2018高考数学空间几何高考真题
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2017
年高考数学空间几何高考真题
一．选择题（共
< br>9
小题）
1
< br>．如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线
AB
与平面
MNQ
不平行的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．已知圆柱的高为
1
，它的两个底面的圆周
在直径为
2
的同一个球的球面上，
则该
圆柱的体积为（
）
A
．
π
B
．
C
．
D
．
3
．在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
为棱
CD
的
中点，则（
）
A
．
A
1
E
⊥
DC
1
B
．
A
1
E
⊥
BD C
．
A
1
E
⊥
BC
1
D
．
A
1
E
⊥
AC
4
．某三棱锥的三视图如图所示
，则该三棱锥的体积为（
）
A
．
60
B
．
30
C
．
20
D
．
10
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5
．某
几何体的三视图如图所示（单位：
cm
）
，则该几何体的体积（单位：
cm
2
）
是（
）
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
6
．如图，已知正四面体
< br>D
﹣
ABC
（所有棱长均相等的
三棱锥）
，
P
、
Q
、
R
分别为
AB
、
BC
、
CA
上的点，
AP=PB
，
=
=2
，分别记二面角
D
﹣
PR
﹣
Q
，
D
﹣
PQ<
/p>
﹣
R
，
D
﹣
QR
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ
，则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
< br>α
＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
<
/p>
7
．如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆
柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A
．
90π
B
．
63π
C
．
42π
D
．
36π
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1
．某
多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成，正方
形的边长为
2
，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中
有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（
）
A
．
10
B
．
12
C
．
14
D
．
16
<
/p>
2
．已知直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，∠
ABC=120°
，
AB=2
，<
/p>
BC=CC
1
=1
，则异面直线
AB
1
与
BC
1
所成角的余弦值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二．填空题（共
5
< br>小题）
8
．已知三棱锥
S
﹣
ABC
的所有顶
点都在球
O
的球面上，
SC
是球
O
的直径．若平
面<
/p>
SCA
⊥平面
SCB
，
SA=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S
﹣
ABC
的体积为
9
，则球
O
的表面
积为
．
9
．长方
体的长、宽、高分别为
3
，
2
，
1
，其顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的
< br>表面积为
．
10
．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表
面积为
18
，
则这个球的体积为
．
11
．由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
体积为
．
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12
．如图，在圆柱
O
1
< br>O
2
内有一个球
O
，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱
O
1
O
2
的体积
为
V
1
，球
O
的体积为
V
2
，则
的值是
．
三．解答题（共
9
< br>小题）
13
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AB
∥
CD
，且∠
BAP=
∠
CDP=90°<
/p>
．
（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
< br>PAD
；
（
< br>2
）若
PA=PD=AB=DC
，∠
APD=90°
，且四棱锥
P
﹣
ABCD
的体积为
，求该四棱
锥的侧面积．
14
．如图，四棱锥
P
﹣
ABCD
中，侧面
PAD
为等边三角形且垂直于底面
ABCD
，
AB=BC=
AD
，∠
BAD=
∠
ABC=90°
．
（
1
）证明：直线<
/p>
BC
∥平面
PAD
；
（
2
）
若△
PCD
面积为
2
< br>，求四棱锥
P
﹣
ABCD
的体积．
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15
．如图四面体
ABCD
中，△
ABC
是正三角形，
AD=CD
．
（
1
）证明：
AC
⊥
BD
；
（
2
< br>）已知△
ACD
是直角三角形，
AB=BD
，若
E
为棱
BD
上与
D
不重合的点，且<
/p>
AE
⊥
EC
，求
四面体
ABCE
与四面体
ACDE
的体积比．
1
6
．如图，直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的底面为直角三角形，两直角边
AB
和
AC
的长
分别为
4
和
2
，侧棱
AA
1
的长为
5
．
（
1
）求三棱柱
ABC
﹣<
/p>
A
1
B
1
C
1
的体积；
（
2
）设
M
是
BC
中点，求直线
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小．
17
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
⊥
AB
，
PA
⊥
BC
，
AB
⊥
BC
，
PA=AB=BC=2<
/p>
，
D
为线段
AC
的中点，
E
为线段
PC
上一点．
（
1
）求证：
PA
⊥
BD
；
（
2
）求证：平面
BDE
⊥平
面
PAC
；
（
3
）当
PA
∥平面
BDE
时，求三棱锥
E
﹣
BCD
的体积．
.
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18
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AD
⊥平面
PDC
，
AD
∥<
/p>
BC
，
PD
⊥<
/p>
PB
，
AD=1
，
BC=3
，
CD=4
，
PD=2
．
（Ⅰ）求异面直线
AP
与
B
C
所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：<
/p>
PD
⊥平面
PBC
；
（Ⅲ）求直线
AB
与平面
PBC
所成角的正弦值．
19
．如图，已知四棱锥
P
﹣
ABCD
，△
PAD
是以
AD
为斜边的等腰直角三角形，
BC
∥
A
D
，
CD
⊥
A
D
，
PC=AD=2DC=2CB
，<
/p>
E
为
PD
的中点
．
（Ⅰ）证明：
CE
∥平面
PAB
；
（Ⅱ）求直线
CE
与平面
PBC
所成角的正弦值．
20
．由四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥
C
1
﹣
B
1
CD
1<
/p>
后得到的几何体如图所示，
四边形
ABC
D
为正方形，
O
为
AC
与
BD
的交点，
E
为
AD
的中点，
A
1
E
⊥平面
ABCD
，
（Ⅰ）
证明：
A
1
O
∥平面
B
1
CD
1
；
（Ⅱ）设
M
是
OD
的中点，证明：平面
A
1
EM
⊥平面<
/p>
B
1
CD
1
．
.
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21
．
如图，
在三棱锥
A
﹣
BCD
中，
< br>AB
⊥
AD
，
< br>BC
⊥
BD
，
< br>平面
ABD
⊥平面
BCD
，
点
E
、
F
（
E
与
A
、
D
不重合）分别在棱
AD
，
BD
上，且
EF
⊥
AD
．
求证：
（
1
）
EF
∥平面
ABC
；
（
2
）
AD
⊥
A
C
．
3
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AB
∥
CD
，且∠
BAP=
∠
CDP=90°
< br>．
（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD<
/p>
；
（
2
）若
PA=PD=AB=DC
，∠
APD=90°
，求二面角
A
﹣
PB
﹣
C
的余弦值．
4
< br>．如图，四棱锥
P
﹣
ABCD<
/p>
中，侧面
PAD
为等边三角形且垂直于底
面
ABCD
，
AB=BC=
AD
，∠
BAD=
∠
ABC=90°
，
E
是
PD
的中点．
< br>（
1
）证明：直线
CE
∥平面
PAB
；
（
2
）点
M
在棱
PC
上，且直线
BM
与底面
ABCD
所成角为
45°
，求二面角
M
﹣
AB
﹣
D
的
余弦值．
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5<
/p>
．如图，四面体
ABCD
中，△
ABC
是正三角形，△
ACD
< br>是直角三角形，∠
ABD=
∠
C
BD
，
AB=BD
．
< br>
（
1
）证明：平面
ACD
⊥平面
ABC<
/p>
；
（
2
）过
AC
的平面交
B
D
于点
E
，若平面
AEC
把四面体
ABCD
分成体积
相等的两
部分，求二面角
D
﹣
AE
﹣
C
的余弦值．<
/p>
6
．如图，
在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABCD
为正方形，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
点
M
在线段
PB
上，
PD
∥平面
MA
C
，
PA=PD=
（
< br>1
）求证：
M
为
PB
的中点；
（
2
）求二面角
B
﹣
PD
﹣
A
的大小；<
/p>
（
3
）求直线
MC
与平面
BDP
所成角的正弦值．
，
AB=4
．
7
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
⊥底面
ABC
，∠
BAC=90°
．点
D
，
E
，
N
分别为
棱
PA
，
PC
，
BC
的中点，
M
是线段
AD
的中点，
PA=AC=4
，
AB=2
< br>．
（Ⅰ）求证：
MN
∥平面
BDE
；
（Ⅱ）求二面角
C
﹣
EM
﹣
N
的正弦值；
（Ⅲ）已知点
H
在棱
PA
上，且直线
NH
与直线
BE
所成角的余弦值为
，求线<
/p>
.
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段
AH
的长．
8
．如图，几何体是圆柱的一部分，
它是由矩形
ABCD
（及其内部）以
A
B
边所在
直线为旋转轴旋转
120°<
/p>
得到的，
G
是
（
Ⅰ）设
P
是
的中点．
< br>
上的一点，且
AP
⊥
BE
，求∠
CBP
的大
小；
（Ⅱ）当
AB=3
，
AD=2
时，求二面角
E
﹣
AG
﹣<
/p>
C
的大小．
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2017
年高考数学空间几何高考真题
参考答案与试题解析
一．选择题（共
7
< br>小题）
1
．如图，在下列四个
正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在
棱的中
点，则在这四个正方体中，直线
AB
与平面
MNQ
不平行的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答
】
解：对于选项
B
，由于
AB
∥
MQ
，结合线面平行
判定定理可知
B
不满足
题意；
对于选项
C
，由于<
/p>
AB
∥
MQ
，结
合线面平行判定定理可知
C
不满足题意；
对于选项
D
，由于
AB
∥
NQ
，结合线面平行判
定定理可知
D
不满足题意；
所以选项
A
满足题意，
故选：
A
．
2
．已知
圆柱的高为
1
，它的两个底面的圆周在直径为
< br>2
的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为（
）
A
．
π
B
．
C
．
D
．
【解答
】
解：∵圆柱的高为
1
，它的两个底面
的圆周在直径为
2
的同一个球的球
面上
，
∴该圆柱底面圆周半径
r=
=
，
.
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∴该圆柱的体积：
V=Sh=
故选：
B
．
=
．
3
．在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
为棱
CD
的
中点，则（
）
A
．
A
1
E
⊥
DC
1
B
．
A
1
E
⊥
BD C
．
A
1
E
⊥
BC
1
D
．
A
1
E
⊥
AC
【解答】
解：法一：连
B
1
C
，由题意得
BC
1
⊥
B
1
C
，
∵
A
1
B
1
⊥平面
B
1
BCC
1
，且
BC
1
⊂
平面
B
1
BCC
1
，
∴
A
1
< br>B
1
⊥
BC
1
，
∵
A
1
B
1
∩<
/p>
B
1
C=B
1<
/p>
，
∴
BC
1
⊥平面
A
1
ECB
1
，
∵
A
1
E
⊂
平面
A
1
ECB
1
，
∴
A
1
E
⊥
BC
1
．
< br>
故选：
C
．
法二：以
D
为原点，
< br>DA
为
x
轴，
< br>DC
为
y
轴，
< br>DD
1
为
z
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
ABCD
﹣
A
1
< br>B
1
C
1
D
1
中棱长为
2
，
则
A
1
（
2
，
0<
/p>
，
2
）
，
E
（
0
，
1
，
0
）
，
B
（
2
，
2
，
0
）
，
D
（
0<
/p>
，
0
，
0
）
，
C
1
（
0
，
2
，
2
）
，
A
（
2
，
0
，
0
）
，<
/p>
C
（
0
，
2
，
0
）
，
=
（﹣
2
，
1
，﹣
2
）
，
=
（﹣
2
，
0
，
2
）
，
∵
•
=
﹣
2
，
=
（
0
，
2
，
2
）
，
=
（﹣
2
，
2
，
0
）
，
=2
，
=0
，
=6
，
=
（
﹣
2
，﹣
2
，
0
）
，
∴
A
1
E
⊥
BC
1
．
故选：
C
．
.
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4
．某三棱锥的三视图如图所示，则
该三棱锥的体积为（
）
A
．
60
B
．
30
C
．
20
D
．
10
<
/p>
【解答】
解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积
=
故选：<
/p>
D
．
=10
．
5
．某几
何体的三视图如图所示（单位：
cm
）
，则该几何体的体积（单位：
cm
2
）
是（
）
.
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.
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
【解答】
解：由几何的三视图可知，该几何
体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为<
/p>
1
，三棱锥的底面是底边长
2
的等腰直角三角形，圆锥的
高和棱锥的高相等均为
3
，
故该几何体的体积为
×
×
π
×
1
2
×
3
+
×
×
故选：
A
×
×
3=
+
1
，
6
．如图，已知正四面体
D
﹣
ABC
（所有棱长均相等的三棱锥）
，
P
、
Q
、
R
分别为
AB
、
< br>BC
、
CA
上的点，
AP=PB
，
=
=2
，分别记二面角
D
﹣
PR
﹣
Q
，
D
﹣
PQ
﹣
R
，
D
﹣
QR<
/p>
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ<
/p>
，则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
α
< br>＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
【解
答】
解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△
ABC
的中心为
O
．
.
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.
不妨设
OP=3
．
则
O
（
0
，
0
，
0
）
，
P
（
0
，
﹣
3
，
0
）
，
C
（
0
< br>，
﹣
6
，
0
）
，
D
（
0
，
0
，
6
Q
=
=
，
R
，
，
=
（
0
< br>，
3
，
6
．
，可得
，
）
，
=
（
，
5
，
0
）
，
=
）
，
，
设平面
PDR
的法向量为
=
（
x
，
y
，
z
）
，则
可得
=
则
cos
=
，取平面
ABC
的法向量
=
（
0
，
0
，
1
）
．
=
，取
α=ar
ccos
．
．
同理可得：
β=arccos
∵
＞
＞
．
．
γ=arccos
∴
α
＜
γ
＜
β
．
解法二：如图所示，连接
OP
，
OQ
，
OR
，过点
O
分别作垂线：
OE
⊥<
/p>
PR
，
OF
⊥<
/p>
PQ
，
OG
⊥<
/p>
QR
，垂足分别为
E
，
F
，
G
，连接
DE
，
DF
，
DG
．
设
OD=h
．
则
tanα=
．
，
tanγ=
．
< br>
同理可得：
tanβ=
由已知
可得：
OE
＞
OG
＞
OF
．
∴
tanα
＜
tanγ
＜
tanβ
，
α
，
β
，
γ
为锐角．
∴
α
＜
γ
＜
β
< br>．
故选：
B
．
.
.
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.
.
.
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.
.
7
．如图
，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实线画出的是某几何体的三
视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A
．
90π
B
．
63π
C
．
42π
D
．
36π
【解答】
解：
由三视图可得，
直观图为一个完整的圆柱减去一个高为
6
的圆柱
的
一半，
V=π•3
2
×
10
﹣
< br>•π•3
2
×
6=63π
，
故选：
B
．
.
.
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.
.
.
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.
.
<
/p>
1
．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形
和等腰直角
三角形组成，正方形的边长为
2
，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面
中有若干个是梯形，这些梯形的面积
之和为（
）
A
．
10
B
．
12
C
．
14
D
．
16
【解答】
解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S
梯形
=
×
2
×（
2
+
4
）
=6
，
<
/p>
∴这些梯形的面积之和为
6
×
2=12
，
故选：
B
2
．已知
直三棱柱
ABC
﹣
A
< br>1
B
1
C
1
中，∠
ABC=120°
，
AB=2
，
BC=CC
1
=1
，则异面直线
AB
1
与
BC
1
所成角的余弦值为（
）
.
.
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.
.
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答
】
解：
【解法一】如图所示，设
M
、
N
、
P
分别为
AB
，
BB
1
和
B
1
C
1
的中点，
则
AB
1
、
BC
1
夹角为
MN
和
NP
夹角或其补角
（因异面直线所成角为（
0
，
可知
MN=
AB
1
=
NP=
BC
1
=
；
，
]
）
，
作
BC
中点
Q
，则△
PQM
为直角三角形；
∵
PQ=1
，
MQ=
AC
，
△
ABC
中，由余弦定理得
AC
2
=AB
< br>2
+
BC
2
﹣
2AB•BC•cos
∠
ABC
=4
+
1<
/p>
﹣
2
×
2
×
1
×（﹣
）
=7
，
∴
AC=
∴
MQ=
，
；
=
；
在△<
/p>
MQP
中，
MP=
在△
PMN
中，由余弦定理得
cos
∠
MNP=
=
]
，
．
=
﹣
；
又异面直线所成角的范围是（
0
，
∴
AB
1
与
BC
1
所成角的余弦值为
.
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.
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.
.
【解法二】如图所示，
补成四棱柱
ABCD
﹣
A
1
B
1
C<
/p>
1
D
1
，求∠<
/p>
BC
1
D
即可；
BC
1
=<
/p>
C
1
D=
∴
，
BD=
，
+
BD
2
=
，
=
，
∴∠
DBC
1
=9
0°
，
∴
c
os
∠
BC
1
D=
=
．
二．填空题（共
5
< br>小题）
8
．已知三棱锥
S
﹣
ABC
的所有顶
点都在球
O
的球面上，
SC
是球
O
的直径．若平
面<
/p>
SCA
⊥平面
SCB
，
SA=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S
﹣
ABC
的体积为
9
，则球
O
的表面
积为
36π
．
【解答】
解：三棱锥
S
﹣
ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
是球
< br>O
的直径，
若平面
SCA
⊥平面
SCB
，
SA
=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S
﹣
ABC
的体积为<
/p>
9
，
可知三角
形
SBC
与三角形
SAC
都是等腰直角三角形，设球的半径为
r
，
可得
，解得
r=3
．
.
.
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.
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.
.
球
O<
/p>
的表面积为：
4πr
2
< br>=36π
．
故答案为：
36π
．
9
．长方体的长、宽、高分别为
3
，
2
，
1
，其顶点都在球
O
的
球面上，则球
O
的
表面积为
14π
．
【解答】
解：长方体的长、宽、高分别为
3
，
2
，
1
，其顶点都在球
< br>O
的球面上，
可知长方体的对角线的长就是球的直径，<
/p>
所以球的半径为：
则球
O
的表面积为：
4
×
故答案为：
14π
．
10
．已
知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为
18
< br>，
则这个球的体积为
．
=
．
=14π
．
【解答】
解：设正方体的棱长为
a
，<
/p>
∵这个正方体的表面积为
18
，
∴
6a
2
=18
，
则
a
2
=3
，即
a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即
a=2R
，
即
R=
，
<
/p>
则球的体积
V=
π•
（
）
3
=
故答案为：
11
．由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
体积为
2
+
．
．
；
.
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.
【解
答】
解：由长方体长为
2
，宽为
1
，高为
1
，则长方
体的体积
V
1
=2
×
1
×
1=2
，
圆柱的底面半径为
1
，高为
1
，则圆柱的体积
V
2
=
×
π
×
1
2
×
1=
则该几何体的体积
V=V
1
+
2V
1
=2
+
故答案为：
2
+
12
．如图，在圆柱
O
1
O<
/p>
2
内有一个球
O
，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱
O
1
O
2
的体积为
V
1
，球
O
的体积为
V
2
，则
的值是
．
．
，
，
【解答】
解：设球的半径为
R
，则球的体积为：
圆柱的体积为：
πR
2
•2R=2πR
3
．
则
=
=
．
R
3
，
故答案为：
．
三．解答题（共
< br>9
小题）
13
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABC
D
中，
AB
∥
CD
，且∠
BAP=
∠
CDP=90°
．
.
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