概率论的发展史
四人相声-
概率论的发展史
摘要：
概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。
它起源于十七世纪中叶，
当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，
却是来自赌博者的问题。
费马、
帕斯卡、
惠更斯对这个问题进行了首先的
研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公
理化。后来，由于社会和工程技术问题
的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉
普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行
了研究。发展到今天，概率论和以它
作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科
学，工程技术，军事科学及生
产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。
关键词：概率论
公理化
随机现象
赌博问题
17
世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数
学注入了新的活
力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在
这一个世
纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现
实
世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率
论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历
史和现状。”
一、
概率论的起源
概率论是一门研究随机
现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要
的数学分支，竟然起源于对赌博问
题的研究。
1653
年
的
夏
天
，
< br>法
国
著
名
的
数
学
家
、
物
理
学
家
帕
斯
卡
（
Blaise
Pascal,1623
——<
/p>
1662
）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅
累。
为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问<
/p>
题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了
32
个金币，并事先约定：
如果梅累先掷出三个
6
点，或其赌友先掷出三个
4
点，便算
赢家。遗憾的是，这场赌
注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次
6
点，其赌友掷出一次
4
点
时，梅
累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不
甘心，他们只好按照已有的成绩分取这
64
个金币。这下可把他难住了。所以，当他
碰到大名鼎鼎的帕斯卡，
< br>就迫不及待地向他请教了。
然而，
梅累的貌似简单的问题
，
却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。
1654
年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中
讨论了类似的“合理分配赌金”的
问题。该问题可以简化为：
甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一
点，
先积满
3
点者赢取全
部赌注。
假定在甲得
2
点、
乙得
1
点时，
赌局由于某
种原因中
止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。
帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两
种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的
3/4
，乙得赌金的
1/4
。
费马：结束赌局至多还要
2
局，结果为四种等可
能情况：
情
1
2
3
4
况
胜
者
甲
甲
甲乙
乙甲
乙乙
前
3
种情况，甲获全部赌金，仅第四种
情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的
3/4
，乙得赌金的<
/p>
1/4
。
帕斯
卡与费马用组合方法给出了正确解答。虽然他们在解答中没有明确定义概
念，但是，他们
定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数
的比，这实际上就是概
率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。后来
他们还研究了更复杂的在多个
赌徒间分赌注的问题。
1655
年，
荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡与费马的工作详
情之后，也饶有兴趣
地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关
于赌博中的推断》
（
1657
年）一书，这是公认的有关或然数学
的奠基之作。
二、
概率论的公理化
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯〃米西斯
(
Mises,1883-1953)
对概
率论的理
论化做了最早的尝试，但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严
格的公理化概率
论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。这方面的先行
者是法国数学家博雷尔
(,1781-1956)
他首先将测度论方法引入概率论重要
问题的研究，
1909
年他提出并在特
殊情形下解决了随机变量序列§1，
§2，
...
，
服
从大数定律的条件问题。他的工作激起了数学家
们沿这一崭新方向的一系列搜索。
特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他
在
1926
年推倒了弱大数定律
成立的
充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，
从而解决了概
率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公
理化的前奏。
1933
年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作
《概率论基础》
，这是概率论的一部经典
性著作。在科尔莫戈罗
夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定
的非负实数与之对应，这个数
就叫做该事件的概率。在这里，概率论的定义同样是
抽象的，
并
不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。
他还提出了
6
条公理，
之后的
整个概率论大厦都可以从这<
/p>
6
条公理开始建起。
科尔莫戈罗夫的公理
系也因此逐渐获
得了数学家们的普遍承认。科尔莫戈罗夫是
20
世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅
是公理化概率论的建立者，
在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡
献，同时，他还是出色的教育家。
他多次获得国际大奖，
1965
年，他把得到的国际
巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆，
1980
年他荣
获沃尔夫奖。
概率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科
学，取得了与其他数学分支同
等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。<
/p>
三、
概率论的进一步发展
概率论本质上是研究随机现象的一门科学。这类现象与必然科
学截然不同，他
的条件与结果之间并不存在某种必然的联系，也就是说，在相同的条件下
，可能会
发生某一结果，也可能不发生这一结果。例如投掷一枚硬币，既可能正面朝上，
也
可能反面朝上。但是，这并不意味着就不能用数量来描述和研究它们。投掷硬币，
投掷一次似乎没有什么规律性可言，但当它们大量出现时，在总体上却会呈现出某
种规律，我们就称这种总体上的规律性为统计规律性，它的存在构成了或然数学研
< br>究的基础。
关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费
马二人以通信的形式展开的。它们
虽然没有提出明确的概念定义，但他们在估计赌徒获胜
的可能性时，总是利用有利
情形数与所有可能数之比来做，这实质上就是早期古典概率的
概念。他们会同惠更
斯一起，
给出了概率、
数学期望等基本概念的雏形，
并得到相应的性质和计算方法，
这些都表明，当时概率已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。
后来，由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以
及天文学、物理学等学科的应用，很快引起了许多数学家的关注，概率论的发展也
随之进
入了一个崭新的阶段。
1718
年，法国数学家隶莫弗（
De
Moivre,Abraham,1667
—
1754
）发表了《机遇
原理》
，
他首次定义了独立事件的乘法定理，
给出二项分布公式，
并
讨论了许多投掷
骰子和其他赌博的问题。
1931
年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫<
/p>
过程的理论基础。在科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着
整个现代概率论的重要代表人物还有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。
19
48
年莱维出
版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量
过程的一般理论，并以此为基础
极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研
究。
1934
年，辛钦提出平
稳过程的
相关理论。
1939
年，
维尔
()
引进“鞅”的概念，
1950
年起，
杜布对
鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为
一门独立的分支。从
1942
年开始，日本数学
家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而
且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。像任何一门公理化的数学
分支
一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。
值得我们高兴
的是，
我国数学家在概率论的研究方面也取得了许多重要的成果。
数学家侯振廷年轻时发表的著名论文《
Q
过程的唯一性准则》
得到国内外学者的高
度评价，荣获
1978
年度的英国戴维逊奖。
四、
概率论的应用
数学家们通过大量的同
类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规
律，而这种规律性又是许多客观事
物所具有的，所以，概率论应用也随之扩宽了。
众所周知，接
种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法，然而，
当牛痘开始在欧洲大规模
接种之际，它的副作用引起了人们的争议。为了探求事情
的真相，伯努利家族的另一位数
学家丹尼尔〃伯努利根据大量的统计数据，应用概
率论的方法，得出了接种牛痘能延长人
的平均寿命三年的结论，从而消除了人们的
恐惧与怀疑，为这一杰出的医学成果在世界范
围内普及扫除了障碍。
现在，概率论与以它作为基础的数理统
计学一起，在自然科学，社会科学，工
程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中起着
不可或缺的作用。
直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造
，宇宙飞船遨游太空等都有概率论
的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研
究等更离不开概率论与数量
统计；电子技术的发展，影视文化的进步，人口普查及教育等
同概率论与数理统计
也是密不可分的。例如，天气预报的制作中就有一种统计预报法，它
是在大气动力
学、热力学、气候学和预报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方
法，再
利用电子计算机，根据历史资料制作概率天气预报。它所提供的不是某种天气现象
的“有”或“无”，某种气象要素值“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性
有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给
出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。
根据概率论中用投针试验估计
π
值思想产生的蒙
特卡罗方法
（这是一种建立在
概率论与数理统计基础上的计算方
法）
，
借助电子计算机这一工具，
使这
种方法在核
物理、表明物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作
用。
概率论理论严谨，应用广泛，这一数学分支正日益受到人
们的重视，以后将会
随着科学技术的发展而得到发展。
五、
概率论的历史评价
到
17
世纪时
,
不少学者已对赌博中的某些问题进行了讨论
,
并挖掘了其中的数
学原理。但对当时的大多数学家来说
,
概率论是庸俗的赌博游戏
,
难登大
雅之堂。是
社会的
发展
及其需要
,
才推动了概率论的发展。如果没有社会的需要
,
概率论至今恐
怕仍然只能在牌桌上显示神通。我觉得“概率
论产生于赌博”这个观点是不完全对
的，“赌博问题”和“理性思考”是概率论产生的两
个必要条件
,
而后者更重要。
与其它数学分支的形成与发展一样，概率论的形成与发展推动了新的数学思想
< br>和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法又极大
地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作指导，概率论才得以发展成为一门严
格的演
绎科学。四百年以前“赌注下在多少点最有利？”的问题，现在看起来实在
简单不过了，
但在当时，由于基本思想与方法的局限性，虽然有许多人为此进行不
懈地探索，却很难有
大的突破。因此，从某种意义上说，概率论的形成与发展实质
也是新的数学思想和方法的
形成与发展的历史。
了解概率论的历史有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉
普拉斯所说：“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学
科之
一，这无疑是令人惊讶的事情。”
概率论发展简史
一、历史背景：
17
、<
/p>
18
世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎
框架，
向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后
都发展成完整的数学分支。
除了分析学这一大系统之外，
概率论就是这一时期
使欧
几里得几何相形见绌
的若干重大成就之一。
二、概率论的起源：
概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。
它起源于对赌博问题的研究。早在
16
世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等
人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险
业等
有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很
快被人淡忘
了。
概
率概念的要旨只是在
17
世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨
论中才比
较明确。他们在往来的信函中讨论
合理分配赌注问题
。该问题可以简化为：
< br>
甲、乙两人同掷一枚硬币
。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙
得一点，
先积满
3
点者赢取全部赌注。
假定在甲得
2
点、
乙得
1
点时，
赌局由于某种原
因中止了，问应该怎
样分配赌注才算公平合理。
帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以
这两种情况平均一下，
乙胜，甲、乙平分赌注
甲应得赌金的
3/4
，乙得赌金的
1/4
。
费马：结束赌局至多还要
2
局，结果为四种等可能情况：
情
况
胜
者
甲
１
甲
乙
２
甲
３
乙甲
４
乙乙
前
3<
/p>
种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的
3/4
，乙得赌金的
1/4
。
帕斯卡
与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有
明确定义概念，但是，
他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有
可能情况数的比，这实际上就
是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开
始的。
三、概率论在实践中曲折发展：
在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量
等重要概念
以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计
、保
险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进<
/p>
了概率论的发展，从
17
世纪到
19
世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、
切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时
间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得
大量
成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概
率定义的局
限性很快便暴露了出来，
甚至无法适用于一般的随机现象。
因此
可以说，
到
20
世纪初，概率论的一些
基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为
一个数学分支，缺乏严格的理论基
础。
四、概率论理论基础的建立：
谈及概率论的产生，我们必须得提
及瑞士数学家族——贝努利家族的几位
成员，特别是雅可布
?<
/p>
贝努利（
Jacob
Bernoull
i,1654-1705
）
，概率论的第一本专著
是
1713
年问世的雅各〃贝努利的
《推测术》
。
经过二十多年的艰难研究，
贝努利在该
书中，表述并证明了著名的
大数定律
。所谓
大数定律
，简单地说就是，当实验
次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在
单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更
广泛
应用领域的桥梁。
因此，
贝努利被称为概率论的奠基人。
遗憾的是，
在雅可布
?
贝努利逝世八年后的
1713
年，他的研究大作《猜度术》才
正式出版。
之后，法国数学家数学家棣莫弗
(Abraham?De
Moivre,1667-1754)
把概率论又作
了巨大推进，
他在
1718
年
发表的
《机遇原理》
一书中提出了概率乘法法则，
以及“正
态分布”和“正态分布律”的概念，
为概率
论的“中心极限定理”建立奠定了基础。
值得一提的是，
棣莫弗
还于
1730
年出版的概率著作
《分析
杂录》
中使用了概率积分，
得出了
n<
/p>
阶乘的级数表达式。他还于
1725
年出
版专门论著，把概率论首次应用于保
险事业上。
1760
年，法国数学家蒲丰（
Comte de
Buffon
，
1707-1788
）
的《偶然性的算术
试验》出版，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究。著名
的投针实验
便是他于
1777
年提出的
，
利用这一实验，
他采取概率的方法尝试求求圆周率
π
的近
似值。
19
世纪，法国数学家拉普拉斯（
Simon
Laplace ,1749-1827
）
、德国数学家高
斯
（
Gauss,1777-1855
）
、
法国数学家泊松
(n,1781-1840)
等为概率论建方
完整的体系和更
为广泛的应用做了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密
的、
< br>系统的科学概率论的最卓越的创建者，
在
1812
年出版的
《概率的分析理论》
中，
拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析
< br>方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。拉普拉斯有
一句名言，现在不少论及概率论在中小学数学教学中的意义的论文都引有这句话，
这句话
是：“生活中最重要的问题，其中大多数只是概率问题”。
概
率论自问世之后，即充分显示了它巨大的应用价值。当时，牛痘在欧洲大规
模接种后，<
/p>
曾因副作用引起争议。
丹尼尔〃贝努里
（
Daniel
Bernoulli
，
1700
—
1782
< br>）
根据大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一
些
人的恐惧和怀疑；欧拉（
Euler
，
1707-1783
）将概率论应用于人口统计和保险，写<
/p>
出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》
，
< br>《关于孤儿保险》等文章；泊松将概
率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打
靶概率研究报告》等等。也正因为概
率论有其巨大的应用价值，使得它成为
18
和
19
两个世纪的热门
学科之一，几乎所有
的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题。
但是，事物都
是具有两面性的，
因为过于强调概率论的应用价值
，
也在一定程度上形成了“滥用”
的现象，以至到
19
世纪末，人们不得不重新对概率论进行审视，客观上促进了人们
积极地寻求概率论的逻辑基础。
为概率论确定
严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。
1933
年，他发表
了著
名的
《概率论的基本概念》
，
用公理化结构，
这个结构明确定义了概率论发展史上的
一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
五、概率论的应用：
发展到今天，概
率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会
科学，工程技术，军事科学
及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。
例如，天气预报的制作就有一种统
计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学
和预报员时间经验的基础上，应用概率论
和数理统计方法，利用电子计算机，根据
历史资料制作天气预报。用这种方法制作的天气
预报称为概率天气预报，即用概率
值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种
天气现象的
有
或
无
，某
种气象要素值
大
<
/p>
或
小
，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，
传统的天气预报一
般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，
百分数越大，出现降水的
可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性的一
面，又反映了天气变化的不确定
性和不确定程度。在许多情况下，这种预报形式更
能适应经济活动和军事活动中决策的需
要。这种预报法预报量的概率值。
与其它数学分支的形成与发
展一样，概率论的形成与发展推动了新的数学思想
和方法形成，如随机思想、假设检验思
想等等。同时，新的数学思想与方法又极大
地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作
指导，概率论才得以发展成为一门严
格的演绎科学。四百年以前“赌注下在多少点最有利
？”的问题，现在看起来实在
简单不过了，但在当时，由于基本思想与方法的局限性，虽
然有许多人为此进行不
懈地探索，却很难有大的突破。因此，从某种意义上说，概率论的
形成与发展实质
也是新的数学思想和方法的形成与发展的历史。
正如我国在近现代科学的发展中地位不高一样，
概率论没能在我
国产生与发展。
概率论传入我国的历史也不长，在上个世纪初才传入我国。
1905
年京师大学堂的数
学教科学《普通代数学》
中有概率问题的讨论。上个世纪
30
、
40
年代在我国产生广
泛影响的《范氏大代数》一书中有不少对
古典概率的讨论。
50
年代，我国的数学教
育以学习前苏联为主，概率论被从中小学数学教学中“驱逐出境”，到了
60
年代，
我国曾把作为大学内容的概率初步知识下放到中小学教材，由于
是将大学数学下放
到中小学，终因其理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知
水平之间存
在过大差距而“水土不服”，以至没能在中小学站住脚。虽然在
80
年代，教育界曾
关注过概率统计在中小学的教学
，但由于当时的概率只是高中的选学内容，高考不
考，教师不教，学生不学，概率教学难
免形同虚设。直到最近几年，教育界才真正
关注并重视了概率论的教育价值，以前所未有
的地位将它写入《数学课程标准》
。
为了使
大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个概率论在社
会调查中应用的例子。
对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法可
以得到较准确的结论。举个例
子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业
完成后愿意回国者所占的比例。对于
完成学业后，你是否会回国
这一问题，很多
人不希望透露自己的真实想法。为了得到正确的结论，我们
将问题稍加调整，将
完成学业后，你是否会回国
定位问题
a
，另设问题
b
：
你的年龄是奇数
。将
a
、
b
组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题
< br>a
或
b
，并且在问卷上不标示被
调
查者回答的是问题
a
还是问题
b
。解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的想法。
< br>然后，运用概率论方法，我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者比例。
假定有
300
人接受调查，
结果有
130
个
是
。
因为被调查者回答问题
a
、
b
的概率各是
50%
，所以将各有约
150
人回答
a
或
b
问题。又被调查者年龄是奇数的概率各是
50%
，
所以
150
个回答
b
问题的人中，
约有
75
个
是
。
那么
130
个
是
的答案中，
约有
55
个
是
是问题
a
的答案，
于是我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约
55/150
即
11/30
。
现在，概率论已发展成为一门与实
际紧密相连的理论严谨的数学科学。它
内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由
自己独特的概念和方法，已经成
为了近代数学一个有特色的分支。概率论和数理统计是一
门随机数学分支，它们是
密切联系的同类
17
、
18
世纪，
数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向
自然界和社会生活的多方
面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都
发展成完整的数学分支。
除了分析学这一大系统之外，
概率论就是这一时期
使欧几
里得几何相形见绌
的若干重大成就之一。
关键词：
概率论
、起源
、分支
概率论发展史
一、历史背景
17
、
18
世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向
< br>自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都
发展成完整的数学分支。
除了分析学这一大系统之外，
概率论就
是这一时期
使欧几
里得几何相形见绌<
/p>
的若干重大成就之一。
二、概率论的起源：
概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。
概
率
论
起
源
于
博
弈
问
题
。
15-16
世
纪
，
意
大
利
数
学
家
帕
乔
< br>利
(i,1445-1517)
、
塔
塔
利
亚
(
lia,1499-1557)
和
卡
尔
丹
(o,1501-1576)
的著作
中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。
1657
年，荷
兰数学家惠更斯
(s,1629-1695)
发表了《论赌博中
的计算》
，这是最
早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现
的第一批概率论概念与定理，标志着
概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，
真正的奠基人是雅格布
•
伯努
利
(Jacob
Bernoulli,1654-1705)
。他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努
利定理”著称的极限定
理，在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，法国数学家棣莫弗
( Moivre,1667-
1754)
把概率论又作了巨大推
进，他提出了概率乘法法则，
正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一
些重要结果。
之后法国数学家蒲丰
(
Buffon,1707-1788
)
提出了著名的“普丰问
题”，引进了几何概率。另外，拉普拉
斯、高斯和泊松
(n,1781-1840)
等对概率论做出了
进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学
概率论的最卓越的创建者
，在
1812
年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强<
/p>
有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，
使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，
提出了著名的泊松分布。
19
世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对
此做出
了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—
拉普拉斯的极
限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了
20
世
纪概率论发展的进程。
19<
/p>
世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理
进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出
< br>古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻
辑基础做出更加严格的考察。
三、概率论在实践中曲折发展：
在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量
等重要概念以及
它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计
、保险理
论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了
概
率论的发展，从
17
世纪到
19
世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切
贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间
里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大
量
成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率
定义的局
限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，
到
20
世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论
作为
一个数学分支，缺乏严格的理论基础。
四、概率论理论基础的建立：
概率论的第一本专著是
1713
年问世的雅各〃贝努利的
《推测术》
。
经过二十多年
的艰难研究，
贝努利在该树种
，
表述并证明了著名的
大数定律
。
所谓
大数定律
，
简单地说就是，
当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很
小。这一定理第一次在
单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，
构成了从概率论通向更广泛应
用领域的桥梁。
因此，
贝努利被称为概率论的奠基人。
为概率论确定严
密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。
1933
年，他发表了
著
名的
《概率论的基本概念》
，
用公理化结构，
这个结构明确定义了概率论发展史上的
一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
五、概率论的应用：
20
世纪以来，由于物理学、生物学
、工程技术、农业技术和军事技术发展的推
动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深
入，应用范围大大拓宽。在最近几十
年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会
学科。目前，概率论在近代物
理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、
农业试验和公用事业等
方面都得到了重要应用。
有越来越多的概
率论方法被引入导经济、
金融和管理科学，
概率论成为它们的有
力工具。
为了使大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个
概率论在社会调
查中应用的例子。对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方
法可以得
到较准确的结论。举个例子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业完
成
后愿意回国者所占的比例。对于
完成
学业后，你是否会回国
这一问题，很多人不
希望透露自己的真实想法。
为了得到正确的结论，
我们将问
题稍加调整，
将
完成学
业后，
你是否会回国
定位问题
a
，
另设问题
b
：
你的年龄是奇数
< br>
。
将
a
、
b
组成一
组问题，让被调查者抛硬币
决定回答问题
a
或
b
< br>，并且在问卷上不标示被调查者回
答的是问题
a
还是问题
b
。解除了顾虑后，被调查者都会给出
真实的想法。然后，
运用概率论方法，我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者
比例。假定有
300
人接受调查，结果有
130
个
是
。因为被调查者回答问题
a
、
b
的概率各是
50%
，
所以将各有约
150
人回答
a
或
b
问题。又被调查者
年龄是奇数的概率各是
50%
，所以
1
50
个回答
b
问题的人中，约有
75
个
是
。那么
130
个
是
的答案中，约有
55
个
是
是问题
a
的答案，于是
我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约
55/150
即
11/30
。
六、概率论的公理化
俄国数学家伯恩
斯坦和奥地利数学家冯
•
米西斯
( M
ises,1883-1953)
对概率
论的严格化做了最早的
尝试。但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格
的公理化概率论只有在测度论
和实变函数理论的基础才可能建立。
测度论的奠基人，
法国数学
家博雷尔
(,1781-1956)
首先将测度论方法引入概率
论重要问题的
研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是
原苏联
数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在
1926
年推倒了弱大数定律成立的充分必
要条件。后又对博雷尔提出的强大
数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概
率论的中心课题之一——大数定律，成为
以测度论为基础的概率论公理化的前奏。
1933
年，
科尔莫戈罗夫出版了他的著作
《概率论基础》
，
这是概率论的一部经典性著
作。
其中，
科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，
提出了六条公理，
整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科
尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得
到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格
的演绎科学，并通过集
合论与其它数学分支密切地联系者。科尔莫戈罗夫是
20
世纪最杰出的数学家之一，
他不仅仅是公理化概
率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠
基性的贡献，
同时，
他还是出色的教育家。
由于概率论等其它许多
领域的杰出贡献，
科尔莫戈罗夫荣获
80
年的沃尔夫奖。
七、进一步的发展
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过
程的研究获得了新的起点。
1931
年，科尔
莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的
随机过程——马尔可夫过程的理论基础。
科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现
代概率论的重
要代表人物有莱维
(,1886-1971)
、辛钦、杜布
()
和伊藤清等。
1948
年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的
一般理论，并以
此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。<
/p>
1934
年，辛
钦提出平稳过程的相关理
论。
1939
年，
维尔
()
引进“鞅”的概念，
1950
年起，
杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从
1942
年开始，日
本数学家伊藤清引进了随机积
分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道
路，而且为随机分析这门数学新分支
的创立和发展奠定了基础。
像任何一门公理化的数学分支一样
，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。
概率论的产生
希罗多德在他的巨著
《历史》
中记录到，
早在公元前
< br>1500
年，
埃及人为了忘却
饥
饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前
1200
年，有了立方体
的骰子，
6
个面上
刻上数字，
和现代的赌博工具已经没有了区别。
但概率论的概念
直
到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范影响了对
赌博的研究——既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象
也就是大逆不道。
第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利医生、数学家卡当。据
说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和
< br>作为赌的内容．已知骰子的六个面上分别为
1
～
6
点，那么，赌注下在多少点上最有
利？
2
3
4
3
4
5
4
5
6
5
6
7
6
7
8
7
8
9
5
6
7
6
7
8
7
8
9
8
9
10
9
10
11
10
11
12
两个骰子朝上的面共有
36
种可能，点数之和分别可为
2
～
12
共
11
种．从图中可知，
7
是最容易出现的和数，它出现的
概率是
．
卡当曾预言说押
7
最好．
现在看来这个想法是
很简单的，可是在卡当的时代，应该说是很杰出的思想方
法．他在一生中超过
40
年的时间里，几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑
去观察、去思考。最终，在一本名叫《机会性游戏手册》的书中，他公布了调查和
< br>思考的结果和关于赌博实践的体会。这本书写于
1526
年左右，但一直到一百多年后
的
1663
年才出版。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个特殊结果
的概率是所
有达到这个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所
除。
在那个时代，虽然概
率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论．十七
世纪中叶，法国贵族德〃梅勒在
一次和赌友掷骰子中，各押赌注
32
个金币．双方约
定，梅勒如果先掷出三次
6
点，或者赌友先掷三次
4
点，就赢了对方．赌博进行了一
段时
间，梅勒已经两次掷出
6
点，赌友已经一次掷出
4
点，这时候梅勒接到通知，要
他马上陪同国王接见外
宾，赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这
64
个金币<
/p>
才算合理呢？
赌友说，
他要再碰上两次
4
点，
或梅勒要再碰上
一次
6
点就算赢，
所以他有权分
得梅勒的一半，即梅勒分
64
个金币的
，自己分
64
个金
币的
．梅勒争辩说，不
对，即使下一
次赌友掷出了
4
点，他还可以得到
<
/p>
，即
32
个金币；再加上下一次他
还有一半希望得到
16
个金币，
所以他应该分得
64
个金币的
，
赌友只能分得
64
个金
币的
．两人到底谁说得对呢？
于是就写信向当时法国的最具权威的数学家帕斯卡请教，正是
这封信使概率论
向前迈出了第一步．
帕斯卡是
< br>17
世纪有名的“神童”数学家．
可是，
梅勒提出的“分
赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了两三年，到
1654
年才算有了点眉目，
于是写信给他的
好友费马，
两人讨论结果，
取得了一致的意见：
梅勒的分法是对的，
他应得
64
个金币的
，赌友应得
64
金币的
．这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴<
/p>
黎听到这件新闻；
也参加了他们的讨论．
讨论结果，
惠更斯把它写成一本书叫做
《论
赌博中的计算》
（
1657
年）<
/p>
，这就是概率论最早的一部著作．于是，一个崭新的数学
分支——
概率论登上了历史舞台．
概率论现在已经成了数学的一个重要分支，最初它只是对于带机遇性游戏的分
< br>析，而现在已经是一门庞大的数学理论，它在社会学、生物学、物理学和化学等许
多领域发挥着十分重要的作用．
概率论与数理统计发展简史
17
世纪，
正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，
一个研究偶然事
< br>件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论．
早在
16
世
纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺
(Cardano)
首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定
的
规律性
,
卡丹诺为此还写了一本
《论
赌博》
的小册子，
书中计算了掷两颗骰子
或三颗骰子时，
在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．
据说，
曾与卡丹
诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚
，也曾做过类似的实验．
促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，
随着航海事业的发展，
意大利开始出现海上保险业务．
16
世纪末，
在欧洲不少国
家已把保险业务
扩大到其它工商业上，
保险的对象都是偶然性事件．
为了保证保
险公司赢利，
又使参加保险的人愿意参加保险，
就需要根据对大量偶然现象规律
性的分析，
去创立保险
的一般理论．
于是，
一种专门适用于分析偶然现象的数学
工具也就成为十分必要了．
不过，
作为数学科学之一的概率论，
其基础并不是在上述实际问题的材料上
形成的．
因为这些问题的大量随机现象，
常被许多错综复杂的因素所干扰，
它使
难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规
律性，
这种材料就是所谓的“随机博弈”．
在近代概率论创立之
前，
人们正是通过对这
种随机博弈现象的分析
< br>,
注意到了它的一些特性
,
比
如“多次实验中的频率稳定
性”等，然后经加工提炼而形成了概率论
.
荷兰数学家、物理学家惠
更斯（
Huygens
）于
1657<
/p>
年发表了关于概率论的早
期著作
《论赌博
中的计算》
．
在此期间，
法国的费尔马
（
Fermat
）
与帕斯卡
（
Pascal
）
也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．
惠更
斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，
找出
了它们的基本性质和演算
方法，从而塑造了概率论的雏形．
18
世纪
是概率论的正式形成和发展时期．
1713
年，贝努
利
（
Bernoulli
）的
名著
《推想的艺术》
发表．
在这部著作中，
贝努利明确指出了概率论最重要的定
< br>律之一
――
“大数定律”，
并且
给出了证明，
这使以往建立在经验之上的频率稳
定性推测理论化
了，
从此概率论从对特殊问题的求解，
发展到了一般的理论概括
．
继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（
Abraham de M
oiver
）于
1781
年发表了
《机遇原理》
．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态
分布律”的
概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础．
1706
< br>年法国数学家蒲丰（
Comte
de
Buffon
）的《偶然性的算术试验》完成，
他把概
率和几何结合起来，
开始了几何概率的研究，
他提出的“蒲丰问
题”就是
采取概率的方法来求圆周率
π
的尝试．
通过贝努利和棣谟佛的努力，
使数学方法有效地应用于概率研究之中，
这就
把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，
使概率论一开始就成为数学的
一个分支．
概率论问世不久，
就在应用方面发挥了重要的作用．
牛痘在欧洲大规模接种
之后，
曾因
副作
用引起
争议
．这
时贝
努利
的侄子
丹尼
尔〃
贝努<
/p>
利（
Daniel
Bernoulli
）根据大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结
论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（
Euler
）将概
率论应用于人口统计和保
险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》
，
《关于孤儿保险》等文章；
泊松（
Poisson
）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率
研
究报告》
．总之，概率论在
18
世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践意义．
19
世纪
概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展．
其中为之
作出较大贡献的有：
法国数学家拉普拉斯
（
Laplace
）
，
德国数学
家高斯
（
Gauss
）
，
英国物理学家、
数学家麦克斯韦
（
Maxwell
）
，
美国数学家、
物理学家吉布斯
（
< br>Gibbs
）
等．
概率论的广泛
应用，
使它于
18
和
< br>19
两个世纪成为热门学科，
几乎所有的科学
领域，
包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题，
这在一定程度上造
成了“滥用”的情况，
因此到
19
世纪后半期时，
人们不得不重新对概率
进行检查，
为它奠定牢固的逻辑基础，使它成为一门强有力的学科．
1917
< br>年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系．
1933
< br>年柯尔莫哥
洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，
从此，
更现代意义上的完整的
概率论臻于完成．
相对于其它许多数
学分支而言，
数理统计是一个比较年轻的数学分支．
多数
人认为它的形成是在
20
世纪
40
年代克拉美
（
）
的著作
《统计学的数学方
法》
问世之时，
它使得
1945
年以前的
25
年间英、
美统计学家在统计学方面的工作
与法、
俄数学家在概率论方
面的工作结合起来，
从而形成数理统计这门学科．
它
是以对随机现象观测所取得的资料为出发点，
以概率论为基础来研究随机现
象的
一门学科，
它有很多分支，
但其基
本内容为采集样本和统计推断两大部分．
发展
到今天的现代数理
统计学，又经历了各种历史变迁．
统计的早期开端大约是在公元前１世纪初的人口普查计算中，
这
是统计性质
的工作，
但还不能算作是现代意义下的统计学．
到了
18
世纪，
统
计才开始向一门
独立的学科发展，
用于描述表征一个状态的条件
的一些特征，
这是由于受到概率
论的影响．
高斯从描述天文观测的误差
而引进正态分布，
并使用最小二乘法作为估计方
法，是近代数理
统计学发展初期的重大事件，
18
世纪到
19
世纪初期的这些贡献，
对社会发展有很大的影响．
例如，
用正态分布描述观测数据后来被广泛地用到生
< br>物学中，
其应用是如此普遍，
以至在
19
世纪相当长的时期内，
包括高尔顿
（
Galton
）
在内的一些学者
，认为这个分布可用于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，
有关正态分布的统计方法
，
仍占据着常用统计方法中很重要的一部分．
最小二乘
法方面的工作，
在
20
世纪初以来，
又经过了一些学者的发展，
如今成了数理统计
学中的主要方法．
从高斯到
20
世纪初这一段时间，
统计学理论发展不快，
但仍有若干工作对
后
世产生了很大的影响．其中，如贝叶斯（
Bayes
）在
1763
年发表的《论有关机遇
问题的求解》
，提出了进行统计推断的方法论方面的一种见解，在这个时期
中逐
步发展成统计学中的贝叶斯学派（如今，这个学派的影响愈来愈大）
．现在我们
所理解的统计推断程序，
最早的是贝叶斯方
法，
高斯和拉普拉斯应用贝叶斯定理
讨论了参数的估计法，
那时使用的符号和术语，
至今仍然沿用．
再
如前面提到的
高尔顿在回归方面的先驱性工作，
也是这个时期中
的主要发展，
他在遗传研究中
为了弄清父子两辈特征的相关关系
，
揭示了统计方法在生物学研究中的应用，
他
< br>引进回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析．
数理统计学发展史上极重要的一个时期是从
< br>19
世纪到二次大战结束．现在，
多数人倾向于把现代数
理统计学的起点和达到成熟定为这个时期的始末．
这确是
数理统
计学蓬勃发展的一个时期，
许多重要的基本观点、
方法，
统计学中主要的
分支学科，
都是在这个时期建
立和发展起来的．
以费歇尔（
）
和皮尔
逊（
n
）为首
的英国统计学派，在这个时期起了主导作用，特别是费歇
尔．
继高尔顿之后，
< br>皮尔逊进一步发展了回归与相关的理论，
成功地创建了生物
统计学，
并得到了“总体”的概念，
1891
年之后，
皮尔逊潜心研究区分物种时用
的数据的分布理
论，提出了“概率”和“相关”的概念．接着，又提出标准差、
正态曲线、
平均变差、
均方根误差等一系列数理统计基本术语．
皮尔逊致力于大
样本理论的研究，
他发现不少生物方面的数据有
显著的偏态，
不适合用正态分布
去刻画，
为此他提出了后来以他的名字命名的分布族，
为估计这个分布族中的参
数，
他提出了“矩法”．
为考察实际数据与这族分布的
拟合分布优劣问题，
他引
进了著名“χ２检验法”，
并在理论上研究了其性质．
这个检验法是假设检验最
早、
最典型的方法，
他在理论分布完全给定的情况下求出了检
验统计量的极限分
布．
1901
年，他
创办了《生物统计学》
，使数理统计有了自己的阵地，这是２０
世纪初叶数学的重大收获之一．
1908
年皮尔逊的学生戈赛特
（
Gosset
）
发现了
Z
的精确分布，
创始了“精确
样本
理论”．他署名“Student”在《生物统计学》上发表文章，改进了皮尔逊
的方法
．他的发现不仅不再依靠近似计算，而且能用所谓小样本进行统计推断，
并使统计学的对
象由集团现象转变为随机现象．
现“Student
分布”已成
为数理
统计学中的常用工具，“Student
氏”也是一个常
见的术语．
英国实验遗传学家兼统计学家费歇尔，
是将数理统计作为一门数学学科的奠
基者，
他开创的试验设计法，
凭借随机化的手段
成功地把概率模型带进了实验领
域，
并建立了方差分析法来分析
这种模型．
费歇尔的试验设计，
既把实践带入理
论的视野内，
又促进了实践的进展，
从而大量地节省了
人力、
物力，
试验设计这
个主题，
后来为众多数学家所发展．
费歇尔还引进了显著性检验的概念，
成为假
设检验理论的先驱．
他考察了估计的
精度与样本所具有的信息之间的关系而得到
信息量概念，
他对测
量数据中的信息，
压缩数据而不损失信息，
以及对一个模型
的参数估计等贡献了完善的理论概念，
他把一致性、
有效性和充分性作为参数估
计量应具备的基本性质．
同
时还在
1912
年提出了极大似然法，
这是应用上最广的
一种估计法．他在２０年代的工作，奠定了参数估计的理论基础．关于
χ２检
验，费歇尔
1924
年解决了理论分布包含有限个参数情况，基于此方法的列表检
验，在应用
上有重要意义．费歇尔在一般的统计思想方面也作出过重要的贡献，
他提出的“信任推断
法”，
在统计学界引起了相当大的兴趣和争论，
费歇尔给出
了许多现代统计学的基础概念，
思考方法十分直观，
他造就了一个学派，
在纯粹
数学和应用数学方面都建树
卓越．
这个时期作出重要贡献的统计学家中，
还应提到奈曼
（
）
和皮尔逊
（
n
）
．
他们在从
1928
年开始的一系列重要工作中，
发展了
假设检验的系
列理论．
奈曼－皮尔逊假设检验理论提出和精确化
了一些重要概念．
该理论对后
世也产生了巨大影响，
它是现今统计教科书中不可缺少的一个组成部分，
奈曼还
< br>创立了系统的臵信区间估计理论，
早在奈曼工作之前，
区
间估计就已是一种常用
形式，
奈曼从
1
934
年开始的一系列工作，
把区间估计理论臵于柯尔莫哥洛夫
概率
论公理体系的基础之上，
因而奠定了严格的理论基础，
而且他还把求区间估计的
问题表达为一种数学上的最优解问题，这个
理论与奈曼－皮尔逊假设检验理论，
对于数理统计形成为一门严格的数学分支起了重大作
用．
以
费歇尔为代表人物的英国成为数理统计研究的中心时，
美国在二战中发展
亦快，有三个统计研究组在投弹问题上进行了
9
项研究
，其中最有成效的哥伦比
亚大学研究小组在理论和实践上都有重大建树，
而最为著名的是首先系统地研究
了“序贯分析”，
它被
称为“30年代最有威力”的统计思想．
“序贯分析”系统
理论
的创始人是著名统计学家沃德
（
Wald
）
．
他是原籍罗马尼亚的英国统计学家，
他于
1934
年系统发展了早在
2
0
年代就受到注意的序贯分析法．
沃德在统计方法中
引进的“停止规则”的数学描述，
是序贯分析的概念基础，
并已证明是现代概率
论与数理统计学中最富于成果的概念之一．
从二战后到现在，
是统计学发展的第三个时期，
这是一个在前一段发展的基
础上，
随着生产和科技的普遍进步，
而使这个学科
得到飞速发展的一个时期，
同
时，也出现了不少有待解决的大问
题．这一时期的发展可总结如下：
一是在应用上愈来愈广泛，
统计学的发展一开始就是应实际的要
求，
并与实
际密切结合的．在二战前，已在生物、农业、医学、
社会、经济等方面有不少应
用，
在工业和科技方面也有一些应用
，
而后一方面在战后得到了特别引人注目的
进展．
例如，
归纳“统计质量管理”名目下的众多的统计方法，
在大规模工业生
产中的应用得到了很大的成功，
目前已被认
为是不可缺少的．
统计学应用的广泛
性，
也可以从下述情况得到印证：
统计学已成为高等学校中许多专业必修的内容；
统计学专业的毕业生的人数，
以及从事统计学的应用、
< br>教学和研究工作的人数的
大幅度的增长；有关统计学的著作和期刊杂志的数量的显
著增长．
二是统计学理论也取得重大进展．
理论上的成就，
综合起来大
致有两个主要
方面：一个方面与沃德提出的“统计决策理论”，另一方面就是大样本理论
．
沃德
是
20
世
纪对
统计学
面貌的
改观有
< br>重大影
响的
少数几
个统计
学家之
一．
1950
年，他发表了题为《统计决策函数》的著作，正式提出了“统计决策理
论”．
沃德本来的想法，
是要把统计学的各分支都统一在“人与大自然的博奕”<
/p>
这个模式下，
以便作出统一处理．
不过，
往后的发展表明，
他最初的设想并未取
得很大的成功，
但却有着两方面的重要影响：
一是沃德把统计推
断的后果与经济
上的得失联系起来，
这使统计方法更直接用到经
济性决策的领域；
二是沃德理论
中所引进的许多概念和问题的新
提法，丰富了以往的统计理论．
贝叶斯统计学派的基本思想，
源出于英国学者贝叶斯的一项工作
，
发表于他
去世后的
1763
年后世的学者把它发展为一整套关于统计推断的系统理论．
信奉这
种理论的统计学者，
就组成了贝叶斯学派．
这
个理论在两个方面与传统理论
（即
基于概率的频率解释的那个理
论）有根本的区别：一是否定概率的频率的解释，
这涉及到与此有关的大量统计概念，<
/p>
而提倡给概率以“主观上的相信程度”这样
的解释；
二是“先验分布”的使用，
先验分布被理解为在抽样前对推断对象的知
识的概括．
按照贝叶斯学派的观点，
样本的作
用在于且仅在于对先验分布作修改，
而过渡到“后验分布”
――
其中综合了先验分布中的信息与样本中包含的信
息．
近几十年来其信奉者愈来愈多，
二者之间的争论，
是战后时期统计学的一个
重要特点．
在这种争论中，
提出了不少问题促使人们进行研究，
其中有的是很根
本性的．
贝叶斯学派与沃德统计决策理论的联系在于：
这二者
的结合，
产生“贝
叶斯决策理论”，它构成了统计决策理论在实
际应用上的主要内容．
三是电子计算机的应用对统计学的影响．
这主要在以下几个方面．
首先，
一
些需要大量计算的统计方法，
过去因计算工具不行而无法使用，
有了计算机，
这
一切都不成问题．
在战后，
统计学
应用愈来愈广泛，
这在相当程度上要归公功于
计算机，特别是对
高维数据的情况．
计算机的使用对统计学另一方面的影响是：
按传统数理统计学理论，
一个统
计方法效果如何，
甚至一个统计方法如何
付诸实施，
都有赖于决定某些统计量的
分布，而这常常是极困难
的．有了计算机，就提供了一个新的途径：模拟．为了
把一个统计方法与其它方法比较，
可以选择若干组在应用上有代表性的条件，
在
< br>这些条件下，
通过模拟去比较两个方法的性能如何，
然后
作出综合分析，
这避开
了理论上难以解决的难题，有极大的实用
意义．
随机过程的发展
随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第
n
< br>年的年降水量
xn
由
于受许多随
机因素的影响
,
它本身具有随机性
,<
/p>
因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机
过程。
类似地，
森林中某种动物的头数，
液体中受分子碰撞
而作布朗运动的粒子
位臵，
百货公司每天的顾客数，
等等，
都随时间变化而形成随机过程。
严格说来，
现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。
气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位
臵与速度
,
其运动
的过程是随机的。<
/p>
人们希望知道，
运动的轨道有什么性质
(
是否连续、
可微等等
)
？
分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，
由于扩
散而互相渗透，
那么扩散是如何进行
的
,
要经过多久其混合才会变得均匀？又如
,
在一定时间内，
放射性物质中有多少原子会分裂或转化？
电话交换台将收到多少
次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的
数学抽象为
随机过程论提供了研究的课题。
一些特殊的随机过程早已引起注意，
例如
1907
年前后，
Α.Α.马尔
可夫研究过
一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）<
/p>
；又
如
1923
年
N.
维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗
运动为维
纳过程）
，这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如
此，随机过程一般理论的
研究通常认为开始于
30
年代。
1931
年，
Α.Η
.柯尔莫哥洛夫发表了
《概率论的解
析方法》
< br>；
三年后，
Α.Я.辛钦发表了
《平稳过程的相关理论》
。
这两篇重要论文
为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。
稍后，
P.<
/p>
莱维出版了关于布朗运动
与可加过程的两本书，
< br>其中蕴含着丰富的概率思想。
1953
年，
J.L.
杜布的名著
《随
机
过程论》
问世，
它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。<
/p>
1951
年伊藤清建
立了关于布朗运动的
随机微分方程的理论
(
见随机积分
)<
/p>
，
为研究马尔可夫过程开
辟了新的道路；
近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；
而流形上的随机微分方程
的理论，
正方兴未艾。
60
年代，
法国学派基于马尔可夫
过程和位势理论中的一些思想与结果，
在相当大的程度上发展了随机过程的一般
理论，
包括截口定理与过程的投影理论等，
中国学者在平稳过程、
马
尔可夫过程、
鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。
研究随机过程的方法是多样的，
主要可分为两大类：
一是概率方法，
其中用到
轨道性质、
停时、
随机微分方程等；
另一是分析方法，
工具是测度论、
微分方程、<
/p>
半群理论、
函数论、
希尔伯特空间等。<
/p>
但许多重要结果往往是由两者并用而取得
的。此外，组合方法、代
数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。
研究的主要课题有：
多指标随机过程、
流形上的随机过程与随机微分方程以及它
< br>们与微分几何的关系、
无穷质点马尔可夫过程、
概率与位
势、
各种特殊过程的专
题讨论等。
随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，
来源于其他数学分支如位势
论、
微分方程、
力学、
复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，
而更
重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所
提出的要
求。
目前随机过程论已得到广泛的应用，
特别是对统计物理、
放射性问题、
原子
反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、
信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。
随机过程的定义
设
(Ω,F,p)为概率空间（见概
率）
，
T
为指标
t
的集合（通
常视
t
为时间）
,
如果对每个
t∈T
,有定义在
Ω
上的实随机变量
x(t)
与之对应，
就称随机变量族
x
＝
{x(
t),t∈T}为一随机过程（简称过
程）
。研究得最多的是
T
为实数集<
/p>
R
＝
(-
≦，≦
)的子集的情形；如果
T
为整数
n
的集
,
也称
{xn
}
为随机序
列。如果
T
是
d
维欧几里得空间
Rd
（
d
为大于
1
的正整数）的子集，则称
x
为多
指标随机过程。
过
程
x
实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω
∈Ω)的函数，当
t
固定时，它是一
个随机变量；当
ω
固定时
,<
/p>
它是
t
的函数
,
称此函数为随机过程（对应于
ω）的
轨
道或样本函数。
如不限于实值情
况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化
:
设(E,ε
)
为可测空间
（即
E
< br>为任意非空集,ε
为
E
的某些子
集组成的
σ
域）
,
称
x=(x(ω),
ω∈Ω)为取值于
< br>E
的随机元
,
如果对任一
B∈ε,{ω:x(ω)∈B}∈F。
特别
,
如果
为
Rd
中
全体波莱尔集所成的
σ
域（称波莱尔域）
,
则取值于
Rd
中的随机元即
d
维随机向量。
如果其中
RT
为全体实值函数
ƒ
=(
ƒ
(t),t∈T)的集
,
< br>而为包含一切
RT
中有限维柱集的最小
< br>σ
域，
则取值于
E
的随机元
x
即为上述的
(
实值
)
随机过
程。如对每个
t∈T，有取值于
E
的
随机元
x(t)
与之对应，则称{x(t),t∈T}为
取值于
E
的随机过程。
以下如无特别声明，只讨论取值于
(R
1,B1)
的随机过程。
有穷维分布族
一维分布函数描述了
随机变量取值的概率规律
（见概率分布）
,
对随机过程
x={x(t),t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：<
/p>
对任意
n
个
t
j∈T,i＝
1
，2,…,n,考虑的联合分布函数，
,
全体联合分布称为
x
的有穷维
分布族
,
它显然满足下列相
容性条件：
① 对(1,2,…
，
n)
的任一排列(λ1,λ2,…,λn)，
；
② 若
m
，则。反之
,
有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给
T
及一族分布函数
如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定
义于其上的随机过程
x
，而
且
x
的有穷维分布族重合于
F
。
从测度论的观点看，每一
随机过程
x={x(t),t∈T}在
(RT,BT)
上产生一概率测
度
PX
，称为
x
的分布
,
< br>它在上述柱集上的值就是
正态过程
有穷维分布都是正态分布
的随机过程
,
又称高斯过程。就象一维正
态分布被它的均值
（见数学期望）
和方差所确定一样
,
正态过程{x(t),t∈T}被它
的均值函
数
m(t)=Ex(t)
和协方差函数
λ(s,t)=Ex(s)x(t)
-m(s)m(t)
所确定，其中
λ(s，
t)
是对称非负定函数，即
λ(s，t)=λ(t,s)，
而且对任意
的
tj∈T
及实数
αj，1≤i≤n，有反之
,
对任给的有限实值函数
m(t)
和对称非
负定函数
λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证
,
存在一个正态过程，
以
m(t)
为其均
值函数，以
λ(s,t)为其协方差函
数。
根据中心极限定理，许多实
际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。
此外，
正态过
程有一系列的好性质
,
如它的最佳线性估计重合于条件期望
,
这一点
在应用上是很方便的，
既准确又便于计算。
因此正态过程在实际中有广泛的应用，
在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计
,
设<
/p>
m(t)
呏
0
。
任取
tj,t∈T,用
L(x(t1),x(t2), …,x
(t
n))
表示由
x(t1),x(t
2),…,x(tn)的线性组合所构成的
希尔伯特空间，
x(
t)
在此空间上的投影记作
称为
x(t)
关于
x
(t1)
，
x(t2),…，
x(tn
)
的最佳线性估计
,
即线性最小均方误
差估
计
;
条件期望
E(x(t)|x(t1),x(t2),…，
x(tn))
则是非线性的最小均方误差估计。
对正态过程来讲，这两种估计以概率
1
相等。
可分性
设
F
是
p-
完备的
,
即
F
包含任何概率为零的集的一切
子集。
在随机过
程的研究中,Ω
的某些
重要的子集并不能由事件（即
F
中的元素）经可列次集运
算而得到。
例如对一切若
T
< br>不可列
,
则作为不可列多个事件的交
,A
未必是一个事
件
,
也就谈不上它的概率。为了解决这类问题
,
杜布引
进了随机过程可分性的概
念。称过程
x
关于
T
的某一可列稠集
Q
可分
(
或简称可分
)
，是指除了一个概率
为零的集
N
外
,x
在每一
t∈T 处的值
,
可以用限于
Q
的
x
在
t
附近的值来任意逼
近；即任给不属于
N
的
ω，存在{rj}∈Q，使得
rj
→t,且
x(rj,ω)→x(t,ω)。
所谓
Q
为
T
的稠集，是指
T
的每一点必是
Q
中某个点列的极限。如果
x
关于
Q
可分
,
则可以证明上述的
A
是一个事件，
而且有
p(A)
＝p({ω:|x(r,ω)|≤α,
对一切
r∈Q})。如果过程
x
关于
T
的任一可列稠集都可分
,
则称
x
完全可分。
< br>
设
x={x(t)
，t∈T}与
Y={Y(t),t∈T}为定义在概率空间(Ω，
F
，
p),
上的两
个
随机过程
,
如果对任何
t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称
x
与
Y
等价
(x
与
Y
互为修正
)
；
这时，
x
和
Y
有相同的有穷维分布族。
虽然任给的过程
x
未必可分，
但杜布证明
了下列
重要结果：对任一过程
x,
必存在与它等价的可分过程
Y
。因此在讨论仅
与有穷维分布有关的性质时
，可取一可分过程
Y
来代替
x
。
过程
x
称为随机连续
,
如果
对任一
t0∈T,在依概率收敛的意义下
(
见概率论中
的收敛
)
有，对随机连
续的过程
x
，必存在一个完全可分过程
Y
与之等价。
可测性
为了研究样本函数对
t
的积分等问题
,
需
要
x(t,ω)关于两个变量
(t,ω)的可测性。设
T
是
R
中某区间，
B(T)
是
T
中全
体波莱尔集所成的
σ
域,B(T)×F
表示乘积
σ
域,μ=L×P
表示勒贝格
测度
L(
见测度论）与
p
的乘积
测度，表示
B(T
)×F
关于
μ
的完备化
σ
域。
称随机过程
x
为可测的
,
如果对任一实数
α，有：
称随机过程
x
为波莱尔可
测的，如果对任一实数
α，有。如果过程
x
随机连续，则必存在与
x
等价的、<
/p>
可测而且完全可分的过程
Y
。
有时还需要更强的可测性。
设给了
F
的一族子
σ 域
{
，
t∈T}，
其
中
T=R+=
【
0
，
≦)，满足：①单调性
,
对
s≤t，
嶅
；②右连续性，
③完备性，
F0
包含
F
的一
切概率为零的集。称
x
为
{}-
适应的，如果对任一
< br>t
，
xt
为可测；称
xt
为
{}-
循
序
可
测
的
，
如
果
对
< br>任
一
t∈T
及
实
数
α
，
有
{(s,ω):x(s,ω)≤α,
s≤t}(【
0,t
】)×。
循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，
但逆之不然，
除非样本函数
性质较好。
例如所有样本
函数都右连续的适应过程一定是循序可测。
使一切样本
函数右连
续的适应过程都可测的
T×Ω
上的最小
σ
域，
称为可选
σ
域，
关于可
选
σ
< br>域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一
种可测性
。进一步
,
使一切样本函数连续的适应过程都可测的
T ×Ω
上的最小
σ
域<
/p>
,
称为可料
σ
域
，关于可料
σ
域可测的过程称为可料过程。这又是一种比
可选可测性更强的可测性。
可以证明，
样本函
数左连续的适应过程都是可料过程。
轨道性质
当人们观察物体作随机运
动时，
最感兴趣的问题之一是它的轨道性
状，因此随机过程论中
一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，
过程的轨道
x(
t,ω),
α≤t≤b,以概率
1
有界，
或无第二类断点，
或是阶
梯函数，
或是连续函数，等等。函数
ƒ
(t)
在【α,b】上无第二类断点是指：对每一个
t0∈(α
,b)，存在左、右极限及而在
α、
b)
处，则存在单侧极限。
设过程{x(t),
t∈【α,b】
}
可分，而且存在常数
α>0，ε>0，с≥0,使得对
任意的
t∈【α,b】,t+Δt∈【α,b】
，有
,
则过程的轨道以概率
1
在【α,b】上
一致连续。
设可分过程
{x(t)
，
t∈
【
α,b】
}
随机连续，
而且存在常数<
/p>
p>0
，
q>0
，
r>0
，с≥0,使得对任意的
α≤
t1≤t2≤t3≤b，有
则过程的轨道以概率
1
无第二类断点
。正态过程的轨道性质有更好的结果
:
对均
值函数
m(t)
呏
0
的可分正态过程{x(t),t∈【α,b】
}
，<
/p>
只要存在
с≥0,α>0，
使
得
,
x
的轨道就以概率
1
连续。<
/p>
停时
这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事
,
它带来了许多新的
研究课题
,
而且扩大了理论的应用范围。早在
1945
年，
J.L.
杜布关于马尔可夫链
的文章中已经有了停
时的思想。
60
年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）
、
R.M.
布
卢门塔尔
等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；
70
年代，
由于法国概率论学
派的工作而使停时的理论更加完善。
< br>
直观上，
停时是描述某种
随机现象发生的时刻，
它是普通时间变量
t
的随机化。
例如
,
灯泡的寿命、一
场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的
粒子首次到达某集
A
的时刻
τ,τ(ω)=inf{t>0,x(t
,ω)∈A}，
且约定
inf
═
＝
≦，当
x
的轨道
连续而且
A
是一个闭集时，τ
就是一个
停时，它是一个随机变
量，而且对任何
t≥0，{τ≤t}∈σ
{x(u),u≤t}。
一般地
，设在可测空间(Ω,F)中已给
F
的一族单调、右连续、完备
的子
σ 域
族{,t∈R+},称定义在
Ω
上的非负可测函数
τ=τ(ω)
（
可取+≦为值）
为
停时，
如果对任意
< br>t≥0，
总有{τ≤t}∈。
这一定义的直观背景是：<
/p>
把理解为到
t
为止
的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻
τ
是否不迟于
t
这一信息应包
含在之中。
类似于，对停时
τ
可以定义
σ
域
,
其中为包含一切的最小
σ
域。Fτ<
/p>
可理解
为过程到
τ
为止的全部信息。
停时有许多
好的性质
,
例如
,
若
τ1、
τ2是停时
,
则
τ1∨τ2、
τ1∧τ2也是停
时，其中
,;
还有，这里表示包含、的最小
σ
域；进一步，若{τn}是一列停时，
则也是停
时。
更细致地研究停时，
需要对其进行分类，
< br>重要的类型有可料时、
绝
不可及时等。
< br>
二阶过程
均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。
二阶过程
理论的重要结果之一是它的积分表示。
设
F
是可测空间(∧,A)上的有限测度，
如
果
对每一
A∈A,有一复值随机变量
Z(A)
与它对应
,
且满足：①E|Z(A)|2< ≦；②
则称
Z
＝
{Z(A)
，A∈A}为(∧，
A)
上的正交随机
测度。定义在∧上、关于
A
可测
而且关
于
F
平方可积的函数全体记为
L2
（∧，
A
，
F
）
。
给了一个正交随机测度
Z
，
一族函数
,
，就可以产生一个二阶过程
,
满足
< br>
(1)
它的二阶矩为
。
(2)
反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示
(2)
，
就一定存在一个正
交随机测度
Z
，使过
程本身有积分表示
(1)
。
(1)
和
(2)
分别称为过程
x
和它的二
阶矩的谱表示。
对均方
连续的实二阶过程{x(t),t∈【α,b)】
},
则有级数
展开式
其中{ηn}是标准正交实随机变量序列
,
即；δnm=0，
n=m
时,δnm=1)，λn
是积
分方程的本征值，ψn
是相应的本征函数
Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。
特殊随机过程类
对过程的概率结构作各种假设
,
便得到各类特殊的随
机过
程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、
平稳过程、
鞅点过程和分支过程等。
贯穿这
些过程类的有两个最重要最基本的过
程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单
,
便于研究而应用又很广泛。从
它们出发<
/p>
,
可以构造出许多其他过程。
这两种过程
的轨道性质不同
,
前者连续而后
者则是
上升的阶梯函数。
广义过程
正如从普通函数发展到广
义函数一样，
随机过程也可发展到广义过
程。设
D
为
R
上全体无穷次可微且支
集有界的实值函数
φ
的集，定义在
D<
/p>
上的
连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为
Dx
。考虑
D×Ω
上的
二元
函
数
x(φ,ω),
如
果
对
固
< br>定
的
ω,x(〃,ω)∈Dx
是
广
义
函
数
,
而
对
固
定
的
φ,x(φ，〃)是随机变量
,
则称{x(φ,ω):φ∈D}为定义在(Ω,F,p)上的广义过
程。它在
φ1,φ2,…,φn
上的联合分布
为
全体这种联合分布构成了广义过
程
x
的
有穷维
分布族
。
前两阶矩分别称为均值
泛函
和相关泛函
根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，
象广义平稳过程、
广义正态过程等。例如，若对
D
中任意有限个线性独立函数
φ1,φ2,…,φn，
有限维分布都是正态分布，则称
x
＝{x(φ,ω)}为广义正
态过程。
关于统计学未来发展
一、“九五”期间统计学学科研究概况
20
世纪
的最后五年，
人类富有创造性的勤奋努力，
使信息技术、
生命科学等
领域的研究取得了重大突破，
在科
学技术史册中谱写了光辉的篇章。
统计学学科
伴随着科学技术的
发展在理论研究和实际应用中也取得了可喜的进展。
本报告分
别
从国外、
国内研究概况及中国高校统计学科的研究发展情况给予扼要总结和回
顾。
1.
国外统计学学科研究概况
随着科学技
术的飞速发展，
统计方法与技术的应用越来越重要。
19
世纪统计技术
为基因学说奠定了理论基础，
在
即将跨入
21
世纪的今天，
科学技术对
统计方法的
依赖愈来愈强。
世界上许多国家尤其是发达国家都非
常重视统计学理论的研究和
发展。根据国际统计学会（
ISI<
/p>
）近几年的会刊及统计学方面的著名杂志，可将
近几年国际统计界
研究的主要问题概括如下：
1.
统计
学基本理论研究有：
概率极限理论及其在统计中应用、
树形概率
、
Banach
空间概率、随机
PDE
’S、泊松逼近、随机网络、马尔科夫过程及场论、马尔科
夫收敛率、
< br>布朗运动与偏微分方程、
空间分支总体的极限、
大的偏差
与随机中数、
序贯分析和时序分析中的交叉界限问题、
马尔科夫
过程与狄利克雷表的一一对应
关系、
函数估计中的中心极限定理
、
极限定理的稳定性问题、
因果关系与统计推
< br>断、预测推断、网络推断、似然、
M
——估计量与最大似
然估计、参数模型中的
精确逼近、
非参数估计中的自适应方法、
多元分析中的新内容、
时间序列理论与
应用、
非线性时间序列、
时间序列中确定模型与随机模型比较、
极值统计、
贝叶
斯计算、变点分析、对
随机
PDE’S
的估计、测度值的处理、函数数据统计分析
等。
2.
统计学
主要应用领域有：
社会发展与评价、
持续发展与环境保护、
资源保护与
利用、
电子商务、
保险精算、
金融业数据库建设与风险管理、
宏观经济
监测与预
测、
政府统计数据收集与质量保证等、
分子生物学中的统计方法、
高科技农业研
究中的统计方
法、
生物制药技术中的统计方法、
流行病规律研究与探索的统计
方
法、人类染色体工程研究中的统计方法、质量与可靠性工程等。
2.
国内统计学学科研究概况
“九五”期间中国统计界出现了社
会经济统计学与数理统计学相互学习、
共
同提高、共创未来的新
局面。
1996
年
10
月，中国统计学会、中国概率统计学会、
中国现场统计学会联合举办了全国统计
科学讨论会，
这是“九五”期间我国统计
学术界一次盛会，
它标志着中国社会经济统计学与数理统计学的合作已进入实质
性阶段
。
统计界在数理统计与社会经济统计学的结合方面、
风险管理与
保险精算
方面、
空间统计学及其应用方面、
政府统计数据质量研究与评价方面、
信息技术、
网络技术在
统计学的应用方面、
金融及证券理论研究方面、
国民经济核算理
论与
应用方面、
综合国力研究方面等取得了可喜的成就。
“九五”期间国内统计界主
要有影响的研究可概括如下：
1.
理学类统计学一级学科地位的确立
“九五”期间中国统计界关于建立
和完善统计学学科体系的研究与争论异
常激烈。
统计界对“大统
计”的认识通过大量探索已逐步趋向统一。
所谓“大统
计”是针
对中国过去数理统计、
社会经济统计、
生物医学统计等各学科领
域的应
用统计各自为政相对面窄而言。
1998
年
9
月国家教育部颁布的《普通高等学校本
科专业目录和专业介绍》将统计学列为理学类一级学科，这是中国统计界“九
五”期间的重大成就。
教育部这项专业调整是为了适应市场经济与国际接轨的要
求，
在“宽口径，
厚基础”的指导思想下，<
/p>
将原来的
504
个专业调整到
249
个专业，
50%
以
上专业被砍掉，然而统计学不仅保留，而且列入理学类一级学科，这是中
国统计界广大理
论工作者辛勤努力的重要成就，是中国统计界值得庆幸的大事，
它的颁布对中国统计的未
来具有重大意义和深远影响。
这一专业目录的确定为中
国统计界
长期的争论进一步指明了发展方向。
这个方向就是——适应市场经济与
< br>国际接轨的统计学就是理学类统计学。
统计学一级学科的地位表明统计学既不是<
/p>
经济学的一个子学科，
也不是数学的一个子学科，
统计学就是统计学。
尽管统计
学被教育部专业目录确定
为理学类一级学科，
但统计界，
尤其是中国高等统计教
育界经济类统计学者反对者甚多。
有的学者认为理学类统计学就是数学，
只有经
济学其中的统计学才是统计学。
赞成者认为统计学就是统计学，
理学类统计学与
数学有着质的区
别，
经济学类的统计学已被中国实践证明是前苏联的文科式统计
学，根本不能代表作为方法论的整个统计学科。这一争论还将继续一段时间。
2.
统计学基本理论与方法问题研究
“九五”期间中国统计界围绕与国
际统计学接轨做了大量研究工作，
系统地
介绍了国外统计学研究
的一些新进展。
这方面最为突出的是国家统计局统计教育
中心和
中国统计出版社组织国内一流统计专家翻译出版了
15
本现代外
国统计学
优秀著作。
这些著作令我国统计界不少学者大开眼界，
从中汲取丰富的统计理论
和方法，
已在
我国统计界产生了积极影响，
为理学类统计学科的建立与发展奠定
了基础。
为适用新专业目录的需要，
国内高校的统计教师们编
写了一批统计方法
和应用的新教材。
中国统计界在抽样方法、<
/p>
时间序列分析、
多元统计分析、
非参
数统计、
回归分析、
指数理论、
宏观经济建模等理论与应用研究方面作了大量工
作。
3.
政府统计数据质量的研究
随着中国社会主义市场经济的深入
发展，
政府统计数据无论是在国家制定发
展战略和社会、
经济发展的宏观调控中，
还是企业制定营销策略以及社会、
经济、
环境等科学研究领域都起着不可或缺的重要作用，
< br>用户对政府统计数据的内在质
量以及数据的产生、
提供过
程的可靠性的企盼也越来越高。
关于中国政府统计数
据的质量近
年来关注和研究的学者很多，
发表的论文或报告已有近百篇之多。
几
乎每个省都设立了统计数据质量研究的课题，全国哲学社会科学基金还设立了
“关于评估、
改进和保证我国政府统计数据质量问题的研究”的重点项
目。
该项
目从定性与定量的有机结合上开展对政府统计数据的评
价与研究，
主要从技术与
方法上对中国政府统计数据的质量作出
客观评价，
对改进、
提高、
控制、
监测中