复数思想在平面几何中的应用
breather-
复数思想在平面几何中的应用
一、基本思想
用复数解几何问题的重
要依据是复数的向量表示。凡是能用平面向量运算能解的题目，也一定可以用
复数运算来
求解，而且由于复数乘法用来实现向量的旋转，比向量解法显得更简便，使一些问题几乎只留
下直截了当的计算，而不必多费脑筋。解题的关键在于熟练掌握复数运算的几何意义。
二、复数的表示及常用结论
（<
/p>
1
）
复数
z
x
yi
与复平面上的点
(
x
,
y
)
建立一一对应。
|
z
|
表示点
z
到原点的距离，给定复数
z
，以
原点为起点，以
z
为终点作向量<
/p>
oz
，在复平面上，复数
z
也可与向量
oz
建立一一对应。因此，我们在应
用中记号
z
同时可表示复数
z
、点
z
，以及向量
oz
而不加以区别。
（
2
）
z
<
/p>
r
(cos
i
sin
)
re
i
<
/p>
是复数表示的三角形式及指数形式。
r
|
z
|
，
是实轴正向到向量
oz
< br>的
旋转角，有无穷多个值，规定
0
2
时，称为辐角主值，记为
arg
z
。
（
3
）
复数加减法与平面向量加减法的平行四边形法则一致。
|
z
1
z
2
|
表示
z
1
与
z
2
间的距离，且有不等式
z
1
z
2
z
1
z
2
z
1
z
2
。前（后）一个不等式成立的充
要条件是
z
1
与
z
2
反（同）向。
（
4
）
复数乘法的几何意义是
向量的旋转和伸缩，具体地为
①
z<
/p>
e
表示将向量
oz
旋转
角。
②
z
(
R
)
表示将
z
伸缩到
原来的
倍。
（
5
）定比分点公式
设
z
1
、
< br>z
2
是直线
l
< br>上的两个定点，
R
，
z
是
l
上任一点，且
i
z
1
z
，则
z
1
z
2
z
< br>
(1
)
z
1
z
2
，特别地，线段
z
1
z
2
的中点
z
又
ABC
重心
G
< br>
z
1
z
2
。
2
A
B
C
，且由此得
3
z
1
,
z
2
,
z
3
共线
存在不全为零的实数
1
,
2
,
3
使<
/p>
1
2
3
0
且
1
z
1
2
z
2
3
z
3<
/p>
0
.
若
z
1
,
z
2
,
z
3
不
共
线
，
< br>且
存
在
实
数
1
,
2
,
3
同
时
满
足
1
2
3
< br>
0
且
1
z
1
2
z
2
3
z
3
0
，
则
1
< br>2
3
.
（
6
）三角形的面积公式
设
z
1
z
2
z
3
是复平面上一个正向三角形（
z
1
,
z
2
,
z
3
按逆时针方向绕行）
，则
1
S
z
1
z
2
z
3
1
Im(
z
1
z
2
z
2
z
3
<
/p>
z
3
z
1
)
2
证明：
如图
因为
ar
g
z
3
z<
/p>
1
z
z
1
，所以
e
i
3
z
2
z
1
z
2
z
1
z
3
z
1
|
z
2<
/p>
z
1
|
(
z
3
z
1
)
z
2
z
1
|
z
3
z
1
|<
/p>
(
z
2
z
1
)
S
1
1
|
z
2
z
1
|
|
z
3
z<
/p>
1
|
sin<
/p>
|
z
2
z
1
|
|
z
3
z
1
|
Im(
e
i
)
2
2
|
z<
/p>
z
|
(
z
z
)
1
|
z
2
z
1
|
|
z
3
z
1
|
<
/p>
Im
2
1
3
1
2
|
z
3
z
1
|
(
z
< br>2
z
1
)
(
z
z
)
1
Im
|
z
2
z
1
|
2
3
1
(
|
z
|
2
zz
)
2
(
z
2
z
1
)
1
Im[(
z
2
z
1
)(
z
3
z
1
)]
2
1
Im(
z
1
z
2
z
2
z
3
z
3
z<
/p>
1
)
2
由该结论，又有
z
1
,
z
2
,
z<
/p>
3
共线
z
1
z
2
z
2
z
3
z
3
z
< br>1
R
.
（
7
）
n
个
n
次单位根将原点为圆心的单位圆
n
等分，
即
z
1
的根为
0
1,
1<
/p>
e
以原点为圆心的单位圆的内接正
n
边形的顶点，且有
n
i
2
n
,
,
n<
/p>
1
e
i
2(
n
1)
n
是
1
2
2
,
1
3
3
,
,
1<
/p>
n
1
n
1
.
（
8
）
z
1
z
< br>2
z
3
为正向正三角形的充要条
件是：
z
1
z
2
<
/p>
z
3
0
，其中
e
2
2
i
2
3
是一个
3
次单位根。
（
1
0
）
2
或
u
z
1
uz
2
z
3
0
，其中
u
e
3
.
<
/p>
（
u
2
u
1
,
u
3
1
）
证
明
：
若
z
1
z
2
z<
/p>
3
为
正
向
正
三
角
形
，
则
，
且
z
1
z
2
到
z
1
z
3
扫
过
的
有<
/p>
向
角
为
i
，
即
3
z
3
z
1
(
z
2
z
1
)
e
3<
/p>
(
z
2
z
1
)
u
，
由此可得
(
u
1
1<
/p>
z
)
u
2
z
2
2
u
1
u
，又
< br>z
0
3
i
故上式写为
< br>u
z
1
uz
2
z
3
0
.
另
外，由此式反推回去可证明
z
1
z
2
z
3
为正向正三角形。
（
9
）
复平面上任意三点不共线的四点
A
、
B
、
C
、
D
形成平行四
边形
A
＋
C
＝
B
＋
D
（即对角线互相平分）
.
2
三、例题分析
例
1
延长△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
到
A
、
B
、
C
<
/p>
，使
CA
:<
/p>
BC
AB
<
/p>
:
CA
BC<
/p>
:
AB
. <
/p>
证明：
ABC
与
A
B<
/p>
C
有相同的
重心。
证明：
设
CA
:<
/p>
BC
AB
<
/p>
:
CA
BC<
/p>
:
AB
由定比分点公式有
A
(1
)
C
B
，
B
(1
)
A
C
，
C
(1
< br>
)
B
A
，
故
A
B
C
A
B
C
，从而重心坐标相同。
■
例
2
凸四
边形对边中点的连线叫做此四边形的中位线。
若某凸四边形两中位线长度之和等于周长之
半，
求
：
此
四边形为平行四边形。
(1980
年苏联列宁格勒数学竞赛试题
)
<
/p>
证明：
设此四边形的四顶点的复数表示为
A
、
B
、
C<
/p>
、
D
，利用中点公式，则题目的条件是<
/p>
A
B
C
D
B
C
D
A
1
(|
A
B
|
|
B
C
|
|
C
D
|
|
D
A
|)
2
2
2
2
2
于是
(
A
D
)
(
B
C
)
(
B
A
)
(
C
< br>D
)
|
A
B
|
|
B
C
|
|
C
D
|
|
D
A
< br>|
由此可见，在下列不等式
(
A
D
)
(
B
C
)
A
D
< br>B
C
，
3
(
B
A
)
<
/p>
(
C
D
)
B
A
C
D
，
中均应成立等号，这必须且只须
A<
/p>
D
(
B
C
)
，
B
A
(
C
D
)
，其中
0,
0
由此得
A
D
(
B
C
)
，
A
B
(
D
< br>
C
)
，
我们得出等式
D
(
B
C
)
B
(
D<
/p>
C
)
即
(
1)
B
(
)
C
(1
)
D
< br>
0
又
(
1)
(
<
/p>
)
(1
)
0
，且
B
、
C
、
D
不共线，从而
1
，故
DA
CB
，
故
ABCD
为平行四边形。
例
3
P
为正方形
ABCD
内一点，
BMNP
、
APEF
都是与<
/p>
ABCD
有相同转向的正方形。
求证
：
AM
//
FC
且
AM
FC
.
证明
：设
P
为复平面的原点，由
BM
i
BP
,
AP
i
AF
,
BC
i
BA
知
< br>
M
(
i
1)
B
,
F
(1
i
)
A
,
C
(
i
1)
B
iA
4
故
AM
M
A
B
< br>(
i
1)
A
，
FC
C
F
(
i
1)<
/p>
B
iA
(1
i
)
A
(
i
1)
B
A
即
AM
FC
，故
AM
//
FC
且
AM
FC
.
■
例
4
以四边
形
ABCD
的各边为斜边向外作等腰直角三角形
ABP
、
BCQ
、
CDR
、
DAS.
求证
：
RP
⊥
QS
且
RP
＝
QS
.
A
B
A
B
i
2
2
C
< br>
D
C
D
B
C
B
C
D
A
D
A
i
，
Q
i
，
< br>S
i
，
同理可得
R
2
2
2
2
2
2
证明
：由
PB
i
PA
知
P
计算
<
/p>
A
B
C
D
A
B
C
D
i
2
2
D
A
B
<
/p>
C
D
A
B
C
QS
S
Q
i
< br>
2
2
RP
P
R
∴
QS
i
RP
，故
R
P
⊥
QS
且
R
P
＝
QS.
■
例
5
（
87
年全国
MO
）
如图，
ABC
和
ADE
是两个不全等的等腰直角三角
形，
B
D
90
，现
固
5