空间几何体知识点归纳
shup-
第一章空间几何体
1.1
柱、锥、台、球的结构特征
（
1
）棱柱：定义
：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类
：以
底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
< br>表示
：用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE
A
'
B
< br>'
C
'
D
'
E
'
或用对角线的端点字母，如五
棱柱
AD
'
几何特征
：
两底面是对应边平行的全等多边形；
侧面、
对角面都是平行四边形；
侧棱平行且
相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（
2
）棱锥
定义
：
有一个面是多边形，
其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的几何
体
分类
：以底面多边形
的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示<
/p>
：用各顶点字母，如五棱锥
P
A
'
B
'
C
'
D
'
< br>E
'
几何特征
：
侧面、对角面都是三角形；
平行于底面的截面与底面
相似，其相似比等于顶点到
截面距离与高的比的平方。
（
3
）棱台：定义
：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类
：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示
：用各顶点字母，如五棱台
P
A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
<
/p>
几何特征
：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交
于原棱锥的顶点
（
4
）圆柱：定义
：以矩形的一边所在的直线为轴旋转
,<
/p>
其余三边旋转所成的曲面所围成的几
何体
几何特征
：
①底面是全等的圆；②母线
与轴平行；
③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图
是一个矩形
。
（
5
）圆
锥：定义
：以直角三角形的一条直角边为旋转轴
,
旋转一周所成的曲面所围成的几何
体
几何特征
：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇
形。
（
6
）
圆台：定义：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；
②侧面母线交于原圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个弓形。
< br>
（
7
）球体：定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径
。
1.2
空间几何体的三视图和直观图
1
三视图：
正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下
2
画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3
直观图：斜二测画法
4
斜二测画法的步骤：
（
1
）
.
< br>在已知图形中取相互垂直的
x
轴和
y
轴，两轴相交于
O
。画直观图时，
把它们画成
1 / 1
对应的
x
'
轴与
y
'
轴，两轴交于点
O
'
，且使
x
'
O
y
'
45
(
或
135
)
，它们确定的平面表示
水平面。
（
2
）
.
已知图形中平行于
x
轴或
y<
/p>
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x
'
轴或
y
'
轴
的
线段；
（
3
）
.
已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于
y
轴的线段，
长度为原来的一半。
5
用斜二测画法画出长方体的步骤：
（
1
）画轴（
2
）画底面（
3
）画侧棱（
4
）成图
'
1.3
空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2<
/p>
2
S
rl
r
2
圆柱的表面积
3
圆锥的表面积
< br>S
2
rl
2
r
2
2
2
4
圆台的表面积
S
rl
r
Rl
R
5
球的
表面积
S
4
R
（二）空间几何体的体积
1
柱体的体积
V
S
底
h
2
锥体的
体积
V
3
台
体的体积
V
（
S
上
1
S
底
h
3
1
3
S
上
S
下
S
下
)
< br>h
4
球体的体积
V
4
3
R
3
基础练习
1
选择题
1
．如图的组合体的结构特征是
()
1 / 1
A
．一个棱柱中截去一个棱柱
C
．一个棱柱中截去一个棱锥
[
答案
]
C
2
．有下列命题：
B
．一个棱柱中截去一个圆柱
D
．一个棱柱中截去一个棱台
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的有
()
< br>A
．
0
个
C
．
2
个
[
答案
]<
/p>
B
3
．
(2013
～
2014·
南京模拟
)
经过旋转可以得到图
1
中几何体的是图
2
中的
()
B
．
< br>1
个
D
．
3
个
[
答案
]
A<
/p>
4
．图中最左边的几何体由一个圆柱挖
去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的
圆锥而得．现用一个竖直的平面去截
这个几何体，则截面图形可能是
()
A
．
(1)(2)
C
．
(1)(4)
[
答案
]
D
5
．
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，则这个圆
锥的全面积是
()
A
．
3π
B
．
3
3π
C
．
6π
D
．
9π
1 / 1
B
．
(1)(3)
D
．
(1)(5)
解析：
设圆锥底面半径为
R
，
1
∴
·2
R
·
3
R
＝
3
，∴
R<
/p>
＝
1
，母线
l<
/p>
长为
2
，
2
∴
S
全
＝
π
R
2
＋
π
Rl
＝
π
＋
2π
＝
< br>3π.
答案：
A
6
．长方体三个面的面积分别为
2,6
和
9
，则长方体的体积是
()
A
．
6
3
B
．
3
6
C
．
11
D
．
12
<
/p>
解析：
设长方体长、宽、高分别为
a
，
b
，
c
，不妨设
ab
＝
2
，
ac
＝
6
，
bc
＝
9
，相乘得
(
abc
)<
/p>
2
＝
108
，∴
V
＝
abc
＝
6
3.
答案：
A
7
．
(2013·
湖北卷
)
一个几何体的三视图如图所示，
该几何体从上到下由
四个简单几何体组成，
其体积分别记为
V
1
，
V
2
，
V
3
，
V
4
，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均
为多面体，则有
()
A
．
V
1
<
V
2
<
V
4
<
V
3
B
．
V
1
<
V
3
<
V
2
<
V
4
< br>
C
．
V
2
<
V
1
<
V
3
<
V
4
D
．
V
2
<
V
3
<
V
1
<
V
4
答案：
C
8
．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是
1
∶
3
，这截面把圆锥
母线分成的两段的比是
()
A
．
1
∶
3
B
．
1
∶
(
3
－
1)
C
．
1
∶
9
D.
3<
/p>
∶
2
解析：
由题意可知，
截面面积与底面面积之比为
1
∶
3
，
∴截面半径与底面半径之比为
1
∶
3
，
∴这两段母线长之比为
1
∶
3
－
1.
< br>
答案：
B
1 / 1
二、填空题
1
．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是
________
．
[
答案
]
圆柱
2
．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可
能是
________(
填
序号
)
．
[
答案
]
④
3
．如图，已知长方体
A
BCDA1B1C1D1
，过
BC
和<
/p>
AD
分别作一个平面交底面
A1B1C1
D1
于
EF
、
PQ
，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是
____
____
．
解析：
三个几何体都是棱柱．
答案：
3
4
．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于
< br>________
．
解析：
通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，
通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为
2
，
侧棱长为
1
，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，
∴
S
表
＝
3
×
(2
×
1)
＋
2
×
3
×
2
2
< br>＝
6
＋
2
3.
4
1 /
1
答案：
6
＋
2
3
<
/p>
2
5
．
如图，<
/p>
已知圆柱体底面圆的半径为
cm
，
高为
2
cm
，
AB
、
CD
分别是两底面的直径，
AD
、
π
BC
是母线，若一只小虫从
A
点出发，从侧面爬行到
C
点，则小虫爬行的最短路线的长度是
________cm(
结
果保留根式
)
．
答案：
2
2
6
．
圆台的上、
下底面半径分别是
10 cm
和
20
cm
，
它的侧面展开图的扇环的圆心角是
180°
，
圆台的表面积是（）
分析：
由题目可获取以下主要信息：
①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；
②上、下底面面积易得，主要求侧面积．
解答本题可先把空间问题转化为平面问题，
即在展开图内求母线的长，
再进一步代入侧
面积公式求出侧面积，进而求出表面积．
解析：
如图所示，设圆台的上
底面周长为
C
，因为扇环的圆心角是
1
80°
，
故
C
＝
π·
SA
＝
2π
×
10
，
∴
SA
＝
20
，
同理
可得
SB
＝
40
，
∴
AB
＝
SB
－
SA
＝
20
，
∴
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
上
＋
S
下
2
＝
π(
r
1
＋
r
2
)·
AB
＋
π
r
2
1
＋
π
r
2
＝
π(10
＋
20)
< br>×
20
＋
π
×
10
2
＋
π
×
20
2
＝
1 100π(cm
2
)
．
故圆台的表面积为
1 100π
cm
2
.
1
/ 1
7 .
如右图所示，
在底半径为
2
，
母线长为
4
的圆锥中内接一个高为
3
的圆柱，
圆柱的表面积
为（）
3
2
－
x
解析：
圆锥高
h
＝
4
2
－
2
2
＝
2
3
，画轴截面积图
< br>(
如右图
)
，则
＝
.
故圆锥内接圆
2
2
3
柱的底半径
x
＝
1.
则圆柱的表面积
S
< br>＝
2π
×
1
2
＋
2π
×
1
×
3
＝
(
2
＋
2
3)π.
答案：
(2
＋
2
3
)π
强化提升
一选择题
1
．在棱柱中
()
A
．只有两个面平行
B
．所有的棱都平行
C
．所有的面都是平行四边形
D
．两底面平行，且各侧棱也互相平行
[
答案
]
D<
/p>
2
．下列命题中，正确的是
()
A
．有两个面互相
平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B
．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C
．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D
．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
[
答案
]
D
3
．
(2012
－
2013·
嘉兴高一检测
< br>)
如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两
个完全一样的是
()
1 /
1
A
．
(1)(2)
C
．
(3)(4)
[
答案<
/p>
]
B
[
解析
]
在图
(2)<
/p>
、
(3)
中，⑤不动，把图形折起，则②
⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故
图
(2)
、
(3)
完全一样，而
(1
)
、
(4)
则不同
[
解题提示
]
< br>让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．
4
．下列说法不正确的是
()
A
．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B
．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C
．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体
是圆锥
D
．圆台平行于底面的截面是圆面
<
/p>
[
答案
]
C
5
．
如右图所示
的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为
()
A
．一个球体
B
．一个球体中间挖出一个圆柱
C
．一个圆柱
D
．一个球体中间挖去一个长方体
<
/p>
[
答案
]
B
[
解析
]
圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选
B.<
/p>
6
．已知某空间几何体的三视图如图所
示，则此几何体为
()
B
．
(2)(3)
D
．
(1)(4)
1 / 1
A
．圆台
C
．四棱柱
[
答案
]
D
7
．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的
序号是
()
B
．四棱锥
D
．四棱台
A
．
(1)(2)
C
．
(3)(4)
[
答案<
/p>
]
D
8
．
(2012
－
20
13·
安徽淮南高三模拟
)
下列几何体
各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的
是
()
B
．
(2)(3)
D
．
(1)(4)
1 /
1
A
．①
②
B
．①③
C
．①④
D
．②④
[
答案
]
D
[
解析
]
①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相
同；
④圆台，正视图和侧视图相同．
[
点
评
]
熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基
本的要求．
下图是最基本的常见几何体的三视图
.
几何体
直观图形
正视图
侧视图
俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥
圆台
球
9
．给出
以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是
()
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A
．
0
C
．
2
[
答案<
/p>
]
C
[
解析
]
由斜二测画法规则可知，直观图保持线
段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，
角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③
错．
10
．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；<
/p>
③正方形的直观图是正
方形；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是
()
B
．
1
D
．
3
1 / 1