腊史学家希罗多德（
Herodotus
）所说，埃及是受尼罗河恩施的。这条
河把南方的水一年一度地泛滥
到沿河两岸之后留下沃土。
他们的大多数人自古以来就一直靠耕种
这片沃土为生。这国家的其余部分都是荒漠。
在今天埃及这块地方，古代有两个王国，一个在北方，一个在南方。早在旧石器时代，那里
就有居民。埃及的
历史，从公元前
3100
年左右美尼斯统一南、北埃及建立第一王朝起，到公元
前
332
年亚历山大大帝灭最后一个
埃及王朝止，
前后绵延约三千年。
埃及文化在公元前
2500
年
左右到达最高点，当时的统治者建
立了至今闻名的
金字塔。公元
600
年左右，埃及的历史和数
学就附属于希腊文明了。
⑵埃及古文字
公元前
3000
< br>年左右，埃及已有可考的文字记录。最古老的文字是象形文字，每个文字记号
是某件东西的图
形。
人类最初用实物或图画来表示某种思想，
这种办法在今天还可以看到它的痕
迹
，例如在饭馆前面挂一个幌
子，表示卖某种食物。图画经过长期的演变，形成象形文字。
象形
文字我们前面介绍过。象形文字和图画的区别在
于象形文字有固定的形状和读音，而图画没有。
如图为埃及象形文字。（课件展示）
象形文字有很大的局限性，写起来相当麻烦。约公元前
2500
年被简化成一种便于书写的僧
侣文，
僧侣文多
为僧侣所用。僧侣文是拼音的，每个音节由一个会意文代表，而整个文字则由一
些会意文组成。
书写的方式是用颜
料写在纸草上。
纸草是盛产于尼罗河三角洲的水生植物，
形状
像芦苇，可以制造各种用具，
如编筐、织绳等，嫩
芽可吃。
古代埃及人把纸草的茎逐层撕成薄片，
压平后一张张粘起来就可以当纸用。纸草可以任意接长。
10
世
纪，中国的造纸术传入埃及，纸
草被中国纸所取代。
因纸草会干裂成粉末，
所以除了铭刻在石头上的象形文字
外，
古埃及的文件
很少保存下来。
象形文字除了简化成僧侣文之外，
在公元前
7
世纪时还发展成一种通俗文。
僧侣文主要用于
抄写宗教文
献，而通俗文字则用于其他方面。
2
—
3
世纪，埃及人信奉基督教，在翻译《圣经》
时又创造一种用希腊文字母拼写的埃及文，叫做科普特文。
象形、僧侣、通俗、科普特都是埃及的古代文字。
7
世纪以后，阿拉伯人占领埃及，这个地
区改奉伊斯兰
教，完全使用阿拉伯文，直到今天。象形文字大概在
3
世纪被废弃以致全部遗忘。
1798
年，拿破仑率军进攻埃及。拿破仑是科学的爱好者，
在军事进攻的同时，他组织了科
学考察团，其中有
著名的数学家蒙日（
Gaspard Monge,1746
—
1818
）和傅立叶（
Jean
Baptiste Fourier,1768
—
1830
），对
埃及进行了全面的考察。
1799
年，拿破仑的士兵在离亚历山大
48
公里的罗赛塔村发现一块黑色玄武岩的石碑，长
114
厘米，宽
72
厘米（如图
2
—
3
）。碑上刻
有用三种文字记
述的铭文，上面是象形文字，中间是通俗文字，下面是希腊文（如图<
/p>
2
—
4
）。
铭文刻于公元前
196
年，内容是托勒密五世的践位庆典。拿破仑吃了败仗，此物归英国不列颠
博物馆所有。
这块
< br>石碑使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。
如图为罗塞塔石碑和
罗塞塔石碑上的铭文。（课件展示）
埃及古文字的解读，主要归功于
19
世纪法国文字学家商博良（
J_llion
，
1790_1832
）英国物
理学家杨（
Thomas Young
，
1773-1829
）。商博良的经历颇具传奇色彩。
传说他在
11
岁时遇到数学家傅立
叶，傅立叶给他看带有象形文字的纸草和石头，并肯定地说：<
/p>
没有人能认识这些古怪的字。
这孩子说：
我长大了
8
一定能认识它。
他从此就和古文字结下不解之
缘，
13
岁能阅读希腊文、拉丁文和埃及文。
17
岁进入法国东南部
的格勒诺布尔
大学。经过
20
多年的钻研，
终于揭开象形文字之谜。
可惜英年早逝，
年仅
42
岁。
而另一位古文
字的探索者杨，
在
1813
—
1814
年率先对通俗文字作了分析，
为商博良的解读开辟了道路。
而拿破仑可以说是
埃
及学到最早倡导者。
⑶金字塔
宇航员在月球上观察地球，
陆地上的建筑物只能清楚地看到中国的万里长城和埃及的金字
塔。这是
人类在地球上创造的两大奇迹。
金字塔是古埃及法老的坟墓，
确是埃及古代人民智慧的
结晶。（课件展示金字
塔）
金字塔的构思反映古埃及人的信仰。他们相信高山、大漠、长河都是神圣的
,
法老王被宣扬
为自然神。于是通过审美就把高山、大漠、长河的形象的典型特征赋予王权的纪念碑
,
在广阔的
大漠中金字塔显得
雄伟壮观。
它的形象和尼罗河的风光十分协调
,
大漠孤烟，
长河落日
,
非常壮阔。
现存的各种类型的金字塔约有
80
座，最大的一座是第
4
王朝法老胡夫（约公元前
2589
—
前
2566
）的金
字塔。位于开罗附近
的吉萨，原高
146.5
米，因损坏及下沉现高
137
米，基底正
方形每边长
233
米（现长
227
米）。根据近代的测量，发现大金字塔底边长度的误差仅仅是
1.6
厘米，即全长的
1
/
14000
。基底直角的误差只有
12
或直角的
1
/
27000
。如果没有相当的几何
和测量知识，很难想象能作出如此精确的长度和角度。数学史家
M.
康托尔（
1829
—
1920
）猜测
古埃及人已知用
3
< br>：
4
：
5
的关系来作出直角。
（课件展示狮身人面像）
在仅次于胡夫金字塔的哈夫拉金字塔的东面，
伏着一尊巨大的狮身
人面像，
它
面朝着东方，
似乎在向初升的太阳行注目礼。
它和金字塔共同显示了法老生前的无上
权威以及死后的灵魂不灭。
狮身长
240
英尺，高
66
英尺，人面部是哈夫拉法老的理想肖像。这
是人类第一件巨型雕像，仅人面部就有
5
米
长，耳朵有
3
米。
⑷埃及数学的史料
现在我们对古埃及数学的认识，
主要是根据两本用僧侣文写成的纸草书：
莱茵德纸草书和莫
斯科纸草书。
（课件展示
《莱茵德纸草书》
，上为全景下为局部。
人教出版社
《数学史选讲》
课本有此书。
）
《莱
因德纸草书》〔
Rhind
Papyrus
〕最初发现于埃及底比斯古都废墟，
莱茵德购得，所以以他的名字命名。他死后归伦敦大英博物馆所有。该纸草书全长
1858
年被苏格兰收藏家
525
厘米，
宽
33
厘米，中间有少量缺失。缺失碎片
1922
年在纽约一私人收存的医学纸草书中被发现，现
藏于美国布鲁克林
博物馆。
《莱茵德纸草书》是公元前
1650
年左右的埃及数学著作，属于世界
上
最古老的数学著作之一。作者是
书记官阿姆士。内容似乎是依据了更早年代〔公元前
1849
年
「公元前
1801
年〕的教科书，是为
当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作。全书分成三部分，
一是算术；二是几
何；三是杂题，共有
84
题。记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题。
例如，对劳动者酬金的分配；面积和
体积的
计算；不同谷物量的换算等等。其中，也含有纯数学
知识问题。例如，分数的难题计算等等。
莫斯科纸草书，是由俄国贵族戈列尼雪夫
1893
年在埃及购得的，所以又叫戈列尼雪夫纸草
书。
1912
年转
藏于莫斯科普希金精细艺术图书馆。这部纸草书长约
550
厘米、宽
8
厘米，共记
载着
25
个问题。这部纸草书产
生年代约为公元前
1890
年，也是用僧侣文写成的。
这两部纸草书是古埃及最重要的传世数学文献。
除此之外，还有一些零星的资料：
卡呼恩纸
草书和柏林纸草书、阿赫米
姆木板文书以及克索斯时代的羊皮书一卷等。
⑸埃及的算术与代数
古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号。
示
1000
，弯曲的手指表示
10000
,
—只青蛙或一条鳕鱼表示
当在一个数中出现某个数码的若干倍时，
统是叠加制而不是位值制。
古埃及人
已有了分数的概念。埃及数学最显著的特点是使用单分数。
殊的记号来表示单位分数即分子为
埃及象形文字用一种特
就表示该整数的
（课件展示）我们前面介绍过，用
一根垂直棒或一竖表示
1
倒置的窗或骨表示
10
，形似大写字母
C
的套索表示
100
，一朵莲
花表
100000,
而跪着的人像则表示
1000000
。
就将它的符号重复写若干次，这说明古埃及人的记数系
1
的分数：在整数上方简单地画一个长椭圆，
帀
=
吉
吊
=
吉
倒数。如
。除了几个特殊分数之外，埃及人将所有分数都表示为一些单位
9