芬斯勒几何一个充满生机的数学领域
教师誓词-
芬斯勒几何
:
一个充满生机的数学领域
标签：
曲率
度量
数学家
研究
空间
2006-12-02 20:10
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历史沿革
1854
年，黎曼著名演讲
[1]
发展了一类基于弧长
元素
ds=F(x1,„,xn,dx1，„，
dxn)
的度量几何（最初叫广义度量空间理
论）
.<
/p>
一个重要的特殊情形是
F2(x,dx)=gij(x)dxid
xj.
由此确定的几
何即是被后人命名的黎曼几何
.
黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，
推广了高斯在
二维曲面上的工作
.
对于一般的广义度量，黎曼给出了
一个具体例子：
F(x,y)={(y1)4+„+(yn)4}1/4,y=dx.
黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发
展，
但他认为计算将非常复杂，
因此很难对微分不变量赋予恰
当的几
何意义
.
最终黎曼只研究了具有
二次型限制的度量，
即黎曼度量
.1900
年，
Hilbert
在巴黎发表了关于
23
个数学问题的著名演讲，一般情
形的广义度量空间理论
包含在第
23
个问题“变分法”中
.<
/p>
在随后的
几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义
度量
.
其中
的主要代表人物就是
erg
，他在
1907
年引入了后来被
d
称为
Landsb
erg
曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一
个非黎曼几何量
.
1918
年，芬斯勒（
Paul Finsler,1894-
1970
）在哥延根大学完
成了他的博士论文
< br>.
在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓
的基本
张量
gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,
和
C-
张量（我们现在称为
Cartan
张量）
Cijk(x,y)=(gij/
yk)/2.
在黎曼几何情形，
gij(x,y)
正是基本张量
gij(x).Cartan
张量是非
常重要的，因为它刻划了一个芬斯勒流形偏
离黎曼流形的程度
.
事实上，一分芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要
条件是
Cartan
张量恒为零
.1927
年，
将广义度量空间的
几
何称为芬斯勒几何（现在人们也称其为黎曼
-
芬斯勒几何）
.
对芬斯勒几何真正作出重要
贡献的第一位数学家应该是
Ludwig
Berwald
（
1883-1942
），
他是第一个在芬斯勒空间中引入联络并将黎
曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几
何中的数学家
[2,3].Berwald
联
< br>络满足无挠（
torsionfree
）条件但并不与度
量相容
.Berwald
的贡献
还在于
：（
1
）利用
Berwald
联络刻划了
Landsberg
曲率，定义了<
/p>
Landsberg
空间
[3].
（
2
）引入了一类重要的、他称之为仿射连通
空
间的芬斯勒空间（
1925
年）（<
/p>
1938
年，
命
名这类空间为
Berwald
空间）
.
黎曼空间和局部
Minkowski
空
间均是特殊的
Berwald
空间
.1
981
年，Szabó
证明了：除黎曼空间和
< br>Minkowski
空间外，恰
好存在
< br>54
类不可约和整体对称非黎曼
Berwald
空间，使得所有其它
单连通和完备的
Berwa
ld
空间都能整体地分解为上述
56
种
空间的笛
卡尔积
[4].
（
3
）研究和发展了二维芬斯勒空间理论（
1927
年，
1941
年）
.
（
4
）在他身后发表的论文（<
/p>
1947
年）中，他定义和讨论了具
有标
量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量，
开创了芬斯勒几何中的一
个重要研究领域
.
1933
年，法国著名数学家
Elie Cartan(186
9-1951)
发表了他的
第一篇关于芬斯勒几何的论文，
主题是关于芬斯勒度量的共形变换的
若干注记，同时预告了他的确定
一个芬斯勒空间联络的公理系
统
.1934
年，
Cartan
发表了他关于芬斯勒几何的著名论文
[5]
，详细
介绍了他的确定芬斯勒空间联
络（我们称之为
Cartan
联络）的公理
系统
.Cartan
引入了线性元
（
line
element
）
空间
（即射影化切丛
PTM)
概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间
.Cartan
联络不满足
无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的
.Ca
rtan
联络与
Berwald
联络及
其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，
并
促进了芬斯勒几何在物理学、
生物
（态）
学等领域中的应用研究
.1941
年，
s
从广义相对论的研究中引出了一个形如
F(x,y)=
α
(x,y)+
β
(x,y)
的芬斯勒度量，其中
α
(x,y)
为一个黎曼度
量，代表引力
场；
β
(x,y)=bi(x)yi
为
一个
1-
形式，代表电磁
场
.Randers
度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应<
/p>
用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非常重要的角色
.
对任意芬斯勒流形（
M
，
F
）在
PTM
上有一个整体定义的微分形式
ω
:=Fyi
dxi,
称为
Hilbert
形式
.
（
M
，
F
）上曲线的长度恰由
ω
的积
分给出
.1943
年，数学大师
陈省身教授从
Hilbert
形式的外微分出发
研究了芬斯勒空间中的欧氏联络，
构造了我们现在称之为
Chern
联络
的一类重要联络
[6
].Chern
联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这
也使得
它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势
.1948
年，陈省身
教
授解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：
怎样才能确定两个已
知的芬
斯勒度量结构只差一个坐标变换？这一问题的解决再次涉及到了芬
斯勒空间中的欧氏联络及其曲率
[7].
利用
Chern
联络，
人们已将黎曼
几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，
并从其结构方程出发得
到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质（如见
[8]
）
.
在二十世纪五十年
代至六十年代初，
有两位数学家是值得一提的
.
一位是
Herbert Busemann
，他研究和
讨论了芬斯勒空间的体积形式，
为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、
探讨芬斯勒流形的整体性质
奠定了基础；
他还强调了研
究
Minkowski
何的重要性，
扩
展了人们对
芬斯勒空间的认识
.
另一位
是南非数学家
Hanno Rund
，他是这一时期
在芬斯勒几何领域的一位代表人物
.
的著作
[9]
曾激励了许多
年轻数学家开始研究芬斯
勒几何
.
在这一时期还崛起了两个重要的芬
斯勒几何研究群体：
以
Berwald
的学生
为代表的匈牙利研究
群体和
以
及
oto
为
代表的日本研究群体，
他们的研
究工作对后来芬斯勒几何的发展
产生了深刻影响
.
当我们
在回顾芬斯勒几何的发展历程时，
也应该注意到这样一个
事实：
自芬斯勒几何在
1918
年诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何
没有得到像黎曼几何那样的繁荣和普及，
许多重要内容并未得到
人们
的重视
.
一个主要原因是由于计算
的相对复杂性，一个简单的公式往
往会随着计算的深入很快变得非常复杂，
客观上制约了芬斯勒几何的
发展
.
< br>另一个主要的原因是，当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间
片面地看作黎曼空间
的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的结果推广
到芬斯勒几何，
却
对芬斯勒几何中的非黎曼几何量
（即那些在黎曼流
形上为零的几
何量）
认识不足，
忽略了对芬斯勒几何中那些与黎曼几
何不同的性质和结构的研究
.
幸运的是这种状况
从上世纪九十年代初
开始有了根本的变化
.
这首先要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导
和鼓励
.
凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人
数学家沈
忠民及
等人在这一时期发表了一系列重要成果
< br>（如见
[8,10]
），将芬斯勒几何带入了一个真正繁
荣的时期
.
同时，我们已
处在一个科技
时代，
运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现
实，这极
大地促进了对芬斯勒几何的研究
.
如人们已构造出大量具有
重要曲率性质的芬斯勒度量，
为对芬斯勒度量进行深入研究提供了重
要启示和支撑
.
近年来，
芬斯勒几何得到快速而长足的发展
.
芬斯勒几
何中的各种曲率
（黎曼几何量与非黎曼几何量）
已得到广泛关注和研
究，
它们对芬斯勒空间结构的影响也越来
越为人们所理解
（如见
[11]
）
.
与此同时，
芬斯勒几何的理论与方法在数
学及其它众多自然科学领域
中的应用价值也日益突出
（如见
[12,13]
）
.
芬斯勒几何已显现出充满
勃勃生机的发展势头
.
2
芬斯勒几何的若干重要进展
芬斯勒几何中的旗曲率（
flag
c
urvature
）是黎曼几何中截面曲
率的自然拓广
.
给定流形
M
上的一个
芬斯勒度量
F
，
旗曲率是切平面
P
和
P
中方向
y
的函数
K=K(P
，
y).
如果旗曲率只是切丛
TM{0
}
上的标
量函数
K=K(x,y)
，
我们称
F
具有标
量旗曲率
（
scalar
flag
curvagure
）
.
特别地，若
K=
常数，我们称
F
具有常数旗曲率
.
芬斯勒几何中的
一个
重要问题是研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，这也
是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题
.
芬斯勒几
何中与此相关
的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，
这是正则情形下
的
Hilbert
第
四问题
.
一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量
必然具有标量旗曲率
.
在黎曼几何情形，
Beltrami
证明了：一个黎曼
度量是射
影平坦的充分必要条件是它具有常曲率
.
然而，我们可以找
到无穷多个具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，它们是非射影平
坦的
.
人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们
的旗
曲率不是常数
.
这表明刻划和分类
具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒
度量的工作远比黎曼几何情形复杂，
< br>其内容也比黎曼几何情形要丰富
得多
.
< br>由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几
何中是非常重要的<
/p>
.
芬斯勒几何学家首先对
Randers
度量作了大量深
入研究
.2003
年，美籍华人数学家沈忠民（
）首先完成了
对射
影平坦且具有常数旗曲率的
Randers
度量的分类；
然后，
他又分别利
用
Taylor
展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数
旗曲率的芬
斯勒度量的局部度量结构；
在此基础上，
沈忠民与
等人运用黎
曼流
形上的
Zermelo
导航术完成了对具有常数旗曲率的
Randers
度量
的分类（见
[11]
）
.
日本数学家<
/p>
oto
等人也对具有常数旗曲
率的
Randers
度量的分类作了大量工作（如见
[13]
）
.
进一步，人们
研究了一类比
Randers
度量更一般化且在
生物（态）学、物理学等领
域中有重要背景的芬斯勒度量——（
α
,
β
）
-<
/p>
度量．
（
α
,<
/p>
β
）
-
度量
是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，
它们在芬斯勒几何中扮演了
一个非常重要的角色
.
近年来，人们之
所以能对芬斯勒几何中的各种