微积分的发展历史
艾克出装-
微积分的产生——划时代的成就
.
1
微积分思想的萌芽
1.1
古希腊罗马——微分、积分思想的发源地
原子论朴素的微分和积分思想
.
古希腊的原子论者具有朴素
的微分和积分思想，该学派
的创始人是留基伯
(Leucipp
cus
of
Miletus)
，代
表人物则是百科全书式的学者德漠克利特
(Democritus of Abdera
).
原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，
以及
原子虽然
不能再分但仍有内部结构的思想，
表现在数学上就是对
于表示有限的长度、
面积和体积的量
x
，
进行了一次微分
(dx)
和二次微分
(dx
).
德漠克利特曾用原子论思
想第一次算出圆锥和棱锥
的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一<
/p>
.
极限法的早期形式穷竭法
.
为了计算曲边形的面积和体积，
欧多克斯
（
Eudoxus of Cnidos
）
曾
提出了一个计算方法，
这个方法在
17
世纪时被人称为
“穷竭法”
.
用现代的
符号表示就是：
如果对于任意的正整数
n
，
等式
A
B
2
a
n
b
n<
/p>
k
（常数）
成
立，
且当
n
→
时，
a
n
A
，
b
n
B
，
则有
k
.
他用这个方法
证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式
.
阿基米德
(Archimedes)
对穷竭法也作出了重要贡献，
他在
《圆的度量》
、
《论圆柱和球》
、
《抛物线求积》
、<
/p>
《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概
念
.
并且他用这种方法计算出了球的体
积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体
积等数学问题
.
芝诺的拟难
.
芝诺
(Zero of Elea)
是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一
个科学家，
更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞
箭、运动场，
客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，
对微积分发展有一定的影
响
.
< br>其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有
无穷多项，但其和仍为有限的；
“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每
一时刻
不仅有速度，而且还有加速度等；
“运动场”明显地同运
动的两个相反的方向即正负概念有
关
.
1.2
阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究
< br>在整个中世纪，
希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、
以君士坦丁堡为中心的拜
占庭帝国保存下来的
.
但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把
它们输
送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权
.
代数和三角学
的确立
.
从
7
世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到
8
世纪，它已成为一个
地跨亚、
欧、
非三洲，
阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，
政府组织人力进
行天文观测，
编制星表，
集中学者翻译和注释希腊罗马
古典名著
.
正当欧洲处在黑暗时期，
“
阿
拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表
.
希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工
作才得以
保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一
.
不仅如此
，阿拉伯也是东西
科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代
“四大发明”等，都
是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创
造了重要条件
.
有继承
才有发展，阿拉
伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造
.
代
数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献
.
对无限和运动的研究
.
这一时期，除了
“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角
学已经确立以及数学符号化已有端倪外，
对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学
家们注意的中
心
.
例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成
边数最多和边
数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界
.
他还说尽管“世界不是无限
的，但毕竟不能认为它
是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”
，这表明了他把
无限看作一个过程的潜无限思想
.14
世纪英国很有声誉的
数学家苏依塞斯的重要著作
《算术》
中，已有变量、极大和极小
概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域
.
他所使
用的“流数”
、
“流量”等概念，被<
/p>
300
年后的牛顿所采用
.
在无限问题上他指出，要解决所
有关于无限的诡辩，
只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，
这是关于对有限和无限
< br>应有不同的论证的最早认识
.
1.3
古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
< br>简单几何图形面积和体积的计算
.
在微积分的发展历史上
，对任意封闭的平面曲线围成
图形面积的计算，
和任意封闭的空
间曲线包围立体图形体积的计算，
是产生积分概念的主要
途径之
一
.
计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文
记载，约在
300
年以
前的殷代，就把
耕种的土地分成方形小块以求面积
.
积分概念就是在初等几何计
算面积和体
积的基础上逐渐形成的
.
《庄子》和《墨经》中的极限思想
.
极限概念是微积分区别于初
等数学的特有概念，没
有极限概念就没有现代的微积分
.
战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中
最脍炙人口的
一句话是：
“一尺之椎，日取其半，万世不竭
.
”可以理解为无穷无尽、永远达
不到极限的潜无限思想
.
无穷或无限概念，
是极限概念的特殊情况，
< br>是微积分的重要概念
.
《
墨
经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分
.
该书说，
“穷，或有
前，不容尺也
”
，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；
“穷，
或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”
，即有穷
就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无
穷
.
与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：
“端，体之无厚而最前者也”<
/p>
；
“端，无间
也”
；
“非半则不动，说在端”
.
第一句
话就是说，
“端”就是不可度量且位于物体的最前面的
东西
.
第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端<
/p>
.
这是对构成物质的最
基本的元素相当精
确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念
.
极限思想的运用——割圆术
.
我国三国时的数学家刘徽提出的<
/p>
“割圆术”
，
他从圆内接正
六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正
12
边形，正
24
边形，„„，直到正
3072
边形，用这个正
3072
边形
面积来逼近圆面积，就得到
π
的较精确的值
3.1416
，
“割之
弥细，所失
弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣
.
”
这就包含着微积
分中“无限细分，无限求和”的思想方法
. <
/p>
另外，
古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动
的不均匀性及有关的
极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”
（月亮运行的最快点和最慢点）
、
求月亮白赤道
交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”
）等问题，但东方
学者以惯用的数值手段（
“招差术”
，即有限差分
计算）来处理，从而回避了连续变化率
.
总
之，在
17
世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以
说是较少的
.
2
微积分孕育的半个世纪
在历史上，积分概念和方法的产生先于微分
.
积分
的原理，溯源于古希腊人所创造的计
算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷
竭法中就已萌芽
.
微分思想虽然可追溯
到古希腊，但它的概念和法则几乎是
16
世纪下半叶后与近代力
学同时产生和发展起来的
.
微分思想和积分思想起初互不相干，
基本上是平行而又独立地发展着，
都是对具体问题采取
具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法
.
这两个统一方法
形成后建立起其间联系又晚一些
.
直至
17
世纪上半叶，
以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索
新的数学思想和方法来解
决求曲线的长度、
曲线围成的面积和体积、
物体的重心、
变化率和
切线、
函数的极值、
物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、
科研实践中提出的数学问
题
.
对上述问题的研究以及对二项式定理和级数
的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发
展，孕育了微积分的诞生
.
2.1
积分学概念和方法的产生
在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：
2.1.1
开普勒的同维无穷小方法
开普勒
(Johannes Kepler,1571-163
0)
是德国著名天文学家、力学家和
数学家，在大学学习时曾接
触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和
柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和
谐的体系，但他不象前人
那样盲目相信，
而是尊重事实
.
他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后
总结
出行星运动三定律，
其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运
动，
其轨道也不是圆而是椭圆
.
这就
从根本上打破了传统的、
权威的观念，
是对哥白尼的天文学的重
大发展
.
图
5-1
开普勒
开普勒的父亲好喝酒，以开酒
馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业
.
他发现当时酒
商求奥地利酒桶容积的方法不精确，
经过研究在
1615
年发表
《测量酒桶的新立体几何》
< br>，
该
书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何
，其中大约有
90
个旋转体的体积是阿
基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用
.
在该书中，
开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数
个同维小元素之和来确定曲边
形的面积及旋转体的体积
.
例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为
顶点的
等腰三角形面积之和计为圆面积，
于是得到圆面积等于周长乘半
径之半
.
A
1
2
r
O
S
1
1
2
S
2
S
n
< br>
2
S
i
rs
r
图
5-2
他还认为球的体积是无数个小
圆锥的体积之和，
这些圆锥的顶点在球心，
底面则是球面的一<
/p>
部分；
将圆锥看成是极薄的圆盘之和，
并
由此计算出它的体积，
然后进一步证明球的体积是
半径乘以球面
面积的三分之一
V
R
4
R
2
1
.<
/p>
开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆
3
环以及苹果形、柠檬形等的体积
.
开普勒的方法并不严格
.
比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的
三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和
.
在一些问题中，开普勒也确认
面积就是直线之和
.
用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还
< br>不严格，
但确有合理之处，
这也是开普勒方法的精华，<
/p>
他化曲为直和微小元求和的思想，
对
积分
学很富有启发性
.
2.1.2
卡瓦列
里和托里拆利的不可分量法
“不可
分元”
并无严格的定义，
费尔马、
帕斯
卡和罗伯瓦尔等都有
类似思想，但是以卡瓦列里
的思想最典型<
/p>
.
卡瓦列里
(Bonaventura
Cavalieri,1598-1647)
是意大利的牧师，也是伽俐略的学生
.
他的积分思
想同古代原子论一脉相承，但比
开普勒的方法更普遍，称之为“不可
分元法”
.
这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》
(1635
)
和《六
个几何问题》中两部著作之中
.
卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成
的
一样；
面是由无限多条平行线段组成，
就象布是由线织成的一样
；
立体则是由无限多个平
行平面组成，就象书是由每一页积累成
的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的
.
换句话说，
他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：
线是点的总
和，
平面是直线
的总和，
图
5-3
卡瓦列里
立体是平面的总和，他分别
把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”
.
他建立了一条关于
这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：
两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有
给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比
.
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡
献还在于证明了：
如果两线段之比为
2
:
1,
则其平方和之比为
3
:
1,
立方和之比为
4
:
1,
直到九次
方和之比为
10
:
1,
实际上已相当于今天的积分式
a
0
x
dx
< br>
n
1
n
1
a
n
1
（
n
为自然数）
使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡
.
卡瓦列里的不可分量方法比
他的前人包括开普勒所使用的方法更
接近于普遍的积分学算法，
开普勒曾向同行们提出一个
挑战问题
：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积
.
卡瓦列里用自己的
方法解决了开普勒
的问题
.
人们认为，
以卡瓦列里为代表的不可分量法就是
17
世纪初期的积分法，也
是牛顿和
莱布尼茨以前积分思想发展的高峰
.
< br>卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示
不同的曲边图形对应的不可
分量之间的关系，
而非每个面积中的不可分量全体，
这就避免了
无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾
.
同时，卡瓦列里求积法还具有不注意
代数和算术的纯几何缺点
.
对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学
生、
意大利的托里拆利
(elli,1608
-1647).1646
年卡瓦列里发表
《关
< br>于无限抛物线》中批评说：
“把不可分元看成是相等的，即把点与点在
长度上、
线与线在宽度上、
面与面在厚度上看成相
等的说法纯属空话，
它既难以证明，又无直观基础
.
”他以圆和三角形的不可分元为例说明
二者的不
可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具
图
5-4
有微小宽度的带状体
.
所以他用开普勒
的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时
又保留了不可分量法在求积上的有效性，
不但取得了曲线求积问题的许多成果，
而且在理论
上向近代积分靠近了一步
.
2.1.2
费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进
费
马于
1636
年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一
的矩形条分割曲线形；
用矩形面积近似地代替曲边形面积；
利用
曲线方程求出矩形面积，
并以其构成的几何级数之
和近似地得到
曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值
.
而帕斯卡则采
取等分
x
轴上
的区间和略去无穷序列之
和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响
.
费
马
还将其积分法用于求弧长，
他把曲线长视为微小线段长之和，
再把线段长度之和转化为求曲
线围成的面积来获得结果
.
英国数学家沃里斯
1656
年发表
《无穷的算术》
，
使卡
瓦列里、
费马的不可分法得到系统
的推广
.
他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数<
/p>
表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础<
/p>
.
沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算
公式：
ds
dx
2
dy
2
，
但未能给出弧长的计算方法
.
到<
/p>
17
世纪
60
年
代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相
当完善了
.
2.2
微分学概念和法则的发展
以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何
的诞生改变了这一状况
.
解析几何的两位创始人
笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学
问题研究的前锋
.
2.2.1
费马借助微小增量作切线
费马在
1637
年发表了
《求最大值和最小值的方法》
，
记述了一个求曲线切
线的方法，
这
个方法的大意如下：
<
/p>
设
PT
是曲线在
P
点的切线（如图
5-5
）
，
TQ
叫次切线，只要知其长，就可确定
T
点，
再连接
PT
就可以了
.
为了确定
TQ
，设
QQ
1
< br>为
TQ
的微小增量，其长为
E<
/p>
（即今之△
x
）
，
∵△
TQP
∽△
PRT
1
∴
TQ
QP
PR
RT
1
T
1
P
R
P
1
费马认为，当
E(=PR)
很小时，
RT
1
同<
/p>
RP
1
几
乎相等
，因此有
TQ
QP
< br>E
RP
1
E
Q
1
P
1
QP
T
Q
Q
1
图
5-5
用现在的符号，把
QP
写成
f
(
x
)
，于是有
TQ
f
(
x
)
E
f
(
x
E
)
f
(
x
)
即
< br>TQ
E
f
(
x
)
f
(
x
E<
/p>
)
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
这时，
费马先用
E
除分子和分母，
然
后再让
E=0
就得到
TQ
的数值（即今之
TQ
）<
/p>
.
费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的
第一个真正值得注意的先驱工作
.
但是，他
没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算
斜率的极限来求切线
.
割线移动决定切线的思想，是笛卡儿
1638
年提出来的
.
2.2.2
笛卡儿“圆法”
求曲线
y
f
(
x
)
过点
P
(
x
,
f
(
x
))
< br>的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点
P
处的法
线与
x
轴的焦点
C
的位置，然后作该法线的过点
P
的垂线
，便可得到所求的切线
.
如图
5-6
，过
C
点作半径
r=CP
的圆，因
CP
是曲线
y
f
(
x
)
在
P
点处的法线，那么点
P
应是该曲线与圆
y
(
x
v
)
r
的“重交点”
（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于
P
点附近的另一点）
.
如果
f
(
x
)
是多项式，有垂交点就
2
2
2
2
y=f(x)
相当于方程
[
f
(
x
)]
(
v
x
)
r
2
2
2
Y
P
f(x)
x
r
v
C
O
X
将以
P
< br>点的横坐标
x
为重根
.
但具有重根
x
e
的多项式的形式必须是
(
x
e
)
c
i
x
，
笛
卡儿把上述方程有重根
的条件写成：
[
f
(
x
)]
(
v
x
)
r
2
2
2
2
i
(
x
e
)
2
< br>c
i
x
，
图
5-6
i
然后用比较系数法求得
v
与
e
的关系
.
带入
e
x
，就得到用
x
表示的
v
，这样过点
P
的切线
的斜率就是
v
x
< br>f
(
x
)
.
以抛物线
y
2
< br>
kx
为例，
y
f
(
x
)
kx
，方程
< br>kx
(
v
x
)
2
2
2
r
有重
根的条件为：
2
kx
(
v
x
)
r
(
x
e<
/p>
)
1
2
k
，
2
令
x
的系数相等，得
k
<
/p>
2
v
2
e
，即
v
e
1
2
k
.
代入
e
x
，于是次法距
v
x
求出抛物线过点
x
,
kx<
/p>
的切线斜率是
v
x
f
(
x
)
k
/
2
kx
1
2
k
x
.
笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就
是以笛卡儿圆
法为起跑点而踏上研究微积分的道路的
.
笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，
1658
年荷兰数学家胡德
()
提出了一套构造曲线切线
的形式法则，称为“胡德法则”
.
胡德法则为确定笛卡儿圆法所
需
的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算
.
2.2.3
费马求极值的方法
用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一
.
记载费马求极大
值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森
(ne)
的一封信，梅森是当时欧洲科
学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心
.
费马的方法用
现在的符号表示大意如下：
设
f
(
x
)
是
x
（
x
就是费马的
A
）的某个多项
式，现在讨论
y
f
< br>(
x
)
的极大值
.
如果
f
(
x
)
在
x
点达到极大值，则对充分小的
E>0
必有：
f
(
x
E
)
<
f
(
x
)
和<
/p>
f
(
x
E
)
<
f
(
x
)
将此二不等式之左边展开则有：
f<
/p>
(
x
E
)
f
(
x
)
P
(
x
)
E
(
x
)
Q
(
x
)
E<
/p>
f
(
x
E
)
f
(
x
)
P
(
x
)
E
(
x
)
Q
(
x
)<
/p>
E
2
<
f
(
x
)
<
f
(
x
)
2
消去这两个不等式两边的共同项，再用
E
除则分别给出下面两个不等式：
P
(
x
)
Q
(
x
)
E
<0
P
(
x
)
Q
(
x
)
E
< br>
<0
当
< br>E
充分小时，此二式左边的符号完全由
P
(
x
)
确定
< br>.
可见，当
P
(
x
)
0
时，此二式不可能
有同一的符号，因此必须
P
(
x
)
=0
，从此式解出
x
就是所求的极大值
.
同理可以求出极小值
.
费<
/p>
马
的
方
法
实际
上
就
是
，当
计
算
有理
整
函
数
f
(
x
)
的
< br>极
值
时
，先
计
算
它的
导
数
f
(
x
)
lim
f
(
x
x
)
f
(
x
)
x
x
< br>0
，再令
f
< br>(
x
)
0
，解之就是极值点
.
不难看出，
费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释
他的
E
时设为“充分小”
，是为了同今天的思想相一致
，但费马并没有如此表述；第二，正
如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证
明；第三，令
P
(
x
< br>)
0
，只是求出极
值的必要条件，而不是充分条件
.
尽管费马求极值
方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，
他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结
构
.
可以认为，在微分学的先驱工作中，费马
< br>是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大
.
2.3
微积分系统理论探索的前夜
<
/p>
这里将要介绍的是帕斯卡、
沃里斯和巴罗等人的工作，
他们的工作对牛顿和莱布尼茨的
微积分的产生有着直接的关系，
如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，
则
这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡
.
2.3.1
帕斯卡等的无穷小方法
布莱斯·帕斯卡
(Pascal
Bl
aise,1623-1662)
的一生，虽然只有
39
岁，而他的一段黄金时期
(30-35
岁
)
又专门研究神学，但是他在
数学上的成就
却很大
.
他是世界上第一架计算机的设计者，是概率
论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡
三角形”<
/p>
，
他也是一位哲学家，
并很有写作才能<
/p>
.
他同罗伯瓦尔和费
马一起，被称为当时
法国数学界的三巨头
.
帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有
图
5-7
帕斯卡
一定关系
.
因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡<
/p>
是用文字表述的
.
他凭借这个结果并引入
无穷小概念，算出了以曲线
y
x
为一边的曲边梯
形的面积
.
他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分
之一圆的正弦论》
(1659)
这部著作中，有一幅被称之为“微
分三
角形”
的图形
（图
5-8
）
.
他说，
当区间
(
即图中的
RR=EK)
很小时，则“弧可以代替切线”
.
通过“微分三角形”说明<
/p>
可以用直线代替，并进一步作出切线
.
把无穷小概念引入数学，
是微积分发展史上的重要事件
.
以无穷小作基础才能把曲线看成直线
.
有人认
为，如果帕斯
C
卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致
力于切线
R
I
R
A
E
D
E
B
n
K
的求法，那么他就有可能比牛顿和
莱布尼茨更早地击中微积
图
5-8
分的要害
.
事实上，帕斯卡的工作对莱
布尼茨的微积分产生了直接的影响
.
2.3.2
沃里斯的算术化
英国的沃里斯
(,1616-1703)
是一位
牧师的儿子，受过良好的
古典教育
.
在
剑桥大学学习期间专攻神学，
以后对数学感兴趣
.
从
1649
年
起任牛津大学
的“沙维教授”
，是
17
世纪时的英国
仅次于牛顿的著名数学家
.
在微积分的先
驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分
.
沃里斯接受了韦达、
笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数
研究几何问题，
他试图
使算术完全脱离几何表示
.
另外在求积问题上，他
图
5-9
沃里斯
接受卡瓦列利的不可分元思想
和流行的略去无穷小方法，
并且应用尚不精确的无穷大和无穷
小
概念
.
他在数学史上第一次用符号
<
/p>
表示无穷大，用
1
表示无穷小或零量，并把它们和有
限数同样看待，
一起参加
运算
.
沃里斯在他的重要著作
《无穷算
术》
(1655)
一书中用算术方法
得
到如下的定理：
“若有一无穷数列，从
0
开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与
各数均等
于其
最大
数的同
样数目
之和的
比值为
1
1
1
该指数
.
”用今天的
符号表
示就是
0
a
x
dx
<
/p>
x
dx
n
n
1
n
1
1
n
1
（
n
< br>是
整
数
或
分
数
）
，
这
表
明
卡
瓦
列
利
和
帕
斯
卡
等
所
确
定
的
关
< br>系
a
n
1
0
（
n
为正整数）
，当
n
为分数时仍然成立
.
2.3.
3
巴罗的求切线和求积的互逆性
英国的伊萨克·巴罗
(Isaac
B
arrow,1630-1677)
是微积分发展史上最
重要的
人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对
希腊古典著作很有造诣；
曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，
1669
年即牛顿
26
岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把
“卢卡斯教授”
职位让给牛顿，
成了数学史上
的佳话
.
他的主要著作是
《光
学和几何讲义》
.
巴罗的数学观基本上与希腊
人相同，认为只有几何才是数学，而代
数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去
.
尽管他偏爱几何，但对
图
5-10
巴罗
即将临产的微积分也有深刻的理
解
.
巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是
线元之延长，
这是不可分元的不同说法，
不
过巴罗最有意义的贡献是把
“求切线”
和
“求积”
作为互逆问题联系起来
.
比
如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，
用今天的符号表示分别
是：
（
1
）
如果
y
x
0
zdx
，则
dy
zdx
x
（
2
）如果
dy
zdx
，则
< br>
zdx
y
< br>
（设
x=0
时
y=0
）
0
巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求
曲线的切线
.
微分三角形是指由自变量增量
x
和函数增量
y
为直角边所构成的直角三角形
.
他第一个认
识到
y
x
对于决定切线有重大意义，
于是将微分三角形和费马的方法结合起来，
从而得到比
<
/p>
y
x
费马更优
越的方法
.
实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为
可以用来决定导数
.
微积分的先驱们的工作
，
以费马和巴罗为标志而结束，
由于历史的局限性，
上述数学家
关注的是具体几何特有的解答方法，
而
未注意大量成果的优越性、
创造性和普遍性能够提炼
成新的统一
的方法构成一门新的学科，
也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、
< br>具有一般
符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学
.
牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出