平面几何证明题的一般思路及方法简述
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平面几何证明题的一般思路及方法简述
【摘
<
/p>
要】惠特霍斯曾说过
,
“一般地
,
解题之所以成功
,
在
很大程度上依赖于选择一种最
适宜的方法。
”灵活、恰当地选择
解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道
平面几何证明题
,
都要应用这样或那样的方法
,
而选择哪一种方法
,
就取决于我们用什么样的
解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。
【关键词】平面几何
证明题
思路
方法
平面几何难学
,
是很多初中生在学习中的共识
,
这里面包含了很多主观和客
观因素
,
而学
习不得法
,
没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过
,
“解题的成功要靠
正确思路的选择
< br>,
要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确
,
哪一个方
向可接近它
,
就要试探各种方向和思路。
”
由此可见
,
掌握证明题的一般思路、
探索证题过程中
的数学思维、
总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。<
/p>
常见的证题思路有直接式思路
和间接式思路。
一、直接式思路
证题时
,
首先应仔细审查题意
,
细心观察题目<
/p>
,
分清条件和结论
,
并尽量挖掘题目中隐含的
一些解题信息
,
< br>以在缜密审题的基础上
,
根据定义、公式、定理进行一系
列正面的逻辑推理
,
最后得出命题的证明
,
这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺
,
在证题时运
用的方法主要有“分析法”和“综合法”
。
1.
分析法。分析法是从命题的结论
入手
,
先承认它是正确的
,
执果索因
,
寻求结论正确的条
件
,
这样一步一步逆而推之
,
直到与题设会合
,
于是就得出了由题设通往
结论的思维过程。
在由
结论向已知条件的寻求追溯过程中
,
则由于题设条件的不同
,
< br>或已知条件之间关系的隐含程度
不同等
,
寻求追溯的形式会有一定差异
,
因而常把分析法分为以
下四种类型。
(1)
选择型分析法。
选择型分析法解题
,
首先要从题目要求解的结论
A
出发
,
逐步把问
题转
化为分析要得出结论
A
需要哪些充
分条件。
假设有条件
B,
就有结论
A,
那么
B
就成为
选择找
到的使
A
成立的充分条件
,
然后再分析在什么条件下能选择得到
B
„„最终追溯到命题中的
某一题设条件。
(2)
可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中
,
每一步都是推求的充分必要
条件
,
那么这种分析法又叫可逆型分析法
,
因而
,
可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。
用
可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明
,
反之用选择型分析法证明的命题
,
用可
逆型分析不一定能证明。
(3)
构
造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中
,
在寻找新
的充分条件的转化
“三岔口”处
,
需采
取相应的构造型措施
:
如构造一些条件
,
作某些辅助图等
,
进行探讨、推导<
/p>
,
才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。
(4)
设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中
,
借助于有根据的设想、假定
,
形成
“言之
成理”的新构思
,
再进行“持之
有据”的验证
,
逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析<
/p>
法。
2.
综合法。综合法则是由命题的题
设条件入手
,
由因导果
,
通过一系列的正确推理
,
逐步靠
近目标
,
最终获得结论。再从已知条件着手
,
根据已知的定义、公式、定理
,
逐步推导出结论。
在这一过程中
,
由于思考角度不同
,
立足点不同
,
综合法常分为四种类型
:
(1)
分
析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来
,
稍加整理而得到
的解法称为分析型
综合法。
(2)
奠
基型综合法。
当由已知条件着手较难
,
或没有熟悉的模式可供归纳推导
,
就可转而寻
< br>找简单的模式
,
然后再将一般情形化归到这个简单的模式
中来
,
这样的综合法称为奠基型综合
法
。
<
/p>
(3)
媒介型综合法。
当问题给出的已知
条件较少
,
且看不出与所求结论的直接联系时
< br>,
或条