平面几何高考经典大题文科
苏武牧羊歌曲-
1·
如图，四棱锥
S
-ABCD
的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的<
/p>
2
倍，
P
为侧棱
SD
上的点。
（Ⅰ）求证：
AC
⊥
SD
；
（Ⅱ）若
< br>SD
⊥
平面
P
< br>AC
，求二面角
P-AC-D
的
大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱
SC
上是否存在一点
E
，
使得
BE
∥平面
PAC
。若存在，求
SE
：
EC
的值；若不存在，试说
w.w.w.
.s.5.u.c.o.m
w.w.
明理由。
2
·
如图，
四棱锥
P-ABCD
中，底面
ABCD
为平行四
边形，∠
< br>DAB=60
°
,AB=2
AD
,
PD
⊥底面
ABCD
.
(
Ⅰ
)
证明：
PA
⊥
< br>BD
；
(
Ⅱ
)
若
PD
=
AD
，求二面角
A-PB-C
的余弦值。
3
·如图，直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
1
中，
AC
BC
2
AA
1
，
D
是棱
AA
1
的中点，
DC
1
BD
< br>（
1
）证明：
DC
1
BC
（
2
）求二面角
A
1
BD
C
1
的大小。
z
P
D
C
x
A
B
y
1
·
解法一
：
（
Ⅰ）
连
B
D
，
设
AC
交
BD
于
O
，<
/p>
由题意
SO
A
C
。
在正方形
ABCD
中，
AC
BD
，
所以
AC
平面
SBD
,
得
AC
SD
.
(
Ⅱ
)
设正方形边长
a
，则
SD
又
OD
2
a
。
2
a
，所以
SOD
6
0
0
,
2
w.w.w.
s.5.u.c.o.m
连
OP
，由
（Ⅰ）知
AC
平面
< br>SBD
,
所以
AC
OP
,
且
AC
OD
,
所以
POD
是二面角
P
AC
D
的平面角。
由
SD
平面
PAC
,
知
SD<
/p>
OP
,
所以<
/p>
POD
30
0
,
即二面角
P
AC
D
的大小为
30
0
。
（Ⅲ）在棱
SC
上存在一点
E
，使
BE
//
平面
PAC
由（Ⅱ）可得
PD
2
a
，故可在
SP
上取一点
N
,
使
PN
PD
,
过
N
作
PC
的平行
4
线与
SC
的交点即为
E
。连
BN
。在
BD
N
中知
BN
//
PO
，又由于
NE
//
PC
,
故平面
,
故
SE
：
EC
21
.
BEN
//
平面
PAC
，得
BE
//
平面
PAC
,
由于
SN
：
NP
21
：
：
解法二：
（Ⅰ）
；连
BD
,
设
AC
交于
BD
于
O
，由题意知
SO
平面
ABCD
.
以
O
为坐
OC
，
OS
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向，建立坐标系
O
xyz
如图。
标原点，
OB
，
设底面边长为
a
，则高
SO
6
a
< br>。
2
于是
S
(0,0,
6
2
a
),
D
(<
/p>
a
,0,0)
2
2
C
(0,
2
6
2
2
a
,0,
a
)
a
,0)
O
C
(
0
,
a
,
0
)
SD
(
2
2
2
2
w.w.
w.
.s.
w.w.
w.
.s.
5.u.c.o.m
OC
SD
0
故
O
C
S
D
从而
<
/p>
A
C
S
D
(
Ⅱ
)
由题设知，
平面
PAC
的一个法向量
DS
(
2
6
a
,0,
a
)
，平面
DAC
的
2
2
一个法向量
OS
<
/p>
)0,0,
OS
DS
3
6
a
)
，设所求二面角为
，则
cos
,
所求二面角
2
2
OS
DS
的大小为
30
0
（Ⅲ）在棱
SC
上存在一点
E
使
BE
//
平面
PAC
.
由（Ⅱ）知
DS
是平面
PAC
的一个法向量，
（
且
DS
2
6<
/p>
2
6
a
,0,<
/p>
a
),
CS
<
/p>
(0,
a
,<
/p>
a
)
2
2
2
2
w.w.w.
s.5.u.c.o.m
设
CE
tCS
,
则
< br>BE
BC
< br>CE
BC
< br>tCS
(
< br>而
BE
DC
0
t
2
2
6
a
,
a
< br>(1
t
),
< br>at
)
2
2
2
1
3
w.w.
w.
.s.
5.u.c.o.m
即当
SE
:
EC
2:1
时，
BE
DS
< br>
而
BE
不在平面
PAC
内，故
BE
//
平面
PAC
2<
/p>
·
解析
1
：
（Ⅰ）因为
DAB
60
,
AB
2
AD
,
由余弦定理得
BD
3
AD
从而
BD
+AD
=
AB
，故
BD
AD;
又
PD
底面
ABCD
，可得
BD
PD
2
2
2
z
P
所以
BD
平面
PAD.
故
PA
BD
（Ⅱ）如图，以
D
为坐标原点，
AD
的长为单位长，射线
DA
为
D
C
x
轴的正半轴建立空间直角坐标系
D-
xyz
，则
A
1
,0,0
,
B
0
，
3,0
,
C
1,
3,0
,
P
0,0,1
。
x
A
B
y
uu
u
v
uu
v
uu
u
v
AB
(<
/p>
1,
3,0),
PB
(0,
3,
< br>
1),
BC
(
1,0,0)
n
AB
0
设平面
PAB
的法向量为
n
=<
/p>
（
x,y,z
）
，则
,
n
PB
0
即
x
3
y
0
3
y
z
< br>0
因此可取
n
=
(
3,1,
3)
m
PB
0
设平面
PBC
的法向量为
m
，则
m
BC
0
可取
m=
（
0
，
-1
，
3
）
cos
< br>m
,
n
4
2
7
7
2
7