平面几何五种模型
优秀员工感言-
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10
平面几何五种模型
等积，鸟头，蝶形，相似，共边
1
、等积模型
等底等高的
2
个三角形面积相等
2
个三角形高相
等，面积比
=
底之比
2
个三角形底相等，面积比
=
高之比
夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）
等积模型是基本应用应是烂熟于心的
都是利用面积公式得到的推定比例
如下：
1
等
底等高的
2
个平行四边形面积相等
<
/p>
2
三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半
3 2
个平行四边形高相等，面积比
=
底之比；
2
个平行四边
形底相等，面积比
=
高之比
2
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2
、鸟头模型（共角定理）
鸟头定理：
2
个三角形中，
有一个角
相等或互补
，
这
2
个三角形叫做
共角三角形。
< br>共角三角形的面积比等于对应角
（相等角或互补角）
两<
/p>
夹边的乘积之比（夹角
2
边
）
< br>鸟头定理的使用要火眼金睛，
经常需要自己补一条辅助线同时经过
2
次以上转
换对应才能得到结果。
A
D
E
B
C
如图
，浅紫色的三角形
ADE
跟大三角形
A
BC
是公
用
A
角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形
ABC
里面，注
意，鸟头
定理用的是乘积比！不是单独的线段比
~
记忆上用
夹角
2
边
E
最好记，这里等于
D
E
A
对顶角
A
D
B
C
B
C
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D
E
互补角
A
D
A
E
B
C
B
C
鸟头定理的证明，
写出来是因为很多题目的解题过程，
都需要补这么一条辅助
线来
过度连接
2
个看起来无关的图形。
证明
的途径其实跟我们日常解题途径重
合，所以写出来，
仔细看
。
A
A
A
D
E
D
E
等高，面积比=底之比
S△ABE：S△ABC=
AE:AC
E
等高，面积比=底之比
S
△ADE:S△ABE=AD:AB
B
C
B
B
C
经
由媒介的
∆
ABE
，联系了
∆
ADE
和大三角形
∆<
/p>
ABC
BE
辅助线很重要！鸟头定理是
用等高（等于是用等积推算而得）
第二种的证明方式将对顶角
压回来
∆
ABC
内，对顶角性质是相等
的，
所以压回来的新
∆
跟
∆
ADE
是全等
∆
，再做一条辅助线就能用共角的
方式证明出对角的鸟头定理
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互补角的鸟头定理证明
D
A
D'
E
S△ADE=S
△AD'E,因为同底等高
AD=AD',
高相等，所以面积相
等
B
C
写了
这几个证明，其实
说的目的只有一个：
连接小三角形和大三角形
过度的那条辅助线，
特
别重要！
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3
蝴蝶模型
任意
四边形中的比例关系（
“蝴蝶定理”
）
任蝴蝶
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:<
/p>
OC
S
S
:
S
S
1
2
< br>4
3
【
上下比
< br>】
【上上比】
=
=
=
=
=
=
由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如
面积交叉相乘的乘积相等
=
=
S
1<
/p>
S
3
S
2
S
4
梯形蝴蝶定理（<
/p>
梯蝴蝶
）
2<
/p>
2
2
2
①
S
1
:
S
3
a
:
b
→
上：下
=
a
:
b
2
2
2
2
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
< br>4
a
:
b
:
ab
:
ab
→
上：下：左：右
=
a
:
b
:
< br>ab
:
ab
< br>③
S
的对应份数为
a
b
→
a
2
+2ab+b
2
=a
2
+b
2
+ab+ab
有木有↑
2