小学六年级【小升初】数学《混合运算和简便运算专题课》含答案
英文台词-
6.
混合运算和简便运算
知识要点梳理
一、四则混合运算的顺序
同级运算<
/p>
(
只含有加减，
或只含有乘除
)
，
从左到右依次计算；
含有两级的运算，
先算二级
(
乘
除
)
，后算一级
(<
/p>
加减
)
；算式里有括号的，要先算小括号
里面的，再算中括号，最后算中括
号外面的。
二、四则混合运算定律
1.
加法交换律
:
a+b=b+a
< br>，即交换两个加数的位置，和不变。
2.
加法结合律
:
(a+b)+c=a+(b+c)
，即先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。
3.
乘法交换律
:
a
×
b=b
×
a
，即交换两个因数的位置，积不变。
4.
乘法结合律
:
(a
×
b)
×
c=a
< br>×
(b
×
c)
< br>，即前两个数先乘，或后两个数先乘积不变。
5.
乘法分配律
:
(a
±
b)
×
c=a
×
c
±
b
×
c
，即两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个
数分别相乘，再相加。逆运算
:a
×
b
±
a
×
c=a
×
(b
±
c)
。
6.
减法性质
:
a-b-c=a-(b+c)
，即一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。
7.
除法性质
:
a
÷
b
÷
c=a
÷
(b
×
c)
，
即一个数连续除以两个数，
可以用这个数除以
这两个除数
的积。
三、分数运算几种常用的间算方法
1
.
裂项公式
:
这是对分配律的逆向运用
，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式
:
(1)
分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：
n×
(
n+1
)
=
n
+
n+1
(2)
分母为两个相邻自然数的积时
:
1
n×
(
n+1
)
n+
(
n+1
)
1
1
=
−
n
1
1
n+1
1
1
1
1
(3)
分母是差为
a
（
a
≠
0
）的两个自然数的积时：
n×
(
n+a
)
=
(
n
−
n+1
)
×
a
2
.
数字变形法
:
这是一种从数字特点出
发，创新变形，巧妙地运用运算性质，根据规律达到
简算目的的方法，如
:
1997
较接近
1
，可将其转化为
1
−
1998
，然后根据情况运用适当的方法。
< br>1998
1
考点精讲分析
典例精讲
考点
1
四则混合运算顺序的运用
【例<
/p>
1
】
计算：
2<
/p>
3
÷
[(2
6<
/p>
−
1.6
×
1.
25)
×
1
5
]
【精析】
本题含有小括号中括号，
按照运算顺序，
先算小括号里面的乘法后算减法，
再算中
括号，最后算中括号外面的除法。此外要掌握小数分数的互化。
【答案】
2
3
÷
[(2
6
−
1.6
×
1.25)
×
1
5
]
=
2
3
÷
[(2
6
−
2)<
/p>
×
1
5
]
=
2
3
÷
[
6
×
5
]
=
×
3
8
15
< br>4
2
1
8
2
1
3
2
1
3
2
1
3
=
10
<
/p>
【归纳总结】
掌握有括号的混合运算顺序是解题的关键，其次要会
小数与分数的互化。
考点
2
应用加法运算律的简便运算
【例
2
】
计算
:4.75-9.
63+(8.25-1.37)
【精析】
先去掉小括号，使<
/p>
4.75
和
8.25
相加凑整，再运用减法的性质
:a-b-c=a-(b+c),
使运算过程简便。
【答案】
原式
=4.75+8.25-9.63-1.37
=13-(9.63+1.37)
=13-11
=2
【归纳总结】
熟练掌握去括号和
减法的性质是解本题的关键。
考点
3
应用乘法运算律的简便运算
【例
3
】计算：
333387
< br>×
79
+
790
×
66661
2
4
1
1
【精析】可把分数
化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。
【
答案】原式
=333387.5
×
79
+790
×
66661.25
=33338.75
×
790+790
×
66661.25
=(33338.75+66661.25)
×
790
=100000
×
790
=79000000
【归纳总结】
做此类题，先把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算
简便。
考点
4
拆分法计算分数运算
【例
4
】
计算
:
99
+
97
6
+
95
12
+
93
20
+
91
30
+
89
42
+
87
56
+
85
72
+
83
90
+
81
110<
/p>
【精析】
本题属于典型的带分数计算，
一般分成分数加整数，整数部分
99+97+95+^
利用等<
/p>
差数列求和公式，分数部分是典型的列项公式的应用，分项计算再合并即可。
【答案】
(
99
+
97
+
95
+∙∙∙
+85
+
83
+
81
)
+<
/p>
(
+
6
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
+
1
2
0
+
1
1
30
+∙∙∙
+
1
1
90
+
1
1
10
)
=
(
99
+
81
)
×
10
÷
2<
/p>
+
(
2
−
3
+
3
−
3
+
4
−
4
+∙∙∙
+
5
−
9
+
10
−
11
)
=
900
+
(
−
2
1
1
11
1
)
=
900
22
9
【归纳总结】根据各项的特点，
把分数拆开，
把通项公式写成前后能消去的形式，
消去中间
部分。
考点
5
混合简便运算
【例
< br>5
】计算：
（
1
）
2356
÷
2356
（
2
）
2
+
2
1
1
4
2
−1
1
< br>2356
2357
+
1
1
6
2
−1
1
+∙∙∙
+
1
1
100
2
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（
3
）
(1
+
2
+
3
+
4
)
×
(
2
+
3
+
4
+
5
)
×
(1
+
2
+
3
+
4
+
5
)
×
(
2
+
3
+<
/p>
4
)
【精析】
(1)
此题构思巧妙，新颖别致。要仔细观察，抓住特点，巧妙
解答，若按常规算法
太复杂，
这里面把除数化为假分数时，
分子不必算出来，
其分子部分
2356
×
2357+2356=2356
×
2358
，其中
2356
可与被除数中的
2356
约分。
(2)
本题难点忽略
1
=1
，将其中一项利用平方差公式展开再利用裂项公式：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
n×
(
n+a<
/p>
)
=
(
n
−
n+1
)
×
a
得：
2
2
−1
=
(
2−1
)
×
(
2+1
)
=
1×3
=
(1
−
2
)
×
2
以此类推本题就解出来了。
(3)
这道题算式都较长，要进行简算，就得整体观
察，寻找规律，合理分组变换。数字可分
为四个数群，将每一数群中相同的几个数可用一
个字母来表示，使算式相同。
【答案】
（
1
）
2356
÷
2356
2357
=
2356
÷
2356×
2357+2356
2357
2357
2356
=
2356
×
2356×2357+2356
=
2356
×
2356×<
/p>
(
2357+1
)
=
2357
2358
2357
1
1
1
1
（
2
）
2
2
+
4
2
−1
+
< br>6
2
−1
+∙∙∙
+
100
2
−1
=
1
1
1
1
+
+
+∙∙∙
+
(
< br>2
−
1
)
×
(
2
+
1
)
(
4
−
1
)
×
(
4
+
1
)
(
6
−
1
< br>)
×
(
6
+
1
)
(
1
00
−
1
)
×
(
100
+
1
)
1
1
1
1
=
1×3
+
3×5
+
5×7
+
∙∙∙
+
99×101
=
2
×
(1
−
3
+
3
< br>−
3
+
5
−
7
+∙∙∙
+
99
−
101
)
< br>
=
×
(1
< br>−
2
1
1
101
1
1
1
1
1
1
1
1
)
=
50
101
1
1
1
1
1
1
1
（
3
）设
2
+
3
+
4
=
a
，
2
+
3
+
4
+
5
=
b
，
<
/p>
原式
=
(
1
+
a
)
×
b
−
(
1
+
b
)
×
< br>a
=
b
+
ab
−
< br>a
−
ab
=
b
−
a
=
5
<
/p>
【归纳总结】
熟练掌握常用方法
:
变形约分法，裂项消项法，整体代换法。
名题精析
【例】
(
西安某铁一中分班
)
9
+
99
+
999
+
9999
4
4
4
4
3
3
3
3
1
【精析】本题不难看出，碰到
9
要凑整十整百数，将
9
写成
10
−
即可，以此类推，都可以
4
4
3
1
写成一个整数减一个分数
< br>4
，然后整数与整数结合分数与分数结合。
【答案】
9
4
+
99
4
+
999
4
+
9999
4
=
10
−
+
100
−
+
1000
−
+
100
00
−
4
4
4
4
1
1<
/p>
1
1
3
3
3
3
1
=
11110
−
1
=
11109
【归纳总结】
本题凑整法比较实用，把一个分数写成一个整数减另一个分数。
毕业升学训练
一、填空题
1.
用字母表示加法结合律是（
）
，
乘法分配律是
(
)
。
2.
根据运算定律填写。
680-173-27=680-(173 27 )
(28
×
)
×
4=28
×
(25
×
)
125
×
99=125
×
(
100- )
18
×
a-a
×
8=
×
.
3.
在横线上填上合适的数，在切里填上合适的运算符号。
316+58+42=316+
（
○
）
298-35+165=298-
（
○
）
100
÷
25
÷
4=100
÷（
○
）
56
×<
/p>
19+44
×
19=
（
○
）
4.
指出
下列各题的简便运算运用了什么运算定律或运算性质。
(1)436+(564+329)=1000+329
( )
(2)78
×
101=78
×
(100+1)=7800+78
(
)
5.
在□里填上适当的数。
（
1
）
1
÷
[(6-2.8)
×□
]=0.125
（
2
）
1
÷
(
×
□
−
)
=
3
5
5
6.
算
式
÷
×
÷
×
=
4
6
2
8
5
1
7
5
3
7
8
25
4
1
中
有
一
个
运
算
符
号
写
错
了
，<
/p>
把
他
改
成
正
确
的
算
式
是
：
（
）
。
7.<
/p>
若
A
×
×
B
=
C
×
75%
=
E
÷
=
D
÷
,
则
A
，
B
，
C
，
D
，
E
从小到大依次是
（
）
＜
（
）
5
3
2
4
2
3
＜（
）＜（
）＜（
）
。
8.<
/p>
小明在计算
5.a+b.9
时，错算成了
8.a+b.6
，结果是
10
，那么
5.a+b.9=(
)
。
9.
在
下面式子中的○里填上合适的运算符号，使等式成立。
(1)
[50.8-(20+9.6
○
0.4)]
×
5=34
(2)
16.2
×
[(4
7
−
200
×
700)
○
1
7
]
=<
/p>
8.1
1
1
2