几何学的发展简史
学美语-
几何学的发展简史
中国古代是一个在世界上数
学领先的国家，用近代数学科目来分类
的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三
角，中国古代数学在
各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了
与
古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。
< br>可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使
教材中有，但是
也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，
当然，学生也很少去看。
我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我
校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教
育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学
课中充分挖掘数
学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市
精神，渗透德育教育，探索出一条
符合学生特点的教学方法，通过师生
互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学
素养，是摆在我面
前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。
第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏
重立体几何）的发展简史。
第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。
第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、
内
容与教材内容的相关程度、
在几何史上地位的重要性等方面进行选取。
< br>
第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让
学生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。
数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比
较薄
弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在
国家提倡数学素质教育
,
那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了
提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题
的能力
，我选择了四道应用性较强的例题
:
平改坡问题
,
遮阳篷的角度
,
飞
机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力，
我
没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们
建立了数学模型后，
指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知
识解决数学问题。
我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数
学的历史，为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学
是多么有
用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好
还是数学成绩不理想的同学
都能对数学永远保持一分兴趣。
[
教案
]
教学目标：
（
1
）让学生大致了解几何学（主要是立体几何）学在中外的发展简
史；
（
2
）
通过使用古代数学家的方法解决问题，
让学生亲身体会中国
古
代科学家的成就；
（
3
）通过中外数学家的成就比较中外古代研究数学的思想的不同；
（
4
）通过学习过的立
体几何知识来解决一些实际问题。
教学重点：
割补法应用于解决实际问题
。
教学难点：
实际问题向数学模型的转化。
教学过程：
前
言
《九章》所蕴含的思想影响，必将
日益显著，在下一世纪中凌驾于
“
《原本》思想体系之上，不仅
不无可能，甚至说是殆成定局。
”
—
吴文俊
《汇校九章算术序》
[
引入
]
数学的历史就是“数
”
与“形
”
的发展史。我们的先民在从
野蛮走
向文明的漫长历程中，逐步认识了数与形的概念。
“
形
”
的意识也许跟人
类历史一样古老。例如：在中国出土的新石器时代的陶器大多为圆形或
其他规则形状，
陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，这些都
是几何知识的萌芽。
古埃及在齐阿普斯王朝
(
公元前
2900
年左右
)
时代建造起来的金字塔
,
其塔基是一个“标准
”
的正方形，各边的误差不超过万分之六。
希腊人创造了他们自己的文明和文化，对现代西方文化的发展影响
最大，对今日数学的奠基起了决定作用。
[
新课讲授
]
一﹑古希腊几何学
⒈古典时期
(
公元前
600
年到
公元前
300
年
)
< br>（
1
）泰勒斯（约前
640
—前
546
年）将埃及的实用几何带入希腊
，
开始证明几何命题。
（
2
）毕达哥拉斯（约前
585
—前
500
年）学派对图形进行广泛的研
< br>究。开头研究的一类问题叫面积应用问题。
几何上有三
个著名的作图问题：作一正方形使其与给定的圆面积相
等；给定正方体一边，求作另一正
方体之边，使后者体积两倍于前者体
积；用尺规三等分任意角。有好些数学结果是为解决
这三个问题而得出
的副产品。
（
3
）希波克拉底（前
5
世纪下半叶）已研究画圆为方及立方倍积
问题。
据说最早把
间接证明引用到数学里的是他。
他所著的几何书叫
《几
何原本》
，已经失传。
（
4
）德谟克利特（约前
460
—前
370
年）发现棱锥和圆锥的体积分<
/p>
别等于同底等高的棱柱和圆柱体积的三分之一（但是证明是由欧道克斯
作出的）
。他的几何著作很可能是欧几里德《几何原本》问世以前的重要
著作。
（
5
）亚里士多德（约前
384
—前
< br>322
年）创造了演绎逻辑，虽然他
的哲学对数学的直接
影响很少，但对古希腊的论证几何等数学的发展起
到明显的促进作用。他给“定义”
、
“定理”
、
“公
设”等以明确的解释。
（
6
）欧几里德（前
300
年左右生活在亚历山大城
并在该处授徒）著
《几何原本》
，
确立
几何学的逻辑体系，
成为世界上最早的公理化数学著
作。
《原本》共十三篇，第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五
篇
讲比例论；第六篇讲相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可
公度量的分类；第十
一、十二、十三篇是立体几何及穷竭法。
西方曾有两本影响最
广的书，一本是《圣经》
，另一本就是《几何原
本》
。
《原本》是使用时间最长的数学教科书。
《原本
》实际上是古希腊古
典时期一些个别发现的整理，是众多学者智慧的结晶，欧几里德对前
人
的成果加以整理、归纳、完善和发展，他依然是个大数学家。虽然它的
内容存在缺陷，
而且与现代教学趋势日益不相适应，
但
从历史的角度看，
它确实是一部伟大的著作，无愧于“西方数学的代表作”的称号。
这个时期的数学仅仅是定性的。那个时期的知识分子只限于搞哲学
和科学工作，不去搞商业和贸易；有教养的人不关心实际问题。他们就
< br>这样把数学思维和实际需要割裂开来，而且数学家也没有感到有去改进
算术方法和
代数方法的压力。只有当有文化的阶级与奴隶阶级之间的壁
垒在亚历山大时期被冲破而且
有教养的人关心实际事务的时候，重点才
转移到数量知识以及发展算术和代数方面。
⒉亚历山大时期
(
前
300
年到公元
600
年
)
阿基米德（前
28
7
—前
212
年）利用穷竭法求出球的
表面积和体积
公式
,
研究抛物弓形面积
,
给出π的范围
,
它的几何著作是希腊数学的顶峰。
大约从公元
1
世纪初起
,
亚历山大的
数学工作特别是几何工作开始衰
落
.
而
此时在东方的中国数学正蓬勃发展。
二、中国古代几何学
中国的几何有悠
久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲
骨文内已有“规”和“矩”两个字
,
规是用来画圆的
,
矩是用来画方的
.
春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提
高，中国开始了由奴隶制
向封建制的过渡，新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。
战国时
期人们通过田地及国土面积的测量，城池的修建，水利工程的设计等生
产生活实践，积累了大量的数学知识。
（
1
）
但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成
空前的浩劫，
西汉作
为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶
，便是
《九章算术》的成书。
它对于中国和东方数学，大体相当
于《几何原本》对于希腊和欧洲数学。
中国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性
质，
而要计算出长度、
面积、体积。在《九章算术》的方田章中
有各种多边形、圆、弓形等的
面积公式；商功章讨论了各种立体的体积公式。
《九章算术》后，中国的数学著述基本采用两种方式：一是为《九
章算术》做注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社
会经济和科学技术的大发展，到魏晋时期，思想文化领域中儒家的统治
地位被削弱，代之
以谈三玄——《周易》
、
《老子》
、<
/p>
《庄子》为主的辩难
之风。与此相适应，数学家重视理论研究，力
图把自先秦到两汉积累起
来的数学知识建立在必然可靠的基础之上。
（
2
）刘徽和他的《九章算术注
》便是魏晋时代造就的最伟大的数学
家和最杰出的数学著作。
该书前九卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相
补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积
公式的证明中引
入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方