微分方程发展简史
国家法定婚假-
微分方程发展史思考
微分方程
:
大致与微积分同时产生
。事实上，求
y′＝
f
(x)
的原函数问题便
是最简单的微分方程。
< br>I.
牛顿本人已经解决了二体问题：
在太阳引力作用下，
一
个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到<
/p>
3
个未知函数的
3
个二阶方程组，
经简单计算证明，
可化为平面问题，
即两个未知函数的两个二阶
微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法
，完全解决了它的求解问题。
17
世纪就提出了弹性问题，这类
问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，
力学、天文学、几何学等领域的许多问
题都导致微分方程。在当代，甚至许多社
会科学的问题亦导致微分方程，
如人口发展模型、
交通流模型„„。
因而微分方
程的研究是与人类社会密切相关的。
当初，
数
学家们把精力集中放在求微分方程
的通解上，
后来证明这一般不
可能，
于是逐步放弃了这一奢望，
而转向定解问题：
初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解
(
化
为积分形式
)
也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）
、定性方法，而这
首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样
的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程
和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找
出来，
列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，
然后取求方程
的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不
同的问题。比如：
物质在一定条件下的运动变化，
要寻求它的运
动、
变化的规律；
某个物体在重力
作用
下自由下落，
要寻求下落距离随时间变化的规律；
火箭在发动机
推动下在空
间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述
的，
因此，
这类问题
就是要去寻求满足
某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，
凡是这类问题<
/p>
都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，
而是要求一个或
者几个未知的
函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究
的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，
从列出的包含未知函数的一个
或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、
求解的具体方
法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有
许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数
的知识。因此，凡是表示未知函数的
导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程
。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，
苏格兰数学家耐普尔创立对数的时
候，
就讨论过微分
方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，
对简单的微分方程<
/p>
用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达
朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、
天文学、
物
理学，
以及其他科学技术的发展
密切相关的。数学的其他分支的
新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都
对常微分方程的发展产生了深刻的影响，
当前计算机的发展更是为常微分方程的
应用及理论研究提供了非
常有力的工具。
牛顿研究天体
力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上
得到了行星运动规律。
后来，
法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微
分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信
微分