任用-

2021年2月16日发(作者：梅山一小)

平面几何中的三角法

在解决平面几何问题时，

除了常规的几何证明方法外，

有时也利用一些其他领域的数学< /p>

技巧

.

例如解析法、三角法、向量法、复 数法等等

.

本讲将会给同学们介绍利用三角函数来解决平面几 何问题的技巧

.

使用三角法解决平面几何问题时，往往是利用 图形中线段和角度之间的联系

.

所以除了

利用三角函数的定义和相关恒等变形公式外，最重要的还是利用正弦定理和余弦定理

.

设



ABC

的 三个顶点

A

、

B

、

C

所对的边分别为

a

、

b

、

c

< br>，

外接圆半径为

R

，

< p>
则有：

正弦定理：

a< /p>

b

a







2

R

.

sin

A

sin

B

sin

C

b

2



c

2



a

2

a

2



c

2



< br>b

2

a

2



b

2



c

2

余弦定理：

cos

< br>A



，

cos

< br>B



，

cos

< br>C



.

2

ab

2

bc

2

ac

例

1

已知



ABC

中，



< br>C



90

，

D

为

AC

上一点，

K

为

BD

上一点，且





ABC





KAD





AKD

.

证明：

BK< /p>



2

DC

.





B

K

C

D

A



E

分别在

AC

、

AB

上，



BAC



40

，



ABC



60

，



CBD< /p>



40

，

例

2



ABC

中，< /p>

点

D

、



BCE



70



，

BD

、

CF

相交于点

F

.

求证 ：

AF



BC

.

A

E

D

F

B

C

例

3

已知

< p>


ABC

中，点

E

是形内一点，

BE

延长后交

< br>AC

于点

D

，已知



DCE



10

< p>
，





ECB

< p>


20



，



ABD



40

< p>


，求



BAE

.



A

D

E

C

例

4

已知四边形

ABCD

，



BAC



30

，



ABD



26

，



DBC



51

，



ACD



13

，

求



CAD

.

A







D

B

C

例

5

莫

莱

定

< br>理

：

设



ABC

内

有

三

点

D

，

E

，

F

，



DBC





FBA



1



ABC

，

3

1

1



FAB





EAC





BAC

，



ECA





DCB





A CB

，则



DEF

是正三角形

.

3

3

A

F

E

D

B

C

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