平面解析几何(解析版)
摄影教程-
专题
05
平面解析几何
1
．【
2019
年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆
C
的焦点为
F
1
(
1,0
)
，
F
2
(
1,0
)
，过
F
2
的直线与
C
交于
A
，
B
两点．若
|
AF
2
|
2
|
F
2
B
|
，
< br>|
AB
|
|
BF
1
|
，则
C
的方程为
< br>x
2
y
2
1
A
．
2
x
2
y
2
1
B
．
3
2
< br>x
2
y
2
1
D
．
5
4
x
2
y
2
1
C
．
4
3
【答案】
B
【解析】法一：如
图，由已知可设
F
2
B
n
，则
AF
2
2
n
,
BF
1
AB
3
n
，
由椭圆的定义有
2
a
BF
1
< br>
BF
2
4
n
,
AF
1
2
a
AF
2
<
/p>
2
n
．
4
n
2
9
n
2
9
n
2
1
在
△
AF
1
B
中，由余弦定理推论得
cos
<
/p>
F
1
AB
．
2
2
n
3
n
3
在
< br>△
AF
1
F
2
中，由余弦定理得
4
n
4
n
2
2
n
< br>
2
n
2
2
1
3
4
，解得
n
．
3
2
x
2
y
2
2
a
4
n
2
< br>3
,
a
3
,
b
a
c
3
1
2
,
所求椭圆方程为
1
，故选
B
．
3
2
2
2
2
法二：由已知可设
F
2
B
n<
/p>
，则
AF
2
<
/p>
2
n
,
BF
1
AB
3
n
，
由椭圆的定义有
2
a
<
/p>
BF
1
BF<
/p>
2
4
n
,
AF
1
2
a
AF
2
2
n
．
4
n
2
4
2
2<
/p>
n
2
cos
AF
2
F
1
4
n
2
在
△
AF
1
F
2
和
△
BF
1
< br>F
2
中，由余弦定理得
2
，
2
n
4
2
n
2
cos
BF
2
F
1
9
n
又
AF
2
F<
/p>
1
,
BF
2
F
1
互补，
cos
AF<
/p>
2
F
1
cos
BF
2
F
1
0
，两式消去
cos
A
F
2
F
1
,<
/p>
cos
BF
2
F
1
，得
3<
/p>
n
2
6
11
n
2
，解得
n
3
．
2
a
4
n
< br>2
3
,
a
3
,
b
2
a
2
c
2
3
1
2
,
< br>所求椭圆方
2
x
2
y
2
程为
1
，故选
B
．
3
2
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落
实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
2<
/p>
．【
2019
年高考全国
Ⅱ
卷理数】若抛物线
y
=2<
/p>
px
(
p
>0)
的焦点是椭圆
A
．
2
C
．
4
【答案】
D
2
x
2
3
p<
/p>
y
2
p
1
的一个焦点，则
p
=
B
．
3
D
．
8
x<
/p>
2
y
2
p
p
2
1
的一个焦点，
【解析】
因为抛物线
y
2
px
(
p
0)
的焦点
(
,0)
是椭圆
所以
3
p
p
(
< br>)
，
3
p
p
2
2
2
解
得
p
8
，故
选
D
．
【名
师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛
物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
p
的方程，
从而解出
p
，
或者
利用检验排除的方法，
如
p
2
时，
抛物线焦点为（
1
，
0
）
，椭
圆焦点为（
±2
，
0
< br>）
，排除
A
，同样可排除
B
，
C
，从而得到选
D
．
x
2
y
2
3
．【
2019
年高考全国
Ⅱ
卷理数】设
F
为双曲线
C
：
2
2
1(
a
< br>
0,
b
0)
的右焦点，
O
为坐标原点，以
a
b
OF
为直
径的圆与圆
x
2
y
2
a
2
交于
P
，
Q
两点．若
PQ
OF
，则
C
的离心率为
A
．
2
C
．
2
【答案】
A
【解析】设
PQ
与
x
< br>轴交于点
A
，由对称性可知
PQ
x
轴，
B
．
3
D
．
5
|
PA
|<
/p>
又
Q
PQ
|
OF
|
c
，
∴
|
OA
|
c
,
< br>PA
为以
OF
为直径的圆的半径
，
2
c
<
/p>
c
c
，
P
,
，
2
2
2
c
2
c
2
c
2
c
2
2<
/p>
2
2
又
P
点在圆
x
y
a
上，
a
，即
a
,
e
2
2
．
2
a
4
4
2
2<
/p>
2
e
2
，故选
A
．
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求
解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
避免代数法从头至尾运算繁
琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化
练习，才能在
解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出
P
点坐
标，代入圆的方程得到
c
与
a
的关系，可求双曲线的离心率．
x
2
y
2
4
．【
2019
年高考全国
Ⅲ
卷理数】双曲线
C
：
=1
的
右焦点为
F
，点
P
在
C
的一条渐近线上，
O
为
4
2
坐标原点，若<
/p>
PO
=
PF
，则
△
PFO
的面积为
A
．
3
2
4
B<
/p>
．
3
2
2
C
．
2
2
【答案】
A
D
．
3
2
【解析】由
a
2
,
b
2
,
c
a
2
b
2
6
,
< br>Q
PO
PF
< br>,
x
P
6
，
2
又
P
在
C
的一条渐近线上，不妨设为在
y
b
b
2
6
3
x
上，则
y
P
x
< br>P
，
a
a
2
2
2
S
△
PFO
1
1
3
3
2
，故选
A
．
OF
y
P
6
2
2
2
4
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻
辑推理和数学运算素
养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视
圆锥曲线方程和两点间的距离公式
的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形
的高，便可求三角形面积．
1
x
2
y
2
5
．【
2019
年高考北京卷理数】已知椭圆
2
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为
，则
2
a
b
A
．
a
2
=2
b
2
C
．
a
=2
b
【答案】
B
【解析】椭圆的离心率
e
故选
B.
【名师点睛】本题考查
椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识
､
基本
运算能力的考查
.
由题意利用离心率的定义和
< br>a
,
b
,
c
的关系可得满足题意的等式
.
<
/p>
6
．【
2019
年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
C
< br>：
x
2
y
2
1
|
x
|
y
就
是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
B
．
3
a
2
=4<
/p>
b
2
D
．
3
a
=4
b
c
1
2
,
c
a
2
b
2
，化简得
3
a
< br>2
4
b
2
，
a
2
①曲线
C
恰好经过
6
个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线
C
上任意一点到原点的距离都不超过
2
；
③曲线
C
所围成的
“
心形
”
区域的面积小于
3
．
其中，所有正确结论的序号是
A
．①
C
．①②
【答案】
C
B
．②
D
．①②③
|
x
|
3<
/p>
x
2
3
x
2
4
2
【解析】由
x
y
1
x
y
得，
y
x
y
1
< br>
x
，
y
，
1
,1
<
/p>
厔
0,
x
2
4
4
3
2
2
2
2
2
所以
x
可取的整数有
0
，
−1
，
1
，从而曲线<
/p>
C
:
x
y
1
x
y
恰好经过
(0
，
1)
，
(0
，
−1)
，
(1
，
0)
，
(1
，
2
2
1)
，
(−1
，
0)
，
(−1
，
1)
，共
6
个整点
，结论①正确
.
x
< br>2
y
2
2
2
由
x
y
1
x
y
得，
x
y
„
1
，
解得
x
y
2
< br>，
所以曲线
C
上任意一点到原点
的距离
2
2
2
2
2
都不超过
2
.
结论②正确
.
如图所示，易知
A
0,
1
,
B
1
,0
,
C
1
,1
,
< br>,
D
0,1
< br>
，
四边形
< br>ABCD
的面积
S
四边形
ABCD
1
3
1
1
1
1
，
很明显
“
心形
”
区域的面积大于
2<
/p>
S
四边形
ABCD
，
即
“
心
2
2
形
”
区域的
面积大于
3
，说法③错误
.
故选
C.
【
名师点睛】本题考查曲线与方程
､
曲线的几何性质，基本不等式
及其应用，属于难题，注重基础知识
､
基本运算能力及分析问题
、解决问题的能力考查，渗透
“
美育思想
”.
将所给方程进行等价变形确定
x
的范
围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范
围，利用图形的对
称性和整点的坐标可确定图形面积的范围
.<
/p>
7
．
【
2019
年
高
考
天
津
卷
理
数
】
已
知
抛
物
线
y
< br>
4
x
的
焦
点
为
F
，
准
线
为
l
，
若
l
与
双
曲
线
2
x
2
y
2
< br>
2
1(
a
0,
b
0)
的两条渐近线分别交于点
A<
/p>
和点
B
，且
|<
/p>
AB
|
4
|
OF
|
（
O
为原点），则双曲
2
a
b
线的离心率为
A
．
2
C
．
2
【答案】
D
B
．
3
D
．
5
【解析】抛物线
y
4
x
的准线
l
的方程为
x
1
，
双曲线的渐近线方程为
y
则有
A
(
1,
),
B
(
1,
)
，
2
b
x
< br>，
a
b
b
a
a
2
b
2
b
4
，
b
2
a
，
∴
AB
，
a
a
c
a
2
b
2
∴
e
5<
/p>
.
a
a
故选
D.
【名师点
睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出
AB
的长度
.
解答时，
只需把
AB
4
OF
用
a
,
b
,
c
表示出来，即可根据双曲线离心率的定
义求得离心率
.
8
< br>．【
2019
年高考浙江卷】渐近线方程为
x
±
y
=0
的双曲线的离心率是
A
．
2
2
B
．
1
C
．
2
【答案】
C
D
．
2
【解
析】因为双曲线的渐近线方程为
x
y
0
，所以
a
b
，则
c<
/p>
a
2
b
2
2
a
，所以双曲线的离
心率
e
c
2<
/p>
.故故C.
a
【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得
a
b
，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双
曲线基础知识、
基本计算能力的考查
.
理解概念，
准确计算，
是解答此类问题的基本要求
.
部分考生易出现
理解性错误
.
9
．【
2019
年高考浙江卷】已知圆
C
的圆
心坐标是
(0,
m
)
< br>，半径长是
r
.
若直线
2
x
y
3
0
< br>与圆
C
相切于
点
A
(
2,
< br>
1)
，则
m
< br>=___________
，
r
=___________
．
【答案
】
2
，
5<
/p>
【解析】由题意可知
k
AC
此时
r
|
AC
< br>|
1
1
AC
:
y
1
(<
/p>
x
2)
，把<
/p>
(0,
m
)
代入
直线
AC
的方程得
m
< br>
2
，
2
2
4
1
5
.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系
.
首先通过确定直线
AC
的斜率，进一步得
到其方程，将
(0,
m
)
代入后求得
m
，计算得解
.
解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的
结合，特别是要注意应用圆的几何性质
.
x
2
y
2
1
的左焦点为
F
，
10
．
【
2019
年高考浙江卷】
已知椭圆
点
P
在椭圆上且在
x
轴的上方，
若线段
P
F
9
5
的中点在以原点
O
为圆心，
OF
为半径的圆上
，则直线
PF
的斜率是
_______
____
．
【答案】
15
【解析】方法
1
：如图，设
F
1
为椭圆右焦点
.
由
题意可知
|
OF
|=|
OM
|=
c
=
2
，
2
2
由中位线定理可得
PF
1
2|
OM
|
4
，设
P
(
x
,
y
)
，可得
(
x
2)
y
16
，
< br>3
21
x
2
y
2
与方程
，
1
联立，可解得
x
< br>,
x
（舍）
< br>2
2
9
5
3
15
x
P
又点
P
在
椭圆上且在
轴的上方，求得
2
,
2
，所以
k
PF
15
2
15
.
1
2
方法<
/p>
2
：
（焦半径公式应用）由题意可知
|
OF
|=|OM
|=
c
=
2
，
由中位线定理可得
PF
1
2|
OM
|
4
，即
a
ex
p
< br>
4
x
p
3
，
2
从而可求得
P
3
15
,<
/p>
，所以
k
PF
2
2
15
2
15
.
1
2
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程
、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合
思想，是解答解析几何问题的
重要途径
.
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段
长度用圆的
方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解
.故故
利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁
.
x
2
y
2
11
．【
2019
年高考全国
Ⅲ
卷理数】设
F
1
，
F
2
为椭圆
C
:
+
1
的两个焦点，
M
为
C
上一点且在第一象
36
20
限
.
若
△
MF
1
F
2
为等腰三角形，则
M
的坐标为
___________.
【答
案】
3,
15
【解析】由已知可得
a
36
,
b
20
,
c
a
b
< br>16
,
c
4
，
2
2
2
2
2<
/p>
MF
1
F
1
F
2
2
c
8
，∴
MF
2
4
< br>．
设点
M
的坐标为
x
0
< br>,
y
0
x
0
0
,
y
0
0<
/p>
，则
S
△
MF
1
F
2
又
S
△
MF
1
F
2
1
F
< br>1
F
2
y
0
4
y
0
，
2
1
4
8
2
2
2
4
15
,
4
y
0
4
15
，解得
y
0
15
，
2
2
x
36
2
0
15<
/p>
20
，
1
，解得
x
0
3
（
x
0
3
舍去）
M
的坐标为
3,
15
．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想
、转化与化归的能力，很好地落
M
F
2
，设出
M
的
实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出
MF
1
、
坐标，结合三
角形面积可求出
M
的坐标
.
x
2
y
2
12
．【
2019
年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线
C
：
2
2
1(
a
0,
b
0)
的左、右焦点分别
为
F
1
，
F<
/p>
2
，
a
b
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
过
F
1
的直
线与
C
的两条渐近线分别交于
A
，
B
两点．若
F
1
B
F
2
B
0
，则
C
的离心率为
1
A
AB
，
F
____________
．
【答案】
2
u
u
u
r
< br>u
u
u
r
【
解
析
】
如
图
，
由
F
得
F
1
A
AB
.
又
OF
1
OF
2
,
得
OA
是
三
角
形
< br>F
1
F
2
B
的
中
位
线
，
即
1
A
AB
,
BF
2
∥
OA
,
BF
2
2
OA
.
由
F
1
B
F
2
B
0
，
AOB
AOF
1
，
得
F
1
B
F
2
B<
/p>
,
OA
F
1
A
,
∴
OB
OF
1
，
又
OA
与
OB
都是渐近线，得
BOF
2
AOF
1
,
o
又
BOF
2
AOB
AOF
1
π
，∴
<
/p>
BOF
2
<
/p>
AOF
1
<
/p>
BOA
60
,
u
u
u
r
u
u
u
u
r
又渐近线
OB
的斜率为
b
c
b<
/p>
tan
60
3
，
∴该双
曲线的离心率为
e
1
(
)
2
1
(
3)
2
2
．
a
a
a
【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和
数学运算
素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到<
/p>
F
1
A
AB
和
OA
F
1
A
，
从
而
可
以
得
到
AOB
AOF
1
，
再
结
合
双
曲
线
的
渐
近
线
可
得<
/p>
BOF
2
<
/p>
AOF
1
,<
/p>
进
而
得
到
BOF
2
AOF
1
BOA
60
o
,
从而由
b
tan
60
<
/p>
3
可求离心率
.
a
2
y<
/p>
2
13
．【
20
19
年高考江苏卷】在平面直角坐标系
xOy
< br>中，若双曲线
x
2
1(
b
0)
经过点（
3
，
4)
，则该
b
双曲线的
渐近线方程是
▲
.
【答案】
y
<
/p>
2
x
4
2
【解析】由已知得
3
2
1
，
解得
b
2
或
b
2
，
b
2
因为
b
0
，所以
b
2
.
因为
a
1
，所以双曲线的渐近线方程为
< br>y
2
x
.
【名师点睛】双曲线的标准方
程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分
题
.
双曲线渐近线与双曲线标准方程中的
a
,
b
密切相关，事实上，标准方程中化
1
为
0
，即得渐近线方程
.
14
．【
2019
年高考江苏卷】在平面直角坐标系
xOy
中，
P
是曲线
y
x
< br>到直线
x
+
y
< br>=0
的距离的最小值是
▲
.
【答案】
4
【解析】当直线
x
+
y
=0
平移到与曲线
y
x
离最小
.
4
(
x
0)
上的一个动点，则点
P
x
4
相切位置时，切点
Q
即为点
P
，此时到直线
x
+
y
=0<
/p>
的距
x
由
y
1
4
1
，得
x
2(
x
2
< br>舍
)
，
y
3
2
，即切点
Q
(
2,3
2)
< br>，
2
x
则切点
Q
到直线
x
< br>+
y
=0
的距离为
故答案为
4
．
2
3
2
1
1
2
2
4
，
【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运
算素养
.
采取导
数法和公式法，利用数
形结合和转化与化归思想解题
.
15
．【
2019
年高考全国Ⅰ卷理数】已
知抛物线
C
：
y
2
=3
x
的焦点为
< br>F
，斜率为
B
，与
x
轴的交点为
P
．
（
1
）若
|
AF
|+|
BF
|=4
，求
l
的方程
；
3
的直线
l
与
C
的交点为
A
，
2
u
u
u
r
u
u
u
r
（
2
）若
AP
3
PB
，求
|
AB
|
．
【答案】
（
1
）
y
3
7
4
13
.
x
；
（
2
）
2
8
3
3
x
t
,<
/p>
A
x
1
,
y
1
,
B
x
2
,
y
2
．
2
【解析】设直线
l
:
y
（
1
）由题设得
F
3
5
3
,0
< br>
，故
|
AF
< br>|
|
BF
|
x
1
x
2
，由
题设可得
x
1
x
2
．
2
2
4
3
12(
t
1)
y
x
t
2
2
由
，可得
9
x
12(
t
1)
x
4
< br>t
0
，则
x
1
x
2
．
<
/p>
2
9
2
y
3
x
从而
12(
t
1)
5
7
，得
t
．
< br>9
2
8
3
7
x
．
2
8
所以
l<
/p>
的方程为
y
u
u
u
r
u
u
u
r
（
2
）由
AP
3
PB
可得
y
1
3
y
2
．
< br>3
y
x
t
2
由
，可得
y
2
y
2
t
0
．
2
2
y
< br>3
x
所以
y
1
y
2
2
．从而
3
y
2
y<
/p>
2
2
，故
y
2
1,
y
1
3
．
代入
C
的方程得
x
1
3,
x
2
1
．
< br>3
故
|
AB
|
4
13
．
3
【名师点睛】本题考查抛物线
的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求
解方法，解题关键
是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系
.
16
．【
2019
年高考全国
Ⅱ
卷理数】已知点
A
(
−
2
，
0)
，
B
(2
，
0)
，动点
< br>M
(
x
，
y
)
满足直线
AM
< br>与
BM
的斜率之
积为
−
1
2
.
记
M
的轨迹为曲线
C
.
（
1
）求
C
的方程，并说明
C
是
什么曲线；
（
2
）过坐标原点的直线交
C
于
P
，
Q
两点，点
P<
/p>
在第一象限，
PE
⊥
x
轴，垂足为
E
，连结
QE
并延长交
C
于点
G
.
（
i
）证明：
△
PQG
是
直角三角形；
（
ii
）求
△
PQG
面积的最大值<
/p>
.
【答案】
（
1
）见解析；
（
2
）
16
.
9
y
y
1
x
2
y
2
<
/p>
，
化简得
<
/p>
【解析】
（
1
）
由题设得
1(|
x
|
2)
，
所以
C
为中心在坐标原点，
x
2
x
2
2
4
2
焦点在
x
轴上的椭圆，不含
左右顶点．
（
2
）（
i
）设直线
PQ
的斜率为
k
，则其方程为
y
kx
(
k<
/p>
0)
．
y
kx
2
2
2
x
由
x
得
．
y
2
1
2
k
<
/p>
1
4
2
记
u
2
1
2
k
2
，则
P
< br>(
u
,
uk
),
Q
(
u
,
uk
),
E
(
u
,
0)
．
于是直线
QG
的斜率为
k
k
，方程为
y
(
x
u
)
< br>．
2
2
k
y
(
x
u
),<
/p>
2
由
2
得
2
x
y
1
4
2
(2
k
2
)
x
2
2
uk<
/p>
2
x
k
2
u
2
8
0
．①
2
3
u
< br>(3
k
2)
< br>uk
设
G
(
x
G
,
y
G
)
，则
u
和
x
G
是方程
①的解，故
x
G
，由此得
y
G
< br>．
2
2
2
k
2
k
uk
3
<
/p>
uk
2
1
2
k
从而直线
PG
的斜率为
．
2
u
(3
k
2)
k<
/p>
u
2
k
2
所以
PQ
PG
，即
△
PQG
是直角三角形．
2
2
uk
k
1
（
ii
）由（
i
）得
|
PQ
|
2
u
1
k
，<
/p>
|
PG
|
，所以
△
PQG
的
面积
2
2
k
2
1
8(
<
/p>
k
)
1
8
k
(1
k
)
k
S
|
PQ
‖
PG
|
．
< br>
2
2
2
(1
2
k
)(2
k
)
1
2(
1
k
)
2
k
2
设
t
=
k
+
1
，则由
k
>0
得
t
≥2
，当且仅当
k
=1<
/p>
时取等号．
k
8
t
16
[2
+∞
t
=2
k
=1
S
在
，
）
单调递减，所以当
，即
时，
取得最大值
，最大值为
．
2
1
2
t
9
16
．
9
因为
S
因此
，
△
PQG
面积的最大值为
【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及
三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题
.
1
x
2
17
．
【
2019
年高考全国
Ⅲ
卷理数】
已知曲线
C
：
y<
/p>
=
，
D
为直线<
/p>
y
=
上的动点
，
过
D
作
C<
/p>
的两条切线，
2
2
切点分别为
A
，
B
< br>.
（
1
）证明：直线
AB
过定点：
（
2
）若以
E
(0<
/p>
，
5
)
为圆心的
圆与直线
AB
相切，且切点为线段
AB
的中点，求四边形
ADBE
的面积
.
2
【答案】
（
1
）见详解；
（
2
）
3
或
4
2
.
【解析
】（
1
）设
D
t
,
<
/p>
1
,
2
A
x
1
,
y
1
，则
< br>x
1
2
2
y
1
.
1
2
x
.
由于
y'
x
，所以切线
DA
< br>的斜率为
x
1
，故
1
x
1
< br>t
y
1
整理得
2
tx
1
2
y
1
+1=0.
设
B
x
2
,
y
2
，同理可得
2
tx
2
2
y
2
+1=0
.
故直线
AB
的方程为
< br>2
tx
2
y
1
0
.
所以直线
AB
< br>过定点
(0,
)
.
（
2
）由（
1
）得直线
AB
的方程为
y
tx
1<
/p>
2
1
.
2
1
y
tx
2
由
，可得
x
2
2
tx
1
< br>0
.
2
y
x
2
于是
x
1
x
2
2
t
,
x
1
x
2
1
,
y
< br>1
y
2
t
x
1
x
2
1
2
t
2
1
，
|
AB
|
1
t
2
x
1
x
2
1<
/p>
t
2
x
1
x
2
2
4
x
1
x
2
2
t
2
1<
/p>
.
2
设
d
1
,
d
2
分别为点
D
，
E
到直线
AB
的距离
，则
d
1
t
1,
因此，四边形
< br>ADBE
的面积
S
d
2
2
t
1
2
.
1
|
AB
|
d
1
d
2
<
/p>
t
2
3
t
2
1
.
2
2
设
M
为线段
AB
的中点，则
M
t
,
t
1
.
2
< br>u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
u
r
2
由于
EM
AB
，
而
EM
t
,
t
2
，
< br>AB
与向量
(1,
t
)
平行，
所以
t
t
2
2
t
0
.
解得
< br>t
=0
或
t
1
.
当
t
=
0
时，
S
=3
；当
t
1
时，
S
4<
/p>
2
.
因此，四边形
ADBE
的面积为
3
或
4
2
.
【名师点睛】此
题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班
地求
解就可以，思路较为清晰，但计算量不小
.
< br>18
．【
2019
年高考北京卷
理数】已知抛物线
C
：
x
2
=
−
2
< br>py
经过点（
2
，
−
1
）．
（
1
）求抛物线
C
的方程及其准线方程；
（
2
）设
O
为原点，过抛物线
C
的焦点作斜率不为
0
的直线
l
交抛物线
C
< br>于两点
M
，
N
< br>，直线
y
=
−
< br>1
分