浅谈微积分学的发展史
爆笑歇后语-
浅谈微积分学的发展史
1
引言
提
起
微
积
分
,
人
们
自
然
会
想
到
英
国
的
< br>牛
顿
（
Newton,1642
-1727
）
和
德
国
的
莱
布
尼
茨
（
Leibniz,1646-1
716
）
,
这主要是因为他们提出了微
积分的基本概念和运算方法
,
发现了微积分的内在
联系
,
建立了著名的牛顿——莱布尼茨公式．
但是微积分的发展远不止这些
,
它的发展过程
是数学家集
体智慧的结晶．微积分的发展大致可分为以下五个阶段：早期萌芽、酝酿时期
、创建期、发展期以
及严密完善期．
2
早期萌芽
微积分的萌芽出现得比较早．中国战国时代庄周所著的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰
,
日取
其半
,
万世不竭”及三国时期刘徽在他的“割圆术”中提到的“割之弥细
,
< br>所失弥少；割之又割
,
以至
于不
可割
,
则与圆周合体而无所失矣”
,<
/p>
就都蕴涵了无穷小的思想．古希腊数学家、力学家阿基米德在
公元
前三世纪依据前人的穷竭法
,
用
“切片
”
方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式
,
这其中就包
含了定积分的思想．但在当时
,
微积分并没有受到人们的关注．
3
酝酿时期
从
16
世纪中叶开始
,
微积分正式进入了
酝酿阶段．数学的发展与科学的进步紧密结合在一起
,
产
生了以下有待解决的问题：
（
1
）已知物体移动的距离表示为时间的函数
,
求物体在任意时刻的速度和加速度；反之
,
已
知物
体的加速度表示为时间的函数
,
求
速度和距离．
（
2
< br>）
求曲线的切线问题．
一般人们把切线定义为与曲线只相
交于一点且位于曲线的一边的这样
一条直线足够了．显然
,
对于一些较复杂的曲线就不适用了．
（<
/p>
3
）
确定抛射体获得最大射程时的发射角
及寻求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数
最大值、最小值问题．
（
4
）求曲线的长、曲线
围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体
（例如行星）作用
于另一物体上的引力等．
为解决科学发展所带来的这一系列问
题
,17
世纪上半叶被人们遗忘千年的微积分重又成为重点
研究对象
,
几乎所有的科学大师都竭力寻求
这些问题的解决方法
,
其中具有代表性成果的有：
3.1
笛卡尔“圆法”
[1](P111)
法国数学家笛卡尔（
1596-1650
）在《几何学》中提到了用代数方法求切线的所谓“圆法”
,
其方
法是：首先确定曲线
y
f
(
x
)
在点
P
(
x
,
f
(
x
))
处的法线与
x
轴的交点
C
的位置
,
然后作该
法线的过
1
点
P
的垂线
,
便可得到所求的切线．
如图
1
—
1
所
示
,
过
C
点作
半径为
r
CP
的圆
,
因为
CP
是曲线
2
“重交点”
．
如果
[
f
(
x
)]
是
y
f
(
x
)
在
P
点处的法线
,
那么点
P
应是该曲线与圆<
/p>
y
2
(
x
v
)
2
r
2
的
2
2
2
多项式
,
有“重交点”就相当于方程
[
f
(
x
)
]
(
x
<
/p>
v
)
r
有重根．但具有重根
x
e
的多项式的形
式
必
为
x
< br>e
2
c
i
x
i
,
笛
卡
尔
给
出
上
述
方
程
有
重
根
的
条
件
是
< br>：
f
x
2
x
v
2
r
2
x
e
2
< br>
c
i
x
i
,
用比较系数法求得
v
与
e
的关系
,
代入
e
x
,
得过点
P
的曲
线的斜率为
v
x
．
f
(
x
)
y
y
f
(
x
)
P
o
-
图
1
—
1
r
f
(
x
)
x
C
v
x
这一方
法在微积分的早期具有重要的影响
,
牛顿就是受笛卡尔方法的启
发而研究微积分的．
3.2
巴罗微分三角
[1](P111)
<
/p>
英国数学家巴罗（
1630-1677
）
在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的几何
法．具体方法是：如图<
/p>
1
—
2,
设有曲
线
f
(
x
,<
/p>
y
)
0
,
欲求其上一点
P
处
的切线
,
他考虑一段“任意小的
弧”<
/p>
PQ
,
它是由增量
QR
e
引起的
,
PQR
就是所谓的微分三角形．当这个三角形越来越小时
,
它与
TP
M
应
趋
近
于<
/p>
相
似
,
故
应
有
PM
PR
y
a
,
即
,
因
Q
,
P
在
曲
线
上
,
故
应
有
TM
Q
R
t
e
f
(<
/p>
x
e
,
y
a
)
f
(
x
,
y
)
0
,
消去一切包含有
e
,
a
的幂或二者乘积的项
,
解出
从而作出切线．
a
,
即得到切线的斜率
,
e
巴罗的方法和现在微积分的差异仅仅在于符号的不同
,
因此
对微积分的产生具有非常重要的贡
献．
2