平面几何经典难题及解答
梦见棉被-
平
面
几
何
经
典
难
< br>题（一）
1
、已知：如图，<
/p>
O
是半圆的圆心，
C
、
E
是圆上的两点，
CD
⊥
AB
，
EF
⊥
AB
，
EG
⊥
CO
．
求证：
CD
＝
GF
．
C
E
2
、已知：如图，
P
是正方形
ABCD
内一点，
∠
PAD
＝∠
PDA
< br>＝
15
0
．
A
D
求证：△
PBC
是正三角形．
3
、如图，已知四边形
ABCD
、
A
1
B
1
C
1
D
1
都是
正方形，
A
2
、
B
2
、
C
2
、
D
2
分别是
AA
1
、
BB
1
、
P
G
CC
1
、
DD
1
的中点．
A
D
B
A
D
O
求证：四边形
A
2
B
< br>2
C
2
D
2
是正方形．
（初二）
F
D
2
A
2
A
1
4
、已知：如图，在四边形
ABCD<
/p>
中，
AD
＝
BC
，
M
、
N
分别是
AB
、
CD
的中点，
AD
、
BC
D
1
的延长线交
MN
于
E
、
F
．
F
< br>求证：∠
DEN
＝∠
F
．
B
1
经
典
难
题（二）
B
E
C
1
C
B
2
C
1<
/p>
、已知：△
ABC
中，
< br>H
为垂心（各边高线的交点）
，
O
为外心，且
OM
⊥
< br>BC
于
M
．
2
N
C
C
B
A
（
1
）求证：
AH
＝
2OM
；
D
（
2
）若∠
BAC
＝
60
0
，求证：
AH
＝
AO
．
（初二）
2
、设
MN
是圆
O
外一直线，过
O
作
OA
⊥
MN
于
A
，自
A<
/p>
引圆的两条直线，交圆于
B
、
C
A
O
B
及
D
、
E
，直线
EB
及
CD
分别交
MN
于
P
、
Q
．
G
M
·
H
E
E
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
3
< br>、如果上题把直线
MN
由圆外平移至圆内，则由此可得以
下命题：
B
C
M
D
设
M
N
是圆
O
的弦，过
MN
的中点
A
任作两弦
BC
、
DE
，设
CD
、
EB
分别交
MN
O
·
C
E
于
P
、
Q
．
C
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
< br>
A
D
Q
N
4
、如图，分别以△
ABC
的
AC
和
BC
为一边，在△
ABC
的外侧作正方形
M
B
ACDE
·
和正方形
P
CBFG
，点
P
是
EF
的中点．
·
D
O
B
求证：点
P
到边
AB
< br>的距离等于
AB
的一半．
（初二
）
M
N
Q
P
A
G
C
D
1
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC
，
AE
＝
AC
E
，
AE
与
CD
相交于
F
．
求证：
CE
＝
CF
．
（初二）
P
D
F
A
2
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥<
/p>
AC
，且
CE
＝
CA
，直线
EC
交
DA
延长线于
F
< br>．
求证：
AE
＝
AF
．
（初二）
A
B
Q
D
F
A
E
3
、设
P
是正方形
ABCD
一边
BC
F
上的任一点，
PF<
/p>
⊥
AP
，
CF<
/p>
平分∠
DCE
．
求证：
PA
＝
PF
．
（初二）
A
D
4
、
如图，
PC
切圆
O
于
C
，
AC
为圆的直径，
PEF
为圆的割线，
A
E
、
AF
与直线
PO
相交于
B
、
D
．求证：
AB
＝
DC
，
BC
＝
AD
．
（初三）
F
B
C
A
B
C
经
典
难
题（三）
经
典
难
题
（四）
E
D
E
F
C
1
、已知：△
ABC
是正三角形，
P
是三角形内一点，
PA
< br>＝
3
，
PB
＝
4
，
PC
＝
5
．
O
B
B
P
P
C
E
求：∠
APB
的度数．
（初二）
A
2
、设
P
是平行四边形
ABCD
内部的一点，且∠
PBA
＝∠
PD
A
．
求证：∠
PAB
＝∠
PCB
．
（初二）
A
D
P
3
、
设
ABCD
为圆内接凸四边形，求证：
AB
·
CD
＋
AD
·
BC
＝
AC
·
BD
．
（初三）
A
P
4
、平行四边形
ABCD
中，设
E
、
F
分别是
BC
、
AB
上的一点，
AE
与<
/p>
CF
相交于
P
，
且
D
AE
＝
CF
．求证：∠
DPA
＝∠
DPC
．
（初二）
B
B
C
C
A
F
D
经
典
难<
/p>
题（五）
B
1
、设
P
是边长为
1
的正△
ABC
内任一点，
L
＝
PA
＋
PB
＋
PC
，求证：<
/p>
B
P
≤<
/p>
L
＜
2
．
A
C
E
C
2
、
已知：
P
是边长为
1
< br>的正方形
ABCD
内的一点，求
PA
＋
PB
＋
PC
的最小值．
P
A
D
C
B
3
、
P
为正方形<
/p>
ABCD
内的一点，并且
PA
＝
a
，
PB
＝
2a
，
PC
＝
3a
，求正方形的边长．
D
A
＝
30
0<
/p>
，
4
、如图，△
ABC
中，∠
ABC
＝∠
ACB
＝
80
0
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，∠
P
DCA
∠<
/p>
EBA
＝
20
0
，求∠
BED
的度数．
P
A
经典难题解答
:
经
< br>典
难
题（一）
即△
GHF
∽△
OGE,
可得
B
C
B
1.
如下图做
GH
⊥
AB,
连接
EO
。由于
GOFE
四点共圆，所以∠
GFH
＝∠
OEG
,
D
E
C
EO
GO
CO
=
=
,<
/p>
又
CO=EO
，所以
CD=GF
得证。
GF
GH
CD
2.
如下图
做△
DGC
使与△
ADP
全等，可得△
PDG
为等边△，从而可得
B
△
DGC
≌△
APD
≌△
CGP,
得出
PC=AD=DC,
和∠
DCG=
∠
PCG<
/p>
＝
15
0
所以∠
DCP=30
0
，从而得出△
PBC
是正三角形
C
3.
如下图
连接
BC
1
< br>和
AB
1
分别找其中点
F,E.
连接
C
2
F
与
A
2
E
并延长相交于
Q
点，
连接
EB
2
并延长交
C
2
Q
于
H
点，连接
FB
2
并延长交
A
< br>2
Q
于
G
点，
0
1
1
1
由
A
2<
/p>
E=
1
2
A
1
B
1
=
2
B
1
C
1
= FB
2
，
EB
2
=
2
AB=
2
BC=F
C
1
，又
∠
GFQ
+
∠
Q=90
和
∠
GE
B
2
+
∠
Q=90
0
,
所以∠
GE
B
2
=
∠
GFQ
又∠
B
2
FC
2
=
∠
A
2
EB
2
，
可得△
B
2
FC
2
≌△
A
2
EB
2<
/p>
，所以
A
2<
/p>
B
2
=B
2
C
2
，
又∠<
/p>
GFQ+
∠
HB
2
F=90
0
和∠
GFQ=
∠
EB
2
A
2
,
从而可得∠
A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，