空间解析几何习题答案(新)
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
一、计算题与证明题
<
/p>
1
．已知
|
a<
/p>
|
1
,
|
b
|
4
,
|
c
|
5
,
并且
a
b
c
0
．
计算
a
b
b
c
c
a
．
解：因为<
/p>
|
a
|
1
,
|
b
|
4
,
|
c
|
5
,
并且
a
b
c
0
所以
a
与
b
同向，且
a
b
与
c
反向
因此
a
b
0<
/p>
，
b
c
0
，
c
a
0
所以
a
< br>b
b
c
c
a
0
2
．已知
|
a
b
|
3
,
|
a
b
|
4
,
求
|
< br>a
|
|
b
|
．
解
：
|
a
b<
/p>
|
a
b
cos
3
（
1
）
|
a
b
|
a
b
sin
4
（
2
）
(
1
)
2
2
2
得
a
< br>
b
2
25
所以
a
b
5
4
．已知向量
x
与
a
(,
1
,
5
,
2
)
共线
,
且满足
a
x
3
,
求向量
x
的坐标．
解：设
x
的坐标为
x
,
y
,
z
，又
a
1
,
5
,
2
则
a
x
x
5
y
2<
/p>
z
3
（
1
）
又
x
与
a
共线，则
x
a
0
即
i
j
k
x
y
z
y
z
x
y
x
y
1
< br>5
2
5
2
i
1
2
j
1
5
k
2
y
5
z
< br>
i
z
2
x
j
5
x
y
k
0
所以
2
y
5
z
2
z
2
x
2<
/p>
5
x
y
2
0
即
29
x
2
< br>5
y
2
26
z
2
20
yz
4
xz
10
xy
0
（
2
）
又
x
与
a
共线，
x
与
a
夹角为
0
或
cos
0
1
x
a
3
x
2
< br>
y
2
z
2
1
2
5
2
2
2
x
2
y
2
< br>z
2
30
整理得
x
2
y
2
z
2
3
10
（
3
）
联立
1
、
2
、
3
解出向量
x
的坐标为
1
1
1
10
,
2
,
5
< br>
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
6
．已知点
A
(
3
,
8
,
7
)
,
B
(
1
,
2
,
3
)
求线段
AB
< br>的中垂面的方程．
解：因为
A
3
,
8
,
7
,
B
(
1
,
2
,
< br>3
)
AB
中垂面上的点到
A
、
B
的距离相等，设动点坐标为
M
< br>x
,
y
,
z
，则由
MA
MB
得
x
3
2
y
8
2
z
7
2
化简得
2
x
3
< br>y
5
z
27
0
x
1
2
y
2
2
< br>z
3
2
这就是线段
AB
的中垂面的方程。
7
．
向
量
a
,
b
,
c
具<
/p>
有
相
同
的
模
,
且
两
两
所
成
的
角
相
等
,
若
a
,
b<
/p>
的
坐
标
分
别
为
(
1
,
1
,
0
)
和
(
0
,
1
,
1
)
,
求向量
c
的坐标．
解：
a
< br>
b
c
r
且它们两两所成的角相等，设为
则有
a
b
1
0
1
1
0
1
1
< br>则
cos
< br>a
b
1
2
a
b
r
设向量
c
的坐标为
x
,
y
,
z
<
/p>
则
a
c
1
x
1
y
0
z
x
y
a
b<
/p>
cos
r<
/p>
r
1
1
（
1
）
2
r
b
c
0
x
1
< br>y
1
z
y
z
b
c
cos
r
r
1
1
（
2
）
r
2
c
x
2
y
2
z
2
< br>
r
1
2
1
2
0
2
2
所以
x
y
z
2
（
3
）
2
2
2
1
x
3
x
< br>1
4
联立（
1
）
、
（
2
）
、
(3)
求出
y
0
或<
/p>
y
3
z
1
1
z
3
所以向量
< br>c
的坐标为
1
,
0
,
1
或
1
4
1
<
/p>
,
,
3
3
3
8
．已知点
A
(
3
,
6
,
1
)
< br>,
B
(
2
,
4
,
1
)
,
C
(
0
,
2
,
3
)
,
D
(
2
,
0
,
3
)
，
(1)
求以
AB
,
AC
,
AD
为邻边组成的平行六面体的体积．
(2)
求
三棱锥
A
BCD
的体积．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
(3)
求
BCD
的面积．
(4)
求点
A
到平面
BCD
的距离．
解：因为
A
3
，
0
，
1
，
B
2
,
4
,
1
<
/p>
,
C
0
,
2
,
3
,
D
2
,
0
,
3
所以
AB
1
,<
/p>
10
,
0
AC
3
,
8
,
2
AD
< br>
5
,
6
,
4
（
1
）
AB
,
AC
,
AD
是以它们为邻边的平行六面体的体积
1
10
0
V
3
8
2
3
100
0
0
120
12
176
< br>
5
6
4
（
2
）由立体几何中知道，四面体
ABCD
（三棱锥
A
BCD
< br>）的体积
V
1
1
88
T
< br>6
V
6
176
3
（
3
）因为
BC
2
，
2
，
2<
/p>
，
BD
4
，
4
，
4
i
j
k
BC
BD
2
2
2
16
i
16
j
0
k
< br>4
4
4
所以
BC
BD
16
2
16
2<
/p>
16
2
，这是
平行四边形
BCED
的面积
因此
S
1
BCD
2
S
1
□
BCED
2
16
2
8
2
(4)
设点
A
到平面
BCD
的距离为
H
，由
立体几何使得三棱锥
A
BCD
的体积
V
1
T
3
S
BCD
H
3
V
3
88
所以
H
T
3
11
S
8
2
2
11
2
2
BC
D
1
．求经过点
A
(
3
,
2
,
1
)
和
B<
/p>
(
1
,
2
,
3
)
且与坐标平面
xOz
垂
直的平面的方程．
解：与
xoy
平面垂直的平面平行于
y
轴，方程为
Ax
Cz
D
0
(1)
把点
A
3<
/p>
，
2
，
1
和点
B
1
，
2
，
3
< br>代入上式得
3
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子
，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
3
A
C
D
0
(2)
A
3
C
<
/p>
D
0
(3)
D
D
由（
2
）<
/p>
，
（
3
）得
A
,
C
2
2
D
D
代入（
1
）
得
x
z<
/p>
D
0
2
2
消去
D
得所
求的平面方程为
x
2
z
0
x
y
z
2
．求到两平面
< br>:
3
x
y
2
z
6
0
和
:
1
距离相等的点的轨迹方程．
2
5
1
解；设动点为
M
x
,
y
,
< br>z
，由点到平面的距离公式得
3
z
y
2
z
6
3
1
< br>
2
2
2
2
5
x
2
y
10
z
10
5
2
2
10
2
2
所以
3
x<
/p>
y
2
z
6
14
129
5
x
2
y
10
z
10
< br>
3
．已知原点到平面
的距离为
120,
且
在三个坐标轴上的截距之比为
2
:
6
:
5
,
求
的
方程．
解：设截距的比例系数为
k
，则该平面
的截距式方程为
x
y
z
1
2
k
6
k
5
k<
/p>
化成一般式为
15
x
5
y
6
z
<
/p>
30
k
0
又因点
O
0
,
0
,
0
到平面
的距离为
120
，则
有
30
k
15
<
/p>
求出
k
4
286
2
5
6
2
2
120
所以，所求平面
方程为
15
x
5
y
6
z
120
2
86
0
5
．
已知两平面
:
mx
7
y
6
z
<
/p>
24
0
与平面
:
2
x
3
my
11
z
19
0
相互垂直，
求<
/p>
m
的值．
解：两平面的法矢分别为
n
1
m
,
1
< br>,
6
，
n
2
2
,
3
m
,
11
，由
n
1
⊥
n
2
，得
2
m
21
m
66
0
求出
m
<
/p>
66
19<
/p>
6
．已知四点
A
(
0
,
0
,<
/p>
0
)
,
B
(,
2
,
5
,
3
)
,
C
(
0
,
1
,
< br>2
)
,
D
(
2
,
0
,
7
)
,
求
三棱锥
D
ABC
中
ABC
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
4
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
面上的高．
解：
已知四点
A
0
,
0
,
0
,
B
2
,
5
,
3
,
C
0
,
1
< br>,
2
,
D
2
,
0
,
7
,
则
DA
2
,
0
,
7
,
DB
< br>
0
,
5
,
4
,
DC
<
/p>
2
,
1
,
9
由
DA<
/p>
,
DB
,
DC<
/p>
为邻边构成的平行六面体的体积为
7
V
DA
,
DB
,
DC
2
0
0
5
4
2
1
9
90
0
0
70
0
8
< br>
90
70
8
28
由立体几何可知，三棱锥
D
ABC
的体积为
V
1
1
14
D
ABC
6
V
6
28
3
设
D
到平面
ABC
的高为
H
则有
V
1
D
ABC
3
H
S
ABC
所以
H
3
V
D
ABC
S
ABC
又
AB
2
,
5
,
3
,
AC
< br>0
,
1
,
2
i
j
k
AB
<
/p>
AC
2
5
3
7
i
4
j
2
k
< br>0
1
2
所以，
S
1
ABC
AB
AC
1
2
7
2
4
2
1
2
2
2
2
69
3
14
因此，
H
3
1
28
69
28
69
69
<
/p>
2
69
7
．已知
点
A
在
z
轴上
且到平面
:
4
x
2
y
7
z
14<
/p>
0
的距离为
7
,
求点
A
的坐标．
< br>
解：
A
在
z
轴上，故设
A
的坐标为（
0 0
z
）
，由点到平面的距离公式，得
<
/p>
7
z
14
4
2
2
2
< br>7
2
7
所以
<
/p>
7
z
14
69
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
5
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时
，你对梦想的偏执。
则
z
2
69
那么
A
点的坐标为
A
0
,
0
,
2
69
8
．已知点．
A
在
z
轴上且到点
B
(
0
,
2
,
1
)
与到平面
:
6
x
2
y
3
z
9
的距离相等
,
求点
A
的坐标。
解：
A
在
z
轴上，故设
A
的坐标为
0
,
0
,
z
，由两点的距离公式和点到平面的距离
公式得
0
2
1
z
< br>
2
2
2
3
z
9
6
2
3
2
2
2
化简得
4
0
z
74
z
229
0
因为
<
/p>
74
4
40
229
3116
4
0
2
2
方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。
1
．求经过点
P
(
1
,
2
,
0
)
且与直线
程．
x
1
y
1
z
1
x
y
z
1
和
都平行的平面的方<
/p>
1
1
0
1
1
0
，
1
，
0
，
v
2
1
，
1
，<
/p>
0
，平面与直线平行，则平面的法
解：两已知直线的方向矢分别为
v
1
1
矢
a
A
，
B
，
C
与直线垂直
由
a
⊥
v
1
，有
A
B
0
0
（
1
）
由
a
⊥
v
2
，有
A
B
0
0
（
2
）
联立（
1
）
，
（
2
）求得
A
0
,
B
0
,
只有
C
0
2
，
0
，代入平面一般方程得
又因为
平面经过点
P
1
，
0
1
0
<
/p>
2
C
0
D
0
所以
D
0
< br>故所求平面方程
Cz
0
，即
z
0
，也就是
xoy
平面。
2
．求通过点
P(1
< br>，
0
，
-2)
< br>，而与平面
3x-y+2z-1=0
平行且与直线
线的方程．
解：设所求直线的方向矢为
v
m
，
n
，
p
，
直线与平面
3
x
2
z
1
< br>0
平行，则
v
⊥
n
，有
6
x
1
y
3
z
相交的直
4
2
1
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！