平面几何基础知识教程
水浒传第八回-
平面几何基础知识教程（圆）
一、
几个重要定义
外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心
内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心
垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心
凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形
ABCD
内部的四边形称为凸四边形
折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）
（折四边形）
二、
圆内重要定理：
1
．
四点共圆
定义：若四边形
ABCD
的四点同时共于一圆上，则称
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆
基本性质：若凸四边形
ABCD
是圆内接四边形，
则其对角互补
证明：略
判定方法：
1
．定义法：若存在一点
O
使
OA=O
B=OC=OD
，则
A
，
B
，
C
，
< br>D
四点共圆
2
．定理
1
：若凸四边形
ABC
D
的对角互补，则此凸四边形
ABCD
有一外接圆
证明：略
特别地，当凸四边形
ABCD
中有一双对角都是
90
度时，此四边形有一外接圆
3
．视角定理：若折四边形
ABCD
中，
ADB
ACB
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆
1
证明
：如上图，连
CD
，
AB
，设
AC
与
BD
交于点
P
因为
ADB
ACB<
/p>
，所以
Δ
CP
B
∽
Δ
DPA
PC
PB
PD
PA
再注意到
CPD
BPA
所以有
因此
Δ
CPD
∽
Δ
BPA
因此
PCD
PBA
由此
BCD
BAD
BCA
PCD
BAD
BDA
PBA
BAD
180
（Δ
ABD
的内角和）
因此
A<
/p>
，B，C，D四点共
圆
特别地，当
ADB
ACB
=90
时，
四边形
ABCD
有一外接圆
2
．圆幂定理：
圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。
<
/p>
相交弦定理：
P
是圆内任一点，过
P
作圆的两弦
AB
，
CD
，则
PA
PB
PC
PD
证明：
2
连
AC
，
BD
，
则
CAB
CDB
（
等弧
对
等
圆
周
角）
而
APC
DPB
（
对顶
角相等）
因此
Δ
APC
∽
Δ
DPB
PA
PC
即
，因此
PA
PB
PC
PD
PD
PB
（切）割
线定理：
P
是圆外任意一点，过
P
任作圆的两割（切）线
PAB
，
PCD
，
则
PA
PB
PC
PD
证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。
< br>特别地，当
C
，
D
两点重合成为一点
C’
时，割线
PCD
变成为切线
PC’
而由割线定理，
PA
PB
PC
PD
PC
'
2
，此时割线定理成为切割线定理
而当
B
，
A
两
点亦重合为一点
A’
时，由切割线定理
PC
'
2
P
A
PB
P
A
'
2
因此
有
PC’=PA’
，此时切割线定理成为切线长定理
现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：
3
如图，
PCD
是圆的割线，
PE
是圆的切线<
/p>
设圆心为
O
，
连
PO
，
OE
，则由切割线定理有：
PC
PD
PE
2
而注意到黄色
Δ
是
R
TΔ
，由勾股定理有：
PE
2
PO
2
OE
2
，结合切割线定
理，我们得到
PC
PD
PE
2
PO
2
< br>OE
2
，这个结果表明，如果圆心
O
与
P
是确定的，那么
PC
与
PD
之积也是唯一确定的。
以上是
P
在圆外的讨论
现在再重新考虑
P
在圆内的情形，
如下图，
PCD
是圆内的现，
PAB
是以
P
为中点
的弦
< br>
则由相交弦定理有
PA
PB
PA
（因为
P
是弦
A<
/p>
B
中点）
=
PC
PD
2<
/p>
连
OP
，
OA<
/p>
，由垂径定理，
ΔOPA
是
RTΔ
由勾股定理有
PA
2
OA
2<
/p>
OP
2
，结合
相交弦定理，便得到
4
2
PA
PB
PA
（因为
P
是弦
A
B
中点）
=
PC
PD
OA
2
OP
2
这个结果同
样表明，当
O
与
P
是固定的时候
PC
与
PD
之积是定值
以上是
P
在圆内的讨论
当
P
在圆上时，过
P
任作一弦交圆于
A
（即弦
AP
）
，此时
PO
2
OA
2
0
也是定值
综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，
得到圆
幂定理。
圆幂定理
：
P
是圆
O
所在平面上任意一点
（可以在圆内，圆上，圆外）
，过点
P
任作一直线交圆
O
于
A
，
B
两点（
A
，
B
两点可以重合，也可以之一和
P
重合）
，
圆
O
半径为
r
2
< br>2
则我们有：
PA
PB
|
PO
r
|
由上面我们可以看到，当
P
点在圆内的时候，
PO
r
0
，此时圆幂定理为
相交弦定理
< br>
当
P
在圆上的时候，
PO
r
0
当
P
在圆外的时候，
PO
r
0
此时圆幂定理为
切割线定理
，
割线定理
，或
切线长定理
以下有很重要的概念和定理：根轴
先
来定义幂的概念：从一点
A
作一圆周上的任一割线，从
A
起到和圆周相交为
止的两线段之积，称为点对
于这圆周的幂
对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。
根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴
< br>
性质
1
若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线
2
2
2
2
2
2
5
由
于两圆交点对于两圆的幂都是
0
，所以它们位于根轴上，而根轴
是直线，所以
根轴是两交点的连线
性质
2
若两圆相切，其根轴就是过两
圆切点的公切线（即性质
1
的极限情况）
性质
3
若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行
所交的这点称为根心
证明：
若三圆心共线，
则两两圆的根轴均垂直于连心线，
因此此时两两的根轴互
相平行
若三
圆心不共线，
则必成一三角形，
因此两两的根轴必垂直于两两的
连心线。
如
图，设
CD
与
EF
交于点
O
，连
AO
交圆分
O2
圆
O3
于
B’,B’
’
，则
OA
OB
'
O
E
OF
O
C
OD
O
A
OB
''
其中前两式是点
O
对圆
O2
的幂，后二式是
点
O
对圆
O3
的幂，中间是圆
O
对圆
O1
的幂进行转化
由此
B’
与
B’’
重合，事实上它们就是点
B
（圆
O2
与圆
O3
的非<
/p>
A
的交点）
，由此
两两的根轴共点
圆幂定理是对于
圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补
充：
6
圆内接四边形判定方法
4
．相交弦定理逆定理：如果四边形
ABCD
的对角
线
AC
，
BD
交于点
P
，且满足
< br>PA
PC
< br>PB
PD
，则四边形
ABCD
有一外接圆
5
．切割线定理逆定理：如果凸四边形
ABCD
一双对边
AB
与
DC
交于点
P
且满足
PA
PC
PB
PD
，则四边形
ABCD
有一外接圆
这样我们就补充了两种判定方法
<
/p>
例（射影定理）
：
RTΔABC
中，
BC
是斜边，
AD
是斜边上的高
则
(1)
A
D
2
BD
CD
(2)
AB
2
BD
BC
(3)
AC
2
CD
BC
证明：
如图，延长
AD
至
A
'
，使
A
D
=
D
A
'
，连
A
'
B
,
A
'
C
则
Δ
A
B
C
Δ
A
'
B
C
,
因此
BAC
BA
'
C
180
（
1
）
因此
A
，
B
，
C
，
A
'
四点共圆
由相交弦定理有：
<
/p>
AD
DA
'<
/p>
AD
2
BD
CD
7
（
2
）<
/p>
（
3
）
(2)(
3)
同理，
现证
(3)
作
RT
Δ
ADB
的外接
圆
，
则
RT
Δ
ADB
的外接
圆圆
心
为
E
其中
E
是
AB
的中点
则
EA
AC
，因此
AC
是<
/p>
圆
ABD
的切
线
由切割
线
定理有
CA
2
CD
CB
例
2
：垂心
ΔABC
中，三边所在的高的所在的直线交于一点
证明：
设
BE
与CF交于
H
，
连
AH
延
长
交
BC
于
D
即
证
AD
BC
因
为
BEC
BFC
90
，因此
B
，
F
，E，C四点共
圆
同理
A
，F，H，E四点共
圆
所以
BHD
180
AHF
BHF
180
AEF
EHC
180
B
A
C
因此
H
，
D
，
E
，
C
四点共
圆
由此
HDC
90
3
．
Miquel
定理<
/p>
之前
1
，
2
的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情
况
8
又如何？
从最简单的开始了解，在本
文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，
Miquel
定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。
先看一个事实：
< br>如图，
ΔABC
中，
AD
，
BE
，
CF
分别是三边上的高，则分别以
AEF
，
BDF
，
CDE
作<
/p>
圆
这三个圆共于一点，而且可以通过观
察，这个点就是垂心刚好是
AD
，
BE
，
CF
的
交点
在介绍
Miquel
定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释
Miqu
el
定理
：
ΔABC
< br>中，
X
，
Y
，
Z
分别是
直线
< br>AB
，
BC
，
< br>AC
上的点，则
AXZ
,
BXY
,
CYZ<
/p>
共
于
一
点
O
这样的点
O
称为
X
，
Y
，
Z
对于
ΔABC<
/p>
的
Miquel
点
9
证明：
如
图
，
设
AXZ
与
BXY
交于
O
，
连
OX
，
O
Y
，
OZ
即
问
题转
化
为证
O
，
Z
，
Y
，<
/p>
C
四点共
圆
因<
/p>
为
A
，
X
，O，Z与B，X，Y，O
为两组
四点
圆
则
AZO
180
AXO
BXO
<
/p>
180
BY
O
OYC
即
OZC
OYC
180
因此
O
，
Z
，
Y
，
C
四
点共
圆
事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法
在发掘
Miquel
定理的证明方法时可以得到一种更
一般的证题方法
注意这个证明只在
X
，
Y
，
Z
在
AB
，
BC
，
AC
边上
时可以
当在直线
AB
，
BC
，
AC
上时需要改一下，这里略去了。
现在回到之前关于垂心的问
题。
为什么
D
，
E
，
F
关于
ΔABC
的
Miquel
点就是
ΔABC
的垂心
证明：
如
图
，
AD
，
BE
，
CF
是
Δ<
/p>
ABC
的三条高，垂心
为
H
，
则
A
，
E
，
F
，
H
B
，
D<
/p>
，
F
，
H
C
，
D
，
E
，
H
共三
组
四点共
圆
由此可
见
AEF
，
BDF
，
CDE
共于一点
H
而
H
就是垂心
有了
Miquel
定理，我们可以对垂心有一个新的看法
10
HD
是
BDF
与
CDE
的根
< br>轴
对
HE
，
HF
同理
而
ADB
ADC
90
因此
BDF
与
CDE的
连
心
线
平行于
BC
（中位<
/p>
线
定理）
因此
H
D
垂直于
BC
HE
，HF同理
因此垂心可以被
认为
是
这
三
圆
的根<
/p>
轴
的交点（根
轴
性
质
3
）
用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：
由此可见，
共点圆与三角形的特殊点
有很大的关系，
上述
3
种只是最简单的
最容
易发现的
提起外心就会联想到外
接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理
正弦定理
：
ΔABC
中，外接圆半径
< br>R
，则
BC
< br>AC
AB
< br>
2
R
sin
A
sin
B
< br>sin
C
证明：
11
作
直径
AOD
，连
BD
则
ABD
90
，
ADB
ACB
因此在
Rt
Δ
ABD
中
AB
AB
AD
2
R
sin
ADB
sin
C
其余同理
想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理
余弦定理
：
Δ
ABC
中
AB=c,AC=b,BC
=a
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos<
/p>
A
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
c
2
b
2
< br>a
2
2
ab
cos
C
证明：
作
BC
边
上的
高
AD
CD
AC
cos
C
b
cos
C
BD
BC
CD
a
b
cos
C
因此
AB
2
BD
2
AC
2
CD
2
即
c
2
(
a
b
cos
C
)
2
b
2
(
b
cos
C
)
2
即
c
2
< br>a
2
b
2
2
ab
cos
C
其余同理
c
< br>2
a
2
b
2
cos
2
C
2
a
b
cos
C
b
2
b
2<
/p>
cos
2
C
接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系
费马点，即
ΔABC
内一点，使其到三顶点距离之和
最小的点
当
ΔABC
任一内角都
<120
时，费马点存在于内部，当
Δ
有一内角
>=120
时费马
点与此角顶点重合
12
设
Δ
ABC
中任一内角均
<120
，则费马
点
F
可以通过如下方法作出来：
分别以
AB
，
AC
，
BC
向外作正
Δ
，连接对着的顶点，则得
事实上
，点
F
是这
3
个正
Δ
的外接圆所共的点
而
FA+FB+FC
其实就是顶点到对着的正
Δ
顶点的连线的长
而且之后将会有一种方法计算
FA+FB+FC
的长度
而这将会在之后进行讨论
4
．
Sim
son
定理
Simson
定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立
13
Sims
on
定理：
P
是
ΔABC
外接圆上一点，过点
P
作<
/p>
PD
垂直
BC
，
PE
垂直于
AB
，
同理
PF
则
D
，
E
，
F
是共线的三点
直线
DEF
称为点
P
关于
ΔABC
的
Simson
线
引理（完全四边形的
Mique
l
定理
）
：四条直线两两交于
A
，
B
，
C
，
D
，
< br>E
，
F
六点
则
ABF
，
BCE
，
CDF
，
DAE
共点
BCE
，
CDF
，
DAE
共点
先从
Δ
ABF
对
E
，
C
，
D
三点
运
用密克定理，
则
Δ
D
AE
对
B
，
C
，
F
三点
运<
/p>
用密克定理，
则
因此
ABF
，
BCE
，
CDF
，
DAE
共点
ABF
，
BCE
，
CDF
共点
其中
所共的点叫做完全四边形的
Miquel
点
证明：这里运用
Miquel
定
理作为证明
设
PD
< br>垂直
BC
，
PE
垂直
AB
，延
长
DE
交
CA
于
F
则问题
等价于
证
明
PF
垂直
AC
连
PF
四
边
形
AFCDBE
是完全四
边
形
所以由完全四
边
形的
Miquel
定理（引理）
ABC
，
BDE
，
< br>AEF
，
CDF
共点
注意到
PEB
PDB
所以
P
，
B
，D，E四点共
圆
所以
ABC
与
BDE
交于点
P
和B
因此完全四
边
形FACDBE的
Miquel
点非
P
则
B
而
A
，E，B是同一直
线
上三点
因此
A
，E，F，B不可能共
圆
因此
P
是完全四
边
形FA
CDBE的
Miquel
点
由此
P
，E，F，A四点共
圆
则
PFA=90
今逆定理证略
从这个证明我们看到<
/p>
Miquel
定理的威力不仅在于圆共点，
而且对于共点圆也同样
适用
在有了
Simson
定理之后，我们可以运用
Simson
定理来给予完全四边形的
Miquel
14
定理一个新的证明（即前面的引理）
证明：
设
B
CE
与
CDF
非
C
的一个交点
为
M
< br>，
过
M
作
MP
垂直
BE
，MQ垂直
EC
，
BCE
上，由
Simson
定理，
PQR
是共
线
的三点
其余同理。因<
/p>
为
M
在
同理
对
Δ
CDF
运
用Simson定理，有QRS也是共
线
的
三点
因此
P
，Q，R，S四点共
线
而注意到
P
，
Q
，
S
是点M
对
Δ
ADE
三
边
的垂直且共
线
欲
Simson定理逆定理，得
A
，M，D，E四点共
圆
同理
A
，B，F，M四
点共
圆
因此
BCE
，
CDF
，
ADE
，
ABF
共点于
M
由这个证明，我们可以知道完全四边形的
Miq
uel
定理和
Simson
定理是等价
的
能够运用
Simson
定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然
这样，
Simson
定理便与密克定理产生了莫大的
关联
‘
B
C
交圆周于
A’
，
B
‘
直线
A
C
例
.
如
图，
P
为
ΔABC
外接圆上一点，
作
PA
作
P
交
圆周于
B’
，
C’
同理。求证：
AA
’
BB
‘
CC
’
15
证明：设
PA’
交
BC
于
< br>D
，
PB’
交
< br>AC
于
E
，
F
同理，则由
Simson
定理知
，
DEF
三点
共线
由图形看来，题断三条互相平行的线均与
Simson<
/p>
线平行，因此可以试证
连
PB
‘
而注意到
P
，
B
，
D
，
F<
/p>
四点共圆，因此
EDB
FDB
PBA
PAA
因此
AA
’
与
Simson
线平行。其余同理<
/p>
事实上，
Simson
定理可以作推广，成为
Carnot
定理
Carnot
定理：通过
ΔABC
外接圆上的一点
P
，引与三边
BC
，
CA
，
AB
分别成同向
等角（即
PDB
PEC
PFB
）的直线
PD
，
PE
，
PF
与三边或其所在直线的交点分
别为
D
，
E
，
F<
/p>
则
D
，
E
，
F
是共线的三点
可以仿照前面的证明
(
这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证
< br>DEF
180
)
证明留给读者，作为习题
5
．
Ptolemy
定
理
本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而
Ptolemy
定理是一个
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