立体几何(3)
芒果慕斯蛋糕-
立体几何
一．
本专题高考要求
立体几何是湖北高考
理科必考的重点内容之一，是考查学生空间想象能力的最好手段。
高考对这一部分的要求
是：
1.
会读图，会识图：能根据给出的三视图，能正确地作出几何体的直观图，并能正确地根
据
三视图标示出图中各线段的位置关系及数量关系；能根据给出的直观图，能正确地判
断出
图中各元素之间的位置关系。
2.
会作图：
能根据题中的文字叙述，
能正
确地想象出几何体，
并能作出正确的几何直观图。
3.
会用图：
能根据图中的已知元素之间的数量关系及位置关系，
根据几何性质及相关定理，
能正确地推导出未知元素之间的数量关系及位置关系。
4.
会计算：通过立体几何中求角（
线线角、线面角、面面角）
、距离（点面距离）以及表
面积及体
积的计算，考出学生的计算能力
,
以及对图行进行分解组合的能
力。
二．命题预测：
纵观
2012
、
2013<
/p>
年这两年的新课标湖北理科高考，立体几何部分题量都是一大一小两
个，
2012
年湖北高考理科第
4<
/p>
题是已知几何体的三视图，计算其体积，几何大题为
19
题；
2013
年湖北
高考理科第
8
题是已知几何体的三视图，比较其四部分的体积大
小，几何大题
仍为
19
题。因此，我个
人认为，
2014
年的湖北高考，立体几何部分，仍然会是两个
，一个
大题，
一个小题。
大题不外乎证
明或判断几何体中元素之间的位置关系，
计算几何体中的角
或体
积（距离）
，探究在某条线段上或某个平面内上是否存在某个点满足某个条件（即探索<
/p>
性问题）
。像
2013
< br>年高考，几何大题第二问是证明三个角之间的函数关系，在
2014
年高考
中，我认为出现这样的题型的可能性不大。立体几何小题，我个人预测
，
2014
年高考，将
会还是以三视图
为主，但难度会有所增加。
三．考纲变化：
从公布的
2014
年湖北高考考试说明中，可以看出在立体几何这一部分中，立体几
何初
步中，点、直线、平面间位置关系的考查内容，
“
公理
1
、
2
、
3
、
4
和定理
”
调整为
“
空间图
形的公理和定理②
”
，层次依然为
“
了解
”
；新增加了
“
异面直线
所成的角、直线与平面所成的
角、二面角的概念
”
这一部分内容，其考查层次是
“
了解
”
。
我个人认为
2014
年高考立体几何新增加了空间中三种角的概念的考查内容，意在强
调
对这三种角的概念理解，
意味着在考查这三种角时，
用几何法作出角会较容易求解。
故在几
何复习中
，要强调用几何法求这三种角。不能光用向量法求解。
四．本专题内容设计：
基于考纲和近
两年的湖北新课标高考，
本专题拟设计两个小专题，
一是针对几
何小题的
复习，主要以三视图内容为主，兼顾其它；二是针对几何大题的复习，主要以线
、面位置关
系：平行与垂直的判断与证明，角度与体积的计算，探索性问题这三个方面为
主。
针对小题的复习大概
1
课时，针对大题的复习大概
4
课时。
所选例题、练习题、训练题，力争最新，并尽量带有示范性。
第二部分：说课稿
立体几何小题
2013
年的高考，全国理科数学
19
套试卷中，几何小题有以下题型：
题型
< br>1
：已知一个几何体的三视图，求几何体的表面积或体积；或者已知一个几何体的
三视
图中的两个，
正确地选择第三个或选择直观图；
；
以这种方式考查的省份有新课标卷Ⅰ
8
题，广东卷
5
题，浙江卷
12
题，辽宁卷
13
题，
陕西卷
12
，湖北卷
8
题，重庆卷
5
题，四
川卷
3
，新课标卷Ⅱ
7
题；以这种方式考查几何知识的省份现在仍是大多数。
题型
2
：
用符号语
言给出已知线与面的位置关系，判断未知的线与面的位置关系，以这种方
式考查的省份有
新课标卷Ⅱ
4
题，广东卷
6
题，浙江卷
10
题，特别一提的浙江卷
10
题，给
出了几何新定义，
给人耳目一新的感觉。
以这种方式考查符号语言、
线面关系
的省份已经不
多了。
题型
3
：已知一个几何体，或者一个几何体的三视图，求其外接球的半径或体积
，以这种方
式考查的省份有福建卷
12
题，辽宁卷
10
题，以这种方式考查几何知识的省份也不多了。
题型
4
：求
给定几何体中的指定元素之间的数量关系或位置关系，以这种方式考查几何知识
的有山东
卷
4
题，江苏卷
8
题，以这种方式考查几何知识的省份也不多了。
题型
5
：用运动的观点来考查几何体的图形长度、面积变化，以这种方式
考查的省份有北京
卷
14
题，安徽卷<
/p>
15
题，湖南卷
7
题
.
这种题型有一定难度，要引起注意。
题型
1
：
已知一个几何体的三视图，求几何体的表面积或体积；或者已知一个几何体的三视
图中
的两个，正确地选择第三个或选择直观图；
例
1.(1)
（
2012
湖北理
4
）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为
A.
8
10
B.3π
C.
D.6π
3
3
解析：
选（
B
）
，由三视图可知，该几何体是
高为
2
的圆柱与同底面高也为
2
的圆柱的一半。
(2) (2013
课标全国
Ⅰ
，理
8)
某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为
(
)
．
A
．
16
＋
8π
B
．
8
＋
8π
C
．
16
＋
16π
D
．
8
＋
16π
答案：
A <
/p>
解析：
由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，
由图中数据可知圆柱底面半径
r
＝
2
，
长为
4
，
在长方体中，
长为
4
，
宽为
2
，
高为
2
，
所以几何体的
体积为
π
r
2
×
4×
＋
4×
2×
2
＝
8π
＋
16.
故选
A.
练习：
1.
（
2013
湖北理
8
< br>）
一个几何体的三视图如图
5
－
11
－
3
所示
，该几何体从上到下由四个简
单几何体组成，其体积分别记为
V
1
，
V
2
，
V
3
，
V
4
，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两
个简单几何体均为多面体，则有
(
)
1<
/p>
2
图
5
－
11
－
3
A
．
V
1
<
V
2
<
V
4
<
V
3
B
．
V
1
<
V
3
<
V
2
<
V
4
< br>C
．
V
2
<
V
1
<
V
3
<
V
4
D
．
V
2
<
V
3
<
V
1
<
V
4
解析：由图知组成该几何体的从上
到下的简单几何体为圆台，圆柱，棱柱，棱台，其体
28
7π<
/p>
28
积分别为
V
1
＝
，
V
2<
/p>
＝
2π
，
V
3
＝
8
，
V
4
＝
，选
C.
3
3
3
2.
（
2013
四川
3
）
一个几何体的三视图如图
1
－
2
所示，
则该几
何体的直观图可以是
(
)
7
3
图
1
－
2
图
1
－
3
答案．
D
[
解析
]
根据三视图原理，该几何体上部为圆台，下部为圆柱．
题型
2<
/p>
：用符号语言给出已知线与面的位置关系，判断未知的线与面的位置关系。
例
1.
（
< br>1
）
（
2013
新课标理Ⅱ卷
4
）
、已知
m
,
n
为异面直线
，
m
平面
，
n
平面<
/p>
。直
线
l
满足
l
m
，
l
n
，
l
，
l
，则（
）
（
A
）
/
/
且
l
/
/
< br>
（
B
）
且
l
（
< br>C
）
与
相交，且交线垂直于
l
（
D
）
与
相交，且交线平行于
l
答案：
D
[
解析
]
本题主要考查空间线面关系的判定，若
< br>
//
，由题中条件可知
m
//
n
，与题中
m
,
n
为异面
直线矛盾，故
A
错；若
l
则有
l
//
n
，与题设条件
l
n
矛盾，故
B
错；由于
m
<
/p>
,
n
，则
m
,
n
都垂直于
,
的交线，而
m
和
n<
/p>
是两条异面直线，可将
m
平移至
与
n
相交，此时确定一个平面
< br>
，则
,
的交线垂直于平面
，同理也有
l
，故<
/p>
l
平行
于
,
的交线，
D<
/p>
正确
C
错。
<
/p>
（
2
）
（
2013
浙江理
10
）
．
在空间中，
过点
A
作平面
π
< br>的垂线，
垂足为
B
，
记
B
＝
f
π
(
A
)
．
设
α
，
β
是两个不同的平面，对空间任意一点
P
，
Q
1
＝
f
β
[
f
α
(
P
)]
，
Q
2
＝
f
α
[
f
β
(
P
)]
，恒有
PQ
1
＝
PQ
2
，
则
(
< br>
)
A
．平面
α
与平面
β
垂直
B
．平面
α
与平面
β
所成的
(
锐
)
二面角为
45°
C
．平面
α
与平面
β
平行
D
．平面
α
与平面
β
所成的
(
锐
)
二面角为
60°
答案
．
A
[
解析
]
当
α
⊥
β
，且
α
∩
β
＝
b
，设
f
α
(
P
)
＝
A
，则
P
A
⊥
α
，
Q
1
＝
f
β
[
f
α
(<
/p>
P
)]
＝
f
β
(
A
)
，故
AQ
1
⊥
β
；
同理设
f
β
(
P
)
＝
B
，则
PB
⊥
β
，
Q
< br>2
＝
f
α
[
f
β
(
P
)]
＝
f
α<
/p>
(
B
)
，故
BQ
2
⊥
α
，故
AQ
1
∥
PB
，
P
A
∥
BQ
2
，所
以
Q
1
和
Q
2
重合，恒有
PQ
1
＝
PQ
2
，选择
A.
练习：
3.(2013
广东理
6)
设
m
，
n
是两条不同的直线，
α
，
β
是两个不同的平面．下列命题中正
确的是
(
)
．
A
．若
α
⊥
β
，
m
α
，
n
β
，则
m
⊥
n
< br>
B
．若
α
∥
β
，
m
α
，
n
<
/p>
β
，则
m
∥
n
C
．若
m
⊥
n
，
m
α
，
n
β
，则
< br>α
⊥
β
D
．若
m
⊥
α
，
m
∥
n<
/p>
，
n
∥
β
，则
α
⊥
β
答案：
D
解析：<
/p>
选项
A
中，
m<
/p>
与
n
还可能平行或异面，故不正确；
选项
B
中，
m
与
n
还可能异面
，故不正确；
选项
C
中，
α
与
β
< br>还可能平行或相交，故不正确；
选项
< br>D
中，
∵
m
⊥
α
，
m
∥
n
，
∴
n<
/p>
⊥
α
.
又
n
∥
β
，
∴
α
⊥
β
.
故选
D
．
题型
3
< br>：已知一个几何体，或者一个几何体的三视图，求其外接球的半径或体积
例
3.
（
2
013
辽宁理
10
）
< br>已知三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的
6
个顶点都在球
O
的球面上，若
A
B
3
,
AC
4
,
AB<
/p>
AC
,
AA<
/p>
1
12
，则球
O
的半径为
A
．
3
17
1
3
B
．
2
10
C
．
D
．
3
10
2
2
答案：
C
解析：
过
C
点
作
AB
的平行线，过
B
点作
AC
的平行线，交点为
D
，同理过
C
1
作
A
1
B
1<
/p>
的平行线，过
B
1
作
A
1
C
1
的平行线，
交点为
D
< br>1
，
连接
DD
< br>1
，
则
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
恰好成为球
3
2
4
2
12
2
13
.
故选
C.
的一个内接长方体，故球
的半径
r
＝
2
2
练习：
4.
棱长为
2
的正四面体的外接球半径为
。
题型<
/p>
4
：求给定几何体中的指定元素之间的数量关系或位置关系
.
（略讲）
例
4(2013
山东，理
4)
已知三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面垂直，体积为
9
< br>，底面是
4
边长为
3
的正三角形．
若
P
为底面
A
1
B
1
C
1
的中心，
则<
/p>
P
A
与平面
AB
C
所成角的大小为
(
)
．
A
．
5
π
π
π
π
B
．
C
．
D
．
12
3
4
6
9
，
底面正三角形的边长为
< br>3
，
可求得棱柱的高为
3
.
4
2
2
答案：
B
解析：
如图所
示，
由棱柱体积为
设
P
在平面
ABC
上射影为
O
，则可求得
AO
长为
1
，故
AP
长为
1
3
2
故
∠<
/p>
P
AO
＝
π
π
，即
P
A
与平面
ABC
所成的角为
.
3
3
题型
5<
/p>
：用运动的观点来考查几何体的图形长度、面积变化
例
5.
（
1
）
(2013
届高考湖南理
7)
已知棱长为
1
的正方体的俯视图是一个面积为
1
的
正方形，则该正方体的正视图的面
积不可能
等于
（
）
．．．
A
．
1
B
．
2
C
．
答案：
C
解析：
根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为
2
c
os
θ
，如图所示．
2-1
2+1
D
．
2
2
故正视图的面积为
S
＝
2
cos
θ
(0
≤
θ
≤
∴
1
≤
S
≤
2
，
而
π<
/p>
)
，
4
2
1
2
1
<1
，故面积不可能
等于
.
2
2
（
2
）
（
20
13
届高考安徽理
15
）如图，正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1<
/p>
D
1
的棱长为
1
，
P
为
BC<
/p>
的中
点，
Q
为线
段
CC
1
上的动点，过点
A
,
P
,
< br>Q
的平面截该正方
体所得的截面记为
S
。则下列命题正确的是
_________
（写
出所有正确命题的编号）
。
①当
0
CQ
②当
CQ
1
时，
S
为四边形
2
1
时，
S
为等腰梯形
2
3
1
③当
CQ
时，
S
与
C
1
D
1
的交点
R
满足
< br>C
1
R
1
4
3
3
④当
CQ
1
时，
S
为六
边形
4
⑤当
CQ
1
时，
S
的面积为
答案：
①②③⑤
解析：
如图，
设截面
S
分别与直线
CD
,
DD
1
,
CC
1
,
C
1
D
1
交于
M
,
N
,
Q
,
R
。
因为
P<
/p>
为
BD
中
点
，
所
以
CM
AB
DC
,
即
M
为
定
点
，
N
为
射
线
DD
< br>1
上
的
动
点
，
且
6
2
DN
2<
/p>
CQ
,
AN
<
/p>
2
PQ
.
通过确
定
N
点再作出截面
S
< br>与
A
1
D
1
,
C
1
D
1
的交点
S
,
R
,
得到答案
①②③⑤。
N
D
1
R
C
1
B
1
S
A
1
Q
D
C
M
P
（
3
）
（
2012
年北京朝阳区二模理
8
）
有一个棱长为
1
的正方体，
按任意方向正投影，
其投影
面积的最大值是（
）
A
．
1
B
．
答案：
D
解析：
根据正方体的对称性，不妨研究俯视图的情况。为表述方
便，不妨假设正方体上有点
在投影面内，根据正方体与投影面的公共点的情况，分以下三
种情形：
情形
:1
< br>：当正方体的一个面在投影面上时，俯视图是边长为
1
的
正方形，投影面积为
1
；
情形
2
：当正方体的一条棱在投影面上时，其俯视
图的形状为矩形，其宽为
1
，长最小为
1
，
最长为正方体面对角线
2
，故投影面积最大值是
2
；
情形
3
：
当正方体的一个顶点在投影面上时，
不妨设为点
A
，
则面
BCC
1
B
1
、
面
A
1
B
1
< br>C
1
D
1
、
和面
CDD
1
C
1
的投影与面
ABCD
、面
ADD
1
A
1
和面
ABB
1
A
1
的投影相互重叠，其投影面为
3
2
C
．
2
D
．
3
2
B
1
B
C
D
D
1
，易知
A
B
C
< br>
D
、
A
B
B
1
A
1
和
A
D
D
1
A
1
均为平行四边形，其面积之
六边形
A
1
B
D
面积的
2
倍。当
AC
< br>1
垂直于投影面，即
A
1
B
D
平行于投影面时，其投影
和等于
A
1
B
D
面积的
2
倍，即
3
。
六边形面积最大，为正三角
形
A
1
综合
上述三种情形，边长为
1
的正方体正投影面积的最大值为
3
，选
D
。
练习：
6.
已知正三棱柱
ABC
－
A
′
B
′
C
< br>′
的正视图和侧视图如图所示．
设
△
ABC
，
△
A
′
B
′
C
′
的中心分
别是
O
，
O
′
，
现将此三棱柱绕直线
OO
′
旋转，射线
OA
旋转所成的角为
x
弧度
(
x
可以取到任
B
1
B
1
B
C
C
1
A
1
D
1
B
C
A
1
A
D
A
D
D
1
意一个实数
)
，对应的俯视图的面积为
S
(
x
)
，则函数
S
(
x
)
的最大值为
________
；最小正周期
为
________
< br>．
[
答案
] 8
π
3
[
解析
]
由三视图还原可知，原几何体是一个正三棱柱横放的状态，则俯视图对应的是
一个矩形，由旋转的过程可知
S
(
x
)
取得最大值时俯视图的投影是长为
4
，宽为
2
的矩形，即
π
π
S
(
x
)
max
＝
8
，又每旋转
个单位又回到初始状态，故周期为<
/p>
.
3
3
第三部分：
立体几何小题训练题
1.
一个长方体被一个平面截去一部
分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，
则该几
何体的侧视
图可以为
(
)
解析
：
由正视图与俯视图可知，
该几何体是一个长方体被截去一个三
棱锥而形成的，
其
形状如图所示：
故该几何体的侧视图可以为
B.
2.
（
2
014
届高三武汉武昌区元月
6
）已知
以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则
不是该三棱锥的三视图是
答案：
D
3.
（
2014
届高三武汉二月调考<
/p>
11
）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为
．
3
π
答案：
＋
3
2<
/p>
4.
（
2014
届高三湖北部分重点中学第二次联考
6
）三棱柱的侧棱与底面垂
直，且底面是边长
为
2
的等边三角形，
其正视图
(
如图所示
)
的面积为
8
，则侧视图的面积为
A. 8
B. 4
C.
4
3
D.
3
答案：
C
5.
（
2013
辽宁理
13
）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
是
.
答案
16
16
解析
:
直观
图是圆柱中抽出正四棱柱。
1
1
正视图
V
2
2
4
2
2
4
16
16
6.
（
20
12
辽宁理
13
）一个几何体的三视图
如图所示，则该几何体的表面积为
__________
．
答案为：
38
解析：
由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，
长方体
表面积为
2×
(4×
3+3×
1+4×
1)
＝
38
，圆柱的侧面积为
2π
，上下两个底面积和为
2π
，
所以该几
何体的表面积为
38+2π
－
2π
＝
38
．
7.
（
2012
湖南
理
3
）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯
视
图不可能是（
）
答案为：
D
8.
（
2013
新
课标理Ⅱ
7
）一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O-xyz
中的坐标分别是
（
1
，
0
，
1
）
，
（
1
，
1
，
0
）
，
（
1
，
1
，
1
< br>）
，
（
0
，
0
，
0
）
，画该四面体三视图中的正视图时，以
zOx
< br>平面为
投影面，则得到正视图可以为
答案：
A
解析
:
该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图
如图
所示，该四面体在空间直角坐标系
O<
/p>
－
xyz
的图像为下图：
则它在平面
zOx
上的投影即正视图为
，故选
A.
9.
（
2013
浙江理
12
）若某几何体的三视图
(
单位：
< br>cm)
如图
1
－
3
所示，则此几何体的体积等
于
________cm
3
.
图
1
－
3
答案
．
24
[
解析
]
此
几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为
1
1
×
3×
4×
5
－
×
×
3×
4×
3
＝
24.
3
2
10.(2013
广东理
5)
某四棱台的三视图如图
1
所示，则该四棱台的体积是
1
2
A
．
4
B
．
C
．
D
．
6
答案：
B
解析：
方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，
其中上、下底面分别是边长为
1,2
的
正方形，且
DD
1
⊥
< br>面
ABCD
，上底面面积
S
1
＝
1
2
＝
1
，下底面面积
S<
/p>
2
＝
2
2
＝
4.
又
∵
DD
1
＝
2
，
1
(
S
1
＋
S
< br>1
S
2
＋
S
2
)
h
3
1
14
＝<
/p>
(1
＋
1
4
＋
4)×
2
＝
.
3
3
∴
V
台
＝
方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．
在四棱台
ABCD
< br>－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形
ABCD
与四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
< br>都为正方形，