八上平面几何难题集锦
献给老师的诗-
八年级平面几何难题集锦
1.
如图，已知等边△
ABC
，
P
在
AC
延长线上一点，以
PA
为边作等边△
APE,EC
延长线交
BP
于
M
，
连接
AM,
求证：
（
1
）
BP=CE
；
（
2
）
试证明：
EM-
PM=AM.
E
2.
点
C
为线段
A
B
上一点，△
ACM,
△
CBN
都是等边三角形，线段
AN,MC
交于点
E
，
BM,CN
交
于点
F
。求
证：
（
1
）
AN=MB.
（
2
）
将△
ACM
绕点
C
按逆时针方向旋转一定角度，
如图②所示，
其他条件不变，
（
1
）
中的结论是否依然成立？
（
3
）
AN
与
BM
相交所夹锐角是否发生变化。
M
O
F
E
E
C
B
B
A
C
O
M
F
A
3.
已知，
如图①所示，
在
△
ABC
和
△
ADE
中，
AB
AC
，
AD
AE
，
BAC
DAE
，
且点
B
，
A
，
D
在一条直线上，连接
BE
，
CD
，
M
，
N
分别为
BE
，
CD
的中点．
（
1
）求证：①
BE
CD
；②
AM
AN
；
（
2
）在图①的基础上，将
△
ADE
绕点
A
按顺时针方向旋转
180
，其他条件不变，得到
图②所示的图形
．请直接写出（
1
）中的两个结论是否仍然成立
.
B
图①
M
C
N
A
E
D
B
M
E
图②
C
N
D
A
N
N
A
C
P<
/p>
M
22
题
B
4.
如图，
C<
/p>
为线段
AE
上一动点（不与点
A
，
E
重合）
，在
AE
同侧分别作正三角形
ABC
和正三
角形
CDE
，
AD
与
BE
交于点
O
，
AD
与
BC
交于点
P
，
BE
与
CD
交于点
Q
，连结
P
Q
．以下五个结
论：
①
AD=BE
；
②
PQ
∥
AE
；
③
AP=BQ
；
④
DE=DP
；
⑤
∠
AOB
=60
°
⑥
CP=CQ
⑦△
CPQ
为等边三角形．
⑧共有
2
对全等三角形
<
/p>
⑨
CO
平分∠
A
OP
⑩
CO
平分∠
BCD
恒成立的结论有
_____________
_
（把你认为正确的序号都填上）
．
A
B
O
P
C
Q
E
D
5.
已知：如图，
△
ABC
是等边三角形，过
A
B
边上的点
D
作
DG
∥
BC
，交
AC
于点
G
，
在
GD
的延长线上取点
E
，使
DE
DB
，连接
AE
，
CD
．
（
1
）求证：
△
AGE
≌△
DAC
；
D
（
2
）过
点
E
作
EF
∥
DC
，交
BC
于点
F
，请你连接
AF
，并判断
△
AEF
是
E
怎样的三角形，试证明你的结论．
B
F
6.
如图，以
△
ABC
的边
AB
< br>、
AC
为边分别向外作正方形
A
BDE
和正方形
ACFG
，连结
EG
，试判断
△
AB
C
与
△
AEG
面积之间的关系，并说明理由．
E
A
G
F
B
C
A
G
C
D
7.
在
△
ABC
中
，
A
B
B
C
将
△
ABC
绕
点
B
顺
时
针
旋
转
角
2
，
< br>A
B
C
1
2
°
0
，
(0
°
<
/p>
9
0
°
)
得
△
A
1
BC
1
，
A
1
B
< br>交
AC
于点
E
< br>，
A
1
C
1
分别交
AC
、
BC
于
D
、
F
两
点．如图
1
，观察并猜想，在旋转过程中，线段
EA
1
与
FC
有怎样的数量关系？并证明你的
结论；
C
D
F
B
C
C
1
A
1
E
A
D
F
B
C
1
A
1
A
E
8.
如图所示，△
ABC
是等腰直角三角形，∠
ACB
＝
90
°，
AD
是
BC
边上的中线，过<
/p>
C
作
AD
的
垂线，交
AB
于点
E
，交
AD
于点
F
，求证：∠
ADC
＝∠
BDE
．
C
D
F
A
E
9.<
/p>
如图
1
，四边形
ABCD
是正方形，
M
是
AB
延长线上一点。直角三角尺的一条直角边
经过点
D
，且直角顶点
E
在
AB
边上滑动（点
E
不与点
A
，
B
重合）
，另一条直角边与∠
CBM
的平分线
BF
相交于点<
/p>
F.
⑴
如图
14
―
1
，当点
E
在
AB<
/p>
边的中点位置时：
①
通过测量
DE
，
EF
的长度，猜想
DE
与
EF
满足的数量关系
是
；
②
连接点
E
与
AD
边的中点
N
，猜想
NE
与
BF
满足的数量关系是
；
③
请证明你的上述两猜想
.
⑵
如图
14
―
2
，当点
E
在
AB
边上的任意位置时，请你在
AD
边上找到一点
N,
使得
NE=BF
，进而猜想此时
DE
与
EF
有怎样的数量关系并证明
10.
已知
Rt
△
ABC
中，
AC
BC
，∠
< br>C
90
，
D
为
AB
边的中点，
EDF
90
°
，
EDF
绕
D
点旋转，它的两边分别交
AC
、
CB
（或它们的
延长线）于
E
、
F
．
当
EDF
绕
D
点旋转到
DE
AC
于
E
< br>时（如图
1
）
，易证
S
△
DEF
S
△
CEF
B
1
S
△
ABC
．
2
当
EDF
绕
D
点旋转到
DE
和
AC
不垂直时，在图
2
和图
3
这两种情况下，上述结论是否
成
立？若成立，请给予证明；若不成立，
S
△
DEF
、
S
△
CEF
、
S
△
ABC
又有怎样的数量关系？请
写出你的猜想，不需证明．
A
A
D
E
E
B
C
F
C
图
1
A
D
D
C
F
图
2
B
E
图
3
B
F
11.
已知
AC//BD,
∠
CAB
和∠
DBA
的平分线
EA
、
EB
与
CD
相交于点
E.
求证
:AB=AC+BD.
12.
等边△
ABC
，
D
为△
ABC
外一点，∠
BDC=120
°，
B
D=DC
．∠
MDN=60
°射线
DM
与直线
AB
相
交于点
M
，射线
DN
与直线
AC
相交于点
N
，
①当点
M
、
N
在边
AB
、
AC
上，且
DM=DN
时，直接写出
BM
< br>、
NC
、
MN
< br>之间的数量关系．
②当点
M<
/p>
、
N
在边
AB<
/p>
、
AC
上，且
D
M
≠
DN
时，猜想①中的结论还成立吗
？若成立，请证明．
③当点
M
、
N
在边
AB
、
CA
的延长线上时，请画出图形，并写出<
/p>
BM
、
NC
、<
/p>
MN
之间的数量关系．
13.
如图
1
，
BD
是等腰
Rt
Δ
ABC
的角平分线，
∠
BAC
=
90
.
（
1
）求证
BC
=
AB
+
AD
；
（
2
）如图
2
，
AF<
/p>
⊥
BD
于
F
，
CE
⊥
BD
交延长线于
E
，求证：
BD
=2
CE
；
< br>
B
图
2
F
C
A
D
E
A
D
B
C
14.
已
知，如图
1
，在四边形
ABCD
中，
BC
＞
AB
，
AD
=
DC
，
BD
平分∠
AB
C
。
求证：∠
BAD
+
∠
BCD
< br>=180
°。
15.
如
图，四边形
ABCD
中，
AC
平分∠
BAD
，
CE<
/p>
⊥
AB
于
E
，
AD+AB=2AE
，则∠
B
与∠
ADC
互补
.
为什么？
D
C
A
E
B
16.
如
图
4
，在△
ABC
中，
BD=CD
，∠
ABD=
∠
ACD,
求证
A
D
平分∠
BAC.
A
D
B
C
17.
如图，在△
ABC
中∠
ABC,
∠
ACB
的外角平分
线交
P.
求证
:AP
< br>是∠
BAC
的角平分线
A
C
3
B
4
2
1
P
图十一
18.
如图在四边形
ABCD
中，
AC
平分∠
BAD
，∠
ADC
＋∠
ABC
＝
180
度，
CE
⊥
AD
于
E
，猜想
AD
、
AE
、
AB
之间的数量关系
，并证明你的猜想，
E
D
A
图
2
19.
如图，已知在△
ABC
中，∠
B=60
°，△
ABC
的角平分线
AD,CE
相交于点
O
，求证：
OE=OD
20.
如
图所示，已知在△
AEC
中，∠
E=9
0
°，
AD
平分∠
EAC
，
DF
⊥
< br>AC
，垂足为
F
，
DB=DC
，求
证：
BE=
CF
E
B
A
21.
如图①，
OP
是∠
MON
的平分线，
请你利用该图形画一对以
OP
所在直线为对称
轴的全等三
角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
< br>
（
1
）如图②，在△
ABC
中，∠
ACB
是
直角，∠
B
=60
°，
AD
、
CE
分别是∠
BAC
、∠
BCA
的<
/p>
平分线，
AD
、
CE
相交于点
F
。请你判断并写出
FE
与
FD
之间的
数量关系；
（
2
）如图③，在△
ABC
中，如果∠
ACB
不是直角，而
(1)
中的其它条
件不变，请问，你
在
(1)
中所得结论
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
B
B
M
E
E
D
F
F
D
P
O
图①
B<
/p>
E
O
A
C
B
D
C
D<
/p>
F
C
N
A
图②
C
A
图③
C
22.
已知：如图，
BF
⊥
AC
于点
F
，
CE
⊥
AB
于点
E
，且
BD=CD
，求证：
（
1
）△
BDE
≌△
CDF
（
2
）
点
D
在∠
A
的平分线上
E
A
23.
如图在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠
1
＝∠
2
，
P
为
< br>AD
上任意一点，求证
;AB-
AC
＞
PB-PC
24.
已知：如图，△
ABC
中，∠
ABC
=45
°，<
/p>
CD
⊥
AB
于<
/p>
D
，
BE
平分∠
ABC
，且
BE
⊥
AC
于
E
，与
B
P
1
B
D
F
C
A
2
D
C
CD
相交于点
F
，
H
是
BC
边的中点，连结
DH
与
BE
相交于点
G
。
(!)
求证：
BF
=
AC<
/p>
；
(2)
求证：
CE
=
1
BF
；
2
(3)
CE
< br>与
BC
的大小关系如何？试证明你的结论。
25.
如图，在四边形
ABCD
中，
AB=BC
，
BF
是∠
ABC
的平分线，
AF
∥<
/p>
DC
，连接
AC
、
CF
，求证：
CA
< br>是∠
DCF
的平分线。
D
A
F
C
B
26.
数学课上，张老师出示了问题：如图
1
，四
边形
ABCD
是正方形，点
E
是边
BC
的中
点．
AEF
90<
/p>
，且
EF
交正方形外角
< br>
DCG
的平分线
CF
于点
F
，求证：
AE<
/p>
=
EF
．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
AB
的中点
M
，连接
ME
，则
AM
=
EC
，易
证
△
AME
≌△
ECF
，所以
AE
EF
．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（
1
）小颖提出：如图
2
，如果把“点
E
是边
B
C
的中点”改为“点
E
是边
BC
上（除
B
，
C
外）
的任意一点”
，
其它条件不变，
那么结论
“
AE
=
EF
”
仍然成立，
你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，
写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（
2
）小华提出：如图
3
，点
E
是
BC
的延长线上（除
C
点外）的任意一点，
其他条件不
变，结论“
AE
=
EF
”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
如果
不正确，请说明理由．
A
D
F
B
E
C
图
1
G
B
27.
△
A
BC
中，∠
BAC=60
°，∠
C=40
°，
AP
平
分∠
BAC
交
BC
于
P
，
BQ
平分∠
ABC
交
AC
于
Q
，
求证：
AB+BP=BQ+AQ
。
E
C
图
2
A
D
F
G
B
图
3
C
E
G
F
A
D
28.
问题背景，如下命题：
①
如图
1,
在正三角形
ABC
中
< br>,N
为
BC
边上任一点
,CM
为正三角形外角∠
ACK
的平分线
,
若
∠
ANM=60
°
,
则
AN=NM
②
如
图
2,
在正方形
ABCD
中
,N
为
BC
边上任一点，
CM
为正方形外角∠
< br>DCK
的平分线，
若∠
ANM=
90
°，则
AN=NM
③
如图
3,
在正五边形
ABCDE
中
,N
为
BC
边上任一点
,CM
为正五边形外角∠
DCK
的平分线
,
若∠
ANM=
108
°
,
则
AN=NM
E
A
D
A
A
D
M
M
M
B
N
图
1
C
K
B
N
图
2
C
K
< br>B
N
图
3
C
K
任务要求：
⑴
请你证明以上三个命题；
⑵
请你继续完成下面的探索：
①
如图
4,
在正
n
（
n<
/p>
≥
3
）
边形
ABCDEF
…中
,N
为
BC
边上任一点
,CM
为正
n
边形外角∠
DC
K
的平分线
,
问当∠
< br>ANM
等于多少度时
,
结论
AN=NM
成立（不要求证明）
.
②
如图
5,
在梯形
ABCD
中
,AD
∥
BC,AB=BC=CD,N
为
BC
延长线上一点
,CM
为∠
DCN
的平分线
,
若∠
ANM=
∠
ABC,
请问
AN=NM
是否还成
立？若成立
,
请给予证明；若不成立
,
请说明理由
.
F
E
A
A
B
D
B
图
5
D<
/p>
M
N
C
图
4
K
C
N
29.
如图，在△
< br>ABC
中，∠
A=90
°，
D
是
AC
上的一点
，
BD=DC
，
P
是
BC
上的任一点，
PE
⊥
BD
，
PF
⊥
AC
，
E
、
F
为垂足．求证：
PE
+PF=AB
．
30.
如
图，已知△
ABC
中，
AB=AC=6
cm
，∠
B=
∠
C
，
BC=4cm
，点
D
为
AB
的中点．
（
1
）如果点
P
在线段
BC
上以<
/p>
1cm/s
的速度由点
B
向点
C
运动，同时，点
Q
在线段
CA
上由
点
C
向点
A
运动
．
①若点
Q
的运动速度与点
P
的运动速度相等，经过
1
秒后，△
BPD
与△
CQP
是否全等，请说
明理由；
②若点
Q
的运动速度与点
P
的运动速度不相等，当点
Q
的运动速度为多少时，能够使△
BPD
与△
CQP
全等？
（
2
）若点
Q
以②中的
运动速度从点
C
出发，点
P
以原来的运动速度从点
B
同时出发，都逆
时针沿△
ABC
三边运动，则经过
后，点
P
与点
Q
第一次在△
ABC
< br>的
边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
31.
已知：在△
ABC
< br>中，∠
ACB
为锐角，点
D
为射线
BC
上一动点，连接
AD
，以
AD
为一边且
在
AD
的左侧作等腰直角△
< br>ADE
，解答下列各题：如果
AB=AC
，∠
BAC=90
°．
（
i
）
当点
D
在线段
BC
上时<
/p>
（与点
B
不重合）
，
如图甲，
线段
BD
，
CE
之间的位置关系为
（<
/p>
ii
）
当点
D<
/p>
在线段
BC
的延长线上时，如图乙，
i
）中的结论是否还成立？为什么？
32.
已知△
ABC
为等边三角形，点
D
为直线
BC
上的一
动点（点
D
不与
B
、
C
重合）
，以
< br>AD
为
边作菱形
ADEF
（
A
、
D
、
E
、
F
按逆时针排列）
，使∠
DAF=60
< br>°，连接
CF
．
（
1
）如图
1
，当点
D
在边
BC
上时，求证：①
BD=CF
；②
AC=CF+CD
；
（
2
）如图
2
，当点
D
在边
BC
的
延长线上且其他条件不变时，结论
AC=CF+CD
是否成立？
若
不成立，请写出
AC
、
CF
、
CD
之间存在的数量
关系，并说明理由；
（
3
）
如图
3
，
当点
D
在边
BC
的延长线上且其他条件不变时，
补全图形，
并直接
写出
AC
、
CF
、
CD
之间存在的数量关系．
33.
在△
ABC
中，
AD
⊥
BC,
BE
⊥
AC, D
、
< br>E
为垂足，
AD
与
BE
交与点
H
，
BD=AD.
求证：
BH=AC
BE
⊥
AD
B
A
E
H
D
C
34.
如图
14-1
，在△
ABC
中，
BC
边在直线
l
上，<
/p>
AC
⊥
BC
，且
AC
=
BC
．△
EFP
的边
FP
也在直
线
l
上，边
EF
与边
AC
重合，且<
/p>
EF
=
FP
．<
/p>
（
1
）在图
14
-1
中，请你通过观察、测量，猜想并
写出
AB
与
AP
所满足的数量关系和位
置关系；
（
2
）将△
< br>EFP
沿直线
l
向左平移到图<
/p>
14-2
的
位置时，
EP
交
AC
于点
< br>Q
，
连结
AP
< br>，
BQ
．
猜想并写出
BQ
与
AP
所满足的数量
关系和位置关系，
请证明你的猜想；
（
3
）将△
EFP
沿直线
l
向左平移到图
14-3
的位
置时，
EP
的延长线交
AC
的延长线于点
Q
，连结
A
P
，
BQ
．你认为（
< br>2
）中所猜想的
BQ
与
AP
的数量关系和位置关系还
成立吗？若成立，
给出证明；若不成立，请说明理由．
E
A
E
A
（
E
）
Q
l
B
l
B
F
P
F
C
P
C
（
F
）
图
14-1
图
14-2
35.
如
图
1
，在正方形
ABCD
中，点
E
、
F
分别为边
BC
、
CD
的中点，
AF
、
DE
相交于点
G
，则可
得结论：①
AF=DE
；②
AF<
/p>
⊥
DE.(
不需要证明
< br>)
(1)
如图
2
，
若点
E
、
F
不是正方形
ABCD
的边
BC
、
CD
的中点，
但满足
CE=DF.
则上面的结
论①、②是否仍然成立？
(
请直接回答“成立”或“不成立”
)
(2)
如图
3
，
若点
E
、
F
分别在正方形
ABCD
的边
CB
的延长线和
DC
的延长线上，
且
CE=DF
，
此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由
.
A
P
B
C
l
图
14-3
Q
36.
如
图
1
，
A
、<
/p>
E
、
F
、
C
在同一条直线上，
AE=CF
，
过
E
、
< br>F
分别作
DE
⊥
AC
，
BF
⊥
AC
，
若
AB=CD
，
试说明
BD
平分
EF
；若将△
DEC
的边
EC
沿
AC
方向移动变为图
2
时，其余条件不变，
BD
是否
还平分
EF
，请说明理由。
37.
如
图，△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
AE
是
BC
边上的中线，过
C
作
CF
⊥
A
E
，垂足为
F
，过
B
作
BD
⊥
BC
交
CF
的延长线于
D
．
求证：（
1
）
AE
＝
CD
；
（
2
）若
AC
＝
12 cm
，求
BD
的长．
38.
如
图，两个全等的含
30
°、
60
°角的三角板
ADE
和三角板
ABC
放置在一起，∠
DEA=
∠
ACB=90
°，∠
DAE=
∠
ABC=30
°，
E
、
A
、
C
三点在一条直线上，连接
BD
，取
BD
中点
M
，连接
ME
、
MC
，
试判断△
EMC
的形状，并说明理由．