简述微积分发展史
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简
述
微
积
分
发
展
史
< br>
一
、
微
积
分
学
的
创
立
微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包
括两部分：微
分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世
纪，
古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、
球和球冠面
积、
旋转双曲体的体
积等问题中，
就隐
含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，
早<
/p>
在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”
中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。
到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研
究运动的时
候直接出现的，
也就是求即时速度的问题；
求曲线的切线的问题等，
这些问题也
就成了促使
微积分产生的因素。
十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量
的研究工作。
十七世纪下半叶，
在前人工作的基础上，
英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼
茨分别在自己的国度里独自研究和
完成了微积分的创立工作。在创立微积
分方面，
莱布尼茨与牛顿功绩相当。
这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献
概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法
,
认识到求积问题与切
线问题互逆的特征，
并揭示出
微分学与积分学之间的本质联系。
两人各自建立了
微积分学基本
定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论
知识作为前提为以后的
微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。
微积分
学的创
立，
极大地推动了数学的发展，
过去很多初等数束手无策的问题
，
运用微
积分，
往往迎刃而解，
显示出微积分学的非凡威力。
可以说微积分学的诞生是数
学发展的一个里程碑式的事件。
二、微积分诞生的重要意义
微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何
产生后的又一个伟大的数学创造。
微积分为创立许多新的学科提供了源泉。
微积
分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，
是
人类理性思维的结晶。
它给出一整套
的科学方法，
开创了科学的新纪元，
并因此加强与加深了数学的作用。
微积分的
产生不仅具有伟大的科学意义，
而且具有深远的社
会影响。
有了微积分，
就有了
工业革命
，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有
力定律发现了。<
/p>
微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，
摧毁了笼罩在天体上<
/p>
的神秘主义、
迷信和神学。
这一切都表明
微积分学的产生是人类认识史上的一次
空前的飞跃。
三、微积分理论的基本介绍
微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，
求不定积分与求
导函数是互为逆运算的过程，
而把上下限代入不
定积分即得到积分值，
微分则是
导数值与自变量增量的乘积。作
为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积
分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建
立微积分的出发点是直观的无穷小量，
但是理论基础是不牢固的。
因为
“无限”
的概念是无法用已经拥有的代数公式进
行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等
< br>建立了严格的实数理论，
这门学科才得以严密化。
学习微
积分学，
首要的一步就
是要理解到，
“
极限”
引入的必要性：
因为，
代数是人
们已经熟悉的概念，
但是，
代数无法处理“无限”的概念。所以
，必须要利用代数处理代表无限的量，这时
就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的
定义中，我们可以知道，这个概念
绕过了用一个数除以
0
的麻烦，相反引入了一个过程任意小量
ε
。就
是说，除的
数不是零，所以有意义，同时
ε
可以取任意小，只要满足在
δ
区间，都小于
ε
，
我们就说他的极限就是这个数。
< br>虽然这个概念给出的比较取巧，
但是，
它的实用
性证明，
这样的定义还算比较完善，
给出了正确
推论的可能性。
因此这个概念是
成功的。
四、小结
随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是
与科学
应用紧密联系着发展起来的。
最初，
牛顿应用微积分学及微分方
程对天文
观测数据进行了分析运算，
得到了万有引力定律，
并进一步导出了开普勒行星运
动三定律。
微
积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，
同时也极大的推动了天
文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科
学各个
分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。
参考文献：
[1]
同济大学应用数学系
.
高等数学
[m].
< br>北京：高等教育出版
社
,2008.
从微积
分成为一门学科来说，
是在十七世纪，
但是，
< br>微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前
三世纪，
古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、
球和球
冠面积、
螺线下
面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近
代积分学的思想。
到了十七世纪，有许多科学问题需
要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，
大约有
四种主要类型的问题
：
第一类是
研究运动的时候直接出现的，
也就是求即
时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最
小值
问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一
个体积
相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世
纪的许多著名的数学家、
天文学家
、
物
理学家都为解决上述几类问题作了大量的
研究工作，
如法国的费
马、
笛卡尔、
罗伯瓦、
笛沙格；
英国的巴罗、
瓦里士；
德国的
开普勒
；
意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的
理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，
在前人工作的基础上，
英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别
在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，
虽然这只是十分初步
的工作。
他们的
最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一
起，
一个是切线问题
（微分学的中心问题）
，
一个是求积问题
(
积分学的中心
问题
)
。
牛顿在
1671
年写了《流数法和无穷级数
》，牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已
知连续运动的路径，
求给定时刻的速度（微分法）；
已知运动的速度求给定时间内经过的路
程
(
积分法
)
。
1686
年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的
符号学
< br>者之一，
他所创设的微积分符号，
远远优于牛顿的符号，
这对微积分的发展有极大的影响。
现在我们
使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
应该指
出，
这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，
牛顿和莱布
尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说
不一，十分含糊。
牛顿的无穷小量，
有时候是零，
有时候不是零而是有限的小量；
莱布尼茨的也不能
自
圆其说
。
这些基础方面的缺陷，最终导致了
第二次数学危机
的产生。
直到
19
世纪初，
法国科学学院的科学家以柯西为首，
对微积分的理论进行了认真研究，
< br>建立了
极限理论
，
后来又经过德
国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，
使
极限理论
成为了
微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、
具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。
在微积分的历史上
也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布
·
贝努利和他的兄弟约翰
·
贝努利、欧拉、法国的拉
格朗日、柯西
……
微积分发展史简述
微积分发展史简述
微积分的产生一般分为三个阶段：
极限概念；
求积的
无限小方法；
积分与微分的互逆关系
。
最后一步是由牛顿、
莱布尼兹完成
前
两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中
国毫不逊
西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前
7
世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想
< br>元前
4
世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无
内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元
26
< br>首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得
圆周率约等于
3
.1416
，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现
微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是
16
世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础
生和发
展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元
5
世纪祖恒求球体积的方法中都可找
北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》
独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。
南宋大数学家秦九韶于
1274
年撰写
了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次
（高次）方程近似解，比西方早
500
多年。
特别是
13
世纪
40
年代到
14<
/p>
世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法
本源
和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组
解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和
“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数
字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧
圆术、组合
数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出
作，其中许多都是微积分得以创立的关键。
< br>中国已具备了
17
世纪发明微积分前夕的全部内在条件，
已经接近了微积分的大门
惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治
的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在
分创立的最关键一步落伍了
。
微积分的诞生
微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科
学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如
微积分已是广大科学工
作
者以及技术人员不可缺少的工具。
微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊
时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是
分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有
“
一尺之锤，日取其半，万世不竭
”
的极限思想，公元
263
年，刘徽为《九间算
作注时提出了
“
割圆术
”
，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。
积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学
家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面
人没有用极限，是
“
有限
”
开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。
微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第
一个真正值得注意的先驱工作
于
1629
< br>年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又 给出了求
的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在<
/p>
17
世纪下半叶各自独立创立了微积分。
160
5
月
20
日，在牛顿手写的一面文件中开始有
“
流数术
”
的记载，微积分的诞生不妨以这一
天为标志。牛顿关于微积分的
很多写于
1665 -
1676
年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出
换算的公式，就是后来著
牛顿
-
莱而尼
茨公式。
牛顿是那个时代的科
学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话
开普勒发现行星运动规律
--
航海的需要，矿山的
开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞
必然的。<
/p>
牛顿于
1642
年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大
的科学天才，他对物理问题的洞
和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。
尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。
如果说牛顿从力学导致
“
流数术
”
，那莱布尼茨则是从几何学上考察
切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于
1684
《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早
3
年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。
莱布尼茨
1646
年生于莱比锡。
15
岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到
20
岁就熟练地掌握了一般课本
数学、哲学、神学和法学知识。莱布
尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号
“
dx
和
”∫”
被证明是很发用的。
牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二
者之间的联系。因而将他们两
列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布
尼茨早
10
年，但论文的发表要晚
3
年，由于彼此都是独立发现的
经长期争论谁是最早的发明者
就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。
微积分的思想
从微积分成为一门学科来说，是在
17
世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前
3
世纪，古希腊的数学
力学家阿基米德（公元前
287~
前
212
）的著
作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线
弓形面
积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限
理论来
早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇
”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭
三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之
弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在
1615
年
量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线
形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为
极限思想的佳作。意大利数学
家卡瓦列利在
1635
年出版的《连续不可分几何》，就把曲线
看成无限多条线段（不可分量）拼成
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
解析几何为微积分的创立奠定了基础
由于
16
世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。
到了
17
世纪，有许
多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。
笛卡尔
1637
年发表了《科学中的正确运
用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何
不
仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，
而且把点
标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间
的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以
曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系
。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何
各种量
之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“
形”
起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要
的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。
牛顿的“流数术”
数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。
17
世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到
步巩固、充实
和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量<
/p>
般性和它们之间的依赖关系。
到了
17<
/p>
世纪下半叶，
在前人创造性研究的基础上，
英国大数学家、
物理学家艾萨克
?
牛
顿
（
1642~1