初中数学几何图形的辅助线添加方法大全
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初中数学添加辅助线的方法汇总
作辅助线的基本方法
一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或
中位线作辅助线，
使延长的某一段等于中线或中位线；
另一种辅助线
< br>是过中点作已知边或线段的平行线，
以达到应用某个定理或造成全等
的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如
遇条件中，
有垂线或角的平分线，
可以把图形按轴对称的方法，
并借助其他条件，而旋转
180
度，得
到全等形，
，这时辅助线的做法
就会应运而生。其对称轴往往是
垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇
条件中有多边形的两边相等或两角相等，
有时边角互相配合，
然
后把图形旋转一定的角度，
就可以得到全等形，
这时辅助线的做
法
仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有
< br>心”和“无心”旋转两种。
四
:
造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和
差积商，往往与相似
形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有
两种方法：第一，造一个辅助角等于已知
角；第二，是把三角形中的
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某一线段进行平移。故作歌诀：
“造角、平、相似，和差积商见。
”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别
是造角和平移的代
表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切）
，或相离（内含、外离）
，
那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果
条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使
出现直角；
< br>相反，
条件中是圆的直径，
半径，
那么辅助线是过直径
（或
半径）端点的切线。即切线与直径互
为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜
边为直径作辅
助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直
角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦
成立。
2
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如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和
所夹的弦都
可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心
角，圆内角和圆外角也存在因果关
系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇
求面积，
（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为
求
面积）
，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考
的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，
即“割补”
有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”
。
一．
添辅助线有二种情况：
1
按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们
,<
/p>
相交后证交角为
90
°；证
线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也
可类似添辅助
线。
2
按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，
< br>我们
把它叫做基
本图形，添辅
助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整
3
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时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防
止乱添线，
添辅助线也有规律可循。举例如下：
（
1
）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都<
/p>
相交的等第三条直线
（
2
）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往
往要补完整
等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的
二边相交得等腰三角形。
（
3
）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的
中线；出现角平分
线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重
要线段
的基本图形。
（
4
）直角
三角形斜边上中线基本图形
出现直
角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线
段倍半关系且倍线段是直角三角形的
斜边则要添直角三角形斜边
上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（
5
）三角形中位线基本图形
几何
问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形
进行证明当有中点没有中位线时则
添中位线，当有中位线三角形
不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线
段有
公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三
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角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是
某线段的中
点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三
角形中位线基本图形。
（
6
< br>）全等三角形：
全等三角形
有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；
如果出现两条相等线段或两个档相等角关
于某一直线成轴对称就
可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称<
/p>
轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角
两
边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加
方法是将四个端点两两连结
或过二端点添平行线
（
7
）相似三角形：
<
/p>
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线
型，旋
转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比
为
1<
/p>
）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添
则可以
分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多
种浅线方法。
< br>
（
8
）特殊角直角三角形
当出现
30
，
45
，
60
，
135
，<
/p>
150
度特殊角时可添加特殊角直角
三角
形，利用
45
角直角三角形三边比为
1
：
1
：√
2<
/p>
；
30
度角直角
三角形三边比为
1
：
2
：√
3
进行证明
（
9
）半圆
上的圆周角
5
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出现直径与半圆上的点，添
90
度的圆周角；出现
90
度的圆
周角则添它所对弦
---
直径；
平面几何中总共只有二十多个基本
图
形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法
1.
三角形问题添加辅助线方法
方法
1
：有
关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题
目，常常利用三角形的中位线，通过
这种方法，把要证的结论恰当的
转移，很容易地解决了问题。
方法
2
：含
有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平
分线的性质和题中的条件，
构造出全等三角形，
从而利用全等三角形
的知识
解决问题。
方法
< br>3
：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，
或利用关于平分线段的一些定理。
方法
4
：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这
类
题目，
常采用截长法或补短法，
所谓
截长法就是把第三条线段分成两
部分，
证其中的一部分等于第一
条线段，
而另一部分等于第二条线段。
2.
平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对
角线都具有某些相同性质，
所以在添辅助线方法上也有共同之处，
目
的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四
边形问题转化成常见的三角形、
正方形等问题处理，
其
常用方法有下
列几种，举例简解如下：
6
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（
1
）连对角线或平移对角线：
< br>
（
2
）过顶点作对边的垂线构
造直角三角形
（
3
< br>）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平
行线，构造线段平行或
中位线
（
4
）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角
形相似或等积三角形。
（
5
）过顶点作对
角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
.
3.
梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、
三角形知识的综合，
通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形<
/p>
问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，
梯形中常用到的辅
助线有：
（
1
）在梯形内部平移一腰。
（
2
）梯形外平移一腰
（
3
）梯形内平移两腰
（
4
）延长两腰
（
5
）过梯形上底
的两端点向下底作高
（
6
）平移对角线
（
7
）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（
8
）过一腰的中点作另一腰的平行线。
<
/p>
（
9
）作中位线
7
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当然在梯形的有关证明和计算中，
添加的辅助线并不一定是固定
不变的、单一的。
通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边
形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.
圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，
解决与圆有关的问题时，
常常需
要添加适当的辅
助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地
得到解决，因此，
灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高
学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（
1
）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通
过垂
径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（
2
）见直径作圆周角
在题目
中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用
直径所对
的圆周角是直角
这一特征来证明问题。
（
3
）见切线作半径
< br>
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用
< br>
切线与半径垂直
这一性质来证明
问题。
（
4
）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，
一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的
连心线，通过公切线可以找到与圆有关的
角的关系。
（
5
）两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共
弦，通过公共弦既可把两圆
8
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的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
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三角形中作辅助线的常用方法举例
一
、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，
可连接两点或延长某边
构成三角形，
使结论中出现的线段在一个或几
个三角形中，再运
用三角形三边的不等关系证明，如：
例
1
：已知如图
1-1
：
D
、
E
为△
ABC
内两点
,
求证
:AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
CE.
证明：
（法
一）
将
DE
两边延长分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
，
在△
AMN
中，
AM
＋
AN
＞
MD
＋
D
E
＋
NE;
（
1
）
在△
BDM
中，
MB
＋
MD
＞
BD
；
（
2
）
在△
CEN
< br>中，
CN
＋
NE
＞
CE
；
（
3
）
由（
1
）＋（
2
）＋（
3
）得：
AM
＋
AN
＋
MB
＋
MD
＋
CN
＋
NE
＞
MD
＋
DE
＋
NE
＋
BD
＋
CE
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
EC
A
A
E
G
N
C
B
M
D
D
B
E
F
11
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.
图
1
1
< br>图
1
2
C
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（法二：
）
如图
1-2
，
延长
BD
交
AC
于
F
，延长
CE
交
BF
于
G
，
在△
ABF
和△
GFC
和△
GDE
中有：
AB
＋
AF
＞
BD
＋
DG
＋
GF
（三角形两边之和大于第三边）
（
1
）
GF
< br>＋
FC
＞
GE
< br>＋
CE
（同上）………………………………（
2
）
DG
＋
GE
＞
DE
（同上）……………………………………（
3
）
由（
1
）＋（
2
）＋（
< br>3
）得：
AB
＋
AF
＋
GF
＋
FC
＋
DG
＋
GE
＞
BD
＋
DG
＋
GF
＋
GE
＋
CE
＋
DE
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
EC
。
二、
在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出
来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三
角形
的外角的位置上，
小角处于这个三角形的内角位置上，
再利用外
角定理：
例如：如图
2-1
：
已知
D
为△
ABC
内的任一点，求证：∠
< br>BDC
＞∠
BAC
。
分析：
因为∠
BDC<
/p>
与∠
BAC
不在同一个三角形中，
没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角
形，使∠
BDC
处于在外角的位置，∠
BAC
处于在内
B
G
A
E
D
F
图
2
1
C
角的位置；
12
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证法一
：延长
BD
交
AC
于点
E
，这时
∠
BDC
是△
EDC
< br>的外角，
∴∠
BDC
＞∠
DEC
，同
理∠
DEC
＞∠
BAC
，∴∠
BDC
＞∠
BAC
证法二：连接
AD
，并延长交
BC
于
F
∵∠
BDF
是△
ABD
的外角
∴∠
BDF
＞∠
BAD
，同理，∠
CDF
＞∠
CAD
∴∠
BDF
＋∠
CDF
＞∠
BAD
＋∠
CAD
即：∠
< br>BDC
＞∠
BAC
。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角
形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式
性质证明。
三、有角平分线时，通
常在角的两边截取相等的
线段，构造全等三角形，如：
E
A
N
F
例如：如图
3-1
：已知
AD
为△
ABC
的中线，且∠
1
＝∠
2,
∠
3
＝∠
4,
求证：
BE
＋
CF
＞
EF
。
分析
：
要证
BE
＋
CF
＞
EF
，可
利用三角形三边关系
B
2
3
1
4
D
图
3
1
C
定理证明，须把
BE
，
CF
，
EF
移到同一个三角形中，而由已知∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
，可在角
的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应
边相等，把
EN<
/p>
，
FN
，
EF<
/p>
移到同一个三角形中。
13
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证明：
在
DA
上截取
DN
＝
DB
，连接
NE
，
NF
，
则
DN
＝
DC
，
在△
DBE
和△
DNE
中：
< br>
DN
DB
< br>(
辅助线的作法
)
∵
1
2
(
已知
)
ED
ED
(
公共边
)
∴△
DBE
≌△
DNE
（
SAS
）
∴
BE
＝
NE
（全等三角形对应边相等）
同理可得
：
CF
＝
NF
在△
EFN
中
EN
＋
FN
＞
EF
（三角形两边之和大于第三边）
∴
BE
＋
CF
＞
EF
。
注
意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，
构造全等三角形，然后
用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为
端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三
角形。
例如：
如图
4-1
：
AD
为△
ABC
的中线，
且∠
1
＝∠
2
，
∠
3
＝∠
4
，
求证：
< br>BE
＋
CF
＞
< br>EF
证明
：延长
ED
至
M
，使
DM=DE
，连接
CM
，
MF
。
在△
BDE
和△
CDM
中，
BD
CD
(
中点的定义
)
∵
1
< br>CDM
(
对顶角相等
)
ED
MD
(
辅助线的作法
)<
/p>
14
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A
E
F
B
< br>2
3
4
1
D
C
图
4
1
M
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可编辑可修改
∴
△
BDE
≌△
CDM
（
SAS
）
又
∵
∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
（已知）
∠
1
＋∠
2
＋∠
3
＋∠
4
＝
180
°（
平角的定义
）
∴
∠
3
＋∠
2=90
°，即
：
∠
EDF
＝
90
°
<
/p>
∴
∠
FDM
＝∠
EDF
＝
90
°
<
/p>
在△
EDF
和△
MDF
中
ED
MD
(
辅助线的作法
)
∵
EDF
FDM
(
已证
)
DF
DF
(
公共边
)
∴
△
EDF
≌△
MDF
（
SAS
）
∴
EF
＝
MF
（全等三角形对应边相等）
∵
在△
CMF
中，<
/p>
CF
＋
CM
＞<
/p>
MF
（三角形两边之和大于第三边）
∴
BE
＋<
/p>
CF
＞
EF
<
/p>
注：上题也可加倍
FD
，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此
线
段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
<
/p>
例如：如图
5-1
：
AD
为
△
ABC
的中线，求证：
AB
＋
AC
＞
2AD
。
15
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分析：要证
AB
＋
AC<
/p>
＞
2AD
，由图想到：
< br> AB
＋
BD
＞
AD,AC
＋
CD
＞
AD
，所
以有
AB
＋
AC
＋
BD<
/p>
＋
CD
＞
AD<
/p>
＋
AD
＝
2AD
，左边
比要证结论多
BD
＋
CD
，
故不能直接证出此
题，
而由
2AD
想到要构造
2AD
，即加倍中线，把所
B
A
D
C
要证的线段转移到同一个三
角形中去。
证明：延长
AD
至
E
，使
DE=AD
，连接
BE
，则
AE
＝
2AD
∵
AD
为△
A
BC
的中线
（已知）
∴
BD
＝
CD
（中线定义）
< br>在△
ACD
和△
EBD
中
BD
CD
(
已证
)
ADC
EDB
(
对顶角相等
)
AD
<
/p>
ED
(
辅助线的作法
)
E
图
5
1
E
<
/p>
∴△
ACD
≌△
EBD
（
SAS
）
∴
BE
＝<
/p>
CA
（全等三角形对应边相等）
∵在△
ABE
中有：
AB
＋
BE
< br>＞
AE
（三角形两边
之和大于第
三边）
∴
AB
＋
AC
＞
2AD
。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
B
A
F
C
D
图
5
2
练习：已知△
ABC
，
AD
是
BC
边上的中线，分别以<
/p>
AB
边、
AC
边
为直角
16
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边各向形外作等腰直角三角形，如图
5-2
，
求证
EF
＝
2AD
。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已
知如图
6-1
：在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，
∠
1
＝∠
2
，
P
为
AD
上任一点。求证：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
。
分析
：要证：
AB
－
AC
< br>＞
PB
－
PC
< br>，想到利用三
B
N
A
2
1
P
D
图
6
1
C
M
角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用
两边之差小于
第三边
，
从而想到构造第
三边
AB
－
AC
，
故可在
AB
上截取
AN
等于
AC
，
得
AB
－
AC
＝
BN
，
再连接
PN
，
则
PC
＝
PN
，
又在△
PNB
中
，
PB
－
PN
＜
BN
，
即：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
。
证明：
（截长法）
< br>在
AB
上截取
AN
＝
AC
连接
PN , <
/p>
在△
APN
和△
APC
中
AN
AC
(
辅助线的作法
)
∵
< br>
1
2
(
已
知
)
AP
AP
(
公共边
)
∴△
A
PN
≌△
APC
（
SAS
）
∴
PC
＝
PN
（全等三角形对应边相等）
∵在△
BPN
中，有
PB
－
PN
＜
BN
（三角形两边之差小于第三边）
∴
BP
－<
/p>
PC
＜
AB
－<
/p>
AC
证明：
（补短法）
延长
AC
至
M
，使
AM
＝
AB
，连接
PM
，
17
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
在△
ABP
和△
AMP
中
AB
AM
(
辅助线的作法
)
∵
1
2
(
已知
)
AP
AP
(
公共边
)
∴△
AB
P
≌△
AMP
（
SAS
）
∴
PB
＝
PM
（全等三角形对应边相等）
又∵在△
PCM
中有：
CM
＞
PM
－
PC(
三角形两边之差小于第三边
)
< br>
∴
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
。
七、延长已知边构造三角形：
例如：
如图
7-1
：已知
AC
＝
BD
，
AD
⊥
AC
于
A
，
BC
⊥
BD
于
B
，
< br>求证：
AD
＝
BC
分析：欲证
AD
＝
BC
，先证分别含有
AD
< br>，
BC
的三角形全等，有几种方
案：△
ADC
与△
BCD
，△
AOD
与△
BOC
，△
ABD
与△
B
AC
，但根据现有条
件，均无法证全等，差角的相等，因此可设
法作出新的角，且让此角
作为两个三角形的公共角。
证明
：分别延长
DA
，
CB
，它们的延长交于
E
点，
∵
AD
⊥
AC
BC
⊥
BD
（已知）
A
O
E
B
∴∠
CAE
＝∠
DBE
＝
90
°
<
/p>
（垂直的定
D
义）
18
.WORD
完美格式
.
图
7
1
< br>C
v1.0
可编辑可修改
在△
DBE
与△
CAE
中
E
E
(
公共角
)
∵
DBE
CAE
(
已证
< br>)
BD
AC
(
已知
)
∴△
DBE
≌△
CAE
（
AAS
）
∴
ED
＝
EC
EB
＝
EA
（全等三角形对应边相等）
∴
ED
－
EA
＝
EC
－
EB
即：
AD
＝
BC
。
<
/p>
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条
件。）
八
、
连接四边形的对角线，
把四边形的问题转化成为三角形来解决
。
例如：如图
8-1
：
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
求证：
AB=CD
。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为
三角形来解决。
证明
：连接
AC
（或
BD
）<
/p>
∵
AB
∥
CD
AD
∥
BC
（已知）
∴∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
（两直线平行，内错角相等）
在
△
ABC
与△
CD
A
中
A
1<
/p>
3
D
2
C
4
B
19
.WORD
完美格式
.
图
8
1
< br>v1.0
可编辑可修改
<
/p>
1
2
(
已证
)
∵
AC
CA
(
公共边
)
3
4
(
已证
)
∴
△
ABC
≌△
CDA
（
ASA
）
∴
AB
＝
CD
（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图
9-1
：在
Rt
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
90
°，∠
1
＝∠
2
，
CE
⊥
BD
的延长于<
/p>
E
。求证：
BD
＝
2CE
分析：要证
BD
＝
2CE
，想到要构造线段
2CE
，同时
CE
与∠
ABC
的平分线垂直
，想
A
F
E
D
到要将其延长。
证明：分别延长
BA
，
CE
交于点
F
。
∵
BE
⊥
CF
（已知）
B
1
2
C
图
9<
/p>
1
∴∠
BEF
＝∠
BEC
＝
90
°
（垂直的定义）
在△
BEF
与△
BEC
中，
1
2
(
已知
)
∵
BE
BE
(
公共边
)
BEF
BEC
(
已证
)<
/p>
∴△
BEF
≌
△
BEC
（
ASA
）∴
CE=FE=
CF
（全等三角形对应边
相等）
20
.WORD
完美格式
.
1
2
v1.0
可编辑可修改
∵∠
BAC=90
°
BE
⊥
CF
（已知）
∴∠
BAC
＝∠
CAF
＝
90
°
∠
1
＋∠
BDA
＝
90
°∠
1
＋∠
BFC
＝
90
°
∴∠<
/p>
BDA
＝∠
BFC
在△
ABD
与△
< br>ACF
中
< br>
BAC
< br>CAF
(
已证
)
BDA
BFC
(
已证
)
AB
＝
AC
(
已知
)
∴△
ABD
≌△
ACF
（
AAS
）<
/p>
∴
BD
＝
CF
（全等三角形对应边相等）
∴
BD
＝
2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图
10-1
；
AC
、
BD
相交于
O
点，且
AB
＝<
/p>
DC
，
AC
＝<
/p>
BD
，
求证：∠
A
＝∠
D
。
分析：要证∠
A
＝∠
< br>D
，可证它们所在的三角形△
ABO
和△
DCO
全等，
而只有
AB
＝
DC
和对顶角两
个条件，差一个条件，，难以证其全等，
只有另寻其它的三角形全等，由
AB
＝
DC
，
AC
＝
BD
，若连接
BC
，则△
ABC
和△
DCB
全等，所以，证得∠
A
＝∠
D
。
证明：连接
BC
，在△
A
BC
和△
DCB
中
A
O
D
B
21
.WORD
完美格式
.
C
图
10
1
v1.0
可编辑可修改
AB
DC
(
已知
)
∵
<
/p>
AC
DB
(<
/p>
已知
)
BC
CB
(
公共边
)
∴△
ABC
≌△
DCB (SSS)
∴∠
A
＝∠
D
(
全等三角形对应边相等
)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图
11-1
：
AB
＝
DC
，∠
A
＝∠
D
求证：∠
ABC
＝∠
DCB
。
分析：由
AB
＝
DC
，∠
A
＝∠
D
，想到如取
AD
的中点
N
，连接
NB
，
NC
，
再由
SAS<
/p>
公理有△
ABN
≌△
DCN
，故
BN
＝
CN
，∠
ABN
＝∠
DCN
。下面只
需证∠
NBC
＝∠
NCB
，再取
BC
的中点
M
，连接
MN
，则由
SSS
公
理有△
NBM
≌△
NCM
，所以∠
NBC
＝∠
NCB
。问题得证。
证明：取
AD
，
BC
的中点
N
、
M
，连接
NB
，
NM
，
A
N
D
NC
。则
AN=DN
，
BM=
CM
，在△
ABN
和△
DCN
中
<
/p>
AN
DN
(<
/p>
辅助线的作法
)
∵
A
D
(
已知
)
AB
DC
(
已知
)
B
M
图
11
1
C
∴△
ABN
≌△
DCN
（
SAS
）
∴∠
ABN
＝∠
DCN NB
＝
NC
（全等三角形对应边、角相等）
在△
NBM
与△
NCM
中
NB
＝
NC
(
已证
)
∵
BM
＝
CM
(
辅助线的作法
)
NM
＝
NM
(
公共边
)
22
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
∴△
NMB
≌△
NCM<
/p>
，
(SSS)
∴∠
NBC
＝∠
NCB
（全等三角形
对应角相等）
∴∠
NBC
＋∠
ABN
＝∠
NCB
＋
∠
DCN
即∠
ABC
＝∠
DCB
。
23
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
巧求三角形中线段的比值
例
1.
如图
1
，在△
ABC
中，
< br>BD
：
DC
＝
< br>1
：
3
，
AE
：
ED
＝
2
：
3
，求
AF
：
FC
。
解：过点
D
作
DG
如图
2
，
BC
＝
CD
，
AF
＝
FC
，求
EF
：
FD
解：过点
C
作
CG
< br>如图
3
，
BD
< br>：
DC
＝
1
：
3
，
AE
：
＝
2
：
3
，求
AF
：
F
D
。
EB
解
：过点
B
作
BG
DC
＝
1
：
3
，
AF
＝
F
D
，求
EF
：
FC
。
解
：
过
点
DG
D<
/p>
作
如图
4
，
BD
：
如图
5
，
BD
＝
DC
，
AE
：
ED
＝
1
：
5
，求
AF
：
FB
。
2.
如图
6
，
AD
：
DB
＝
1
：
3
，
AE
：
EC
＝
3
：
1
，求
BF
：
FC
。
答案：
1
、
1
：
10
；
2. 9
：
1
24
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
初中几何辅助线
一
初中几何常见辅助线口诀
人说几何很
困难，
难点就在辅助线。辅助线，如何添把握定理和
概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，
可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后
关系现。
角平分线平行线，
等腰三角形来添。角平分线加垂线，三
线合一
试试看。
线段垂直平分线，<
/p>
常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短
可试验。
线段和差不等式，
移到同一三角去。三角形中两
中点，连接则成
中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，
对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和
□
。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连
上
中位线。
25
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行
成习惯。<
/p>
等积式子比例换，
寻找线段很关键。直
接证明有困难，等量代换
少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算，
弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心
半径连。
切线长度的计算，
勾股定理最方便。要想证明是切线，半径
垂线
仔细辨。
是直径，成半圆，想成
直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理
要记全。
圆周角边两条弦，
直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角
等找完。
要想作个外接圆，
各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分
线梦圆
如果遇到相交圆，
不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点
公切线。
若是添上连心线，
切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目
少困难。
注意点
26
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转
去实验。<
/p>
基本作图很关键，
平时掌握要熟练。解
题还要多心眼，经常总结
方法显。
切
勿盲目乱添线，
方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多
也
会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二
由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，
可向两边作垂线。
也可将图对折看，
对称以后
关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线
合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a
、对称性；
b
、角平分线上的点到
角两
边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
< br>②利用角平分线，
构造对称图形
（如作法是在一侧的长边
上截取
短边）。
通常情况下，出现了
直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；
其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，
要结合题目图形
和已知条件。<
/p>
27
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
与角有关的辅助线
E
A
（一）、截取构全等
O<
/p>
D
F
C
几何的证
明在于猜想与尝试，但这种
图
1-1
B
尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，
希望同学们能掌握相关
的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜
想，
按一定的规律去
尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助
线作以介绍。<
/p>
如图
1-1
，
∠
AOC=
∠
BOC
< br>，如取
OE=OF
，并连接
DE
、
DF
，则有△
O
ED
≌△
OFD
< br>，从而为我们证明线段、角相
等创造了条件。
如图
1-2
，
ABAC
。
B
A
A
E
D
A
D
A
3
．已知：如图<
/p>
2-5,
∠
BAC=
< br>∠
CAD,
AB>AD
，
CE
⊥
AB
，
1
AE=
2
（
AB+AD
）
.<
/p>
求证：
∠
D+
∠
B=180
。
B
C
O
E
E
E
B
图
1-
2
A
F
A
A<
/p>
B
C
P
D
E
A
C
D
D
B
图
2-4
C
B
B
图
C
2-5
B
图
1-4
图
2-1
图
2-3
图
1-3
图
2-2
N
E
D
D
C
D
P
C
M
F
F
C
4.
已知：如图
2-6,<
/p>
在正方形
ABCD
中，
< br>E
为
CD
的中点，
F
为
BC
上的点，∠
FAE=
∠
DAE
。求证：
AF=AD+CF
。
28
.WORD
完美格式
.
v1.0
可编辑可修改
A
D
C
A
F
E
E
A
E
C
F
A
D
H
B
E
D<
/p>
D
B
图
2-6<
/p>
F
C
B
B
H
图
2-7
图
3-2
图示
3-1
C
例
1
．
已知：如图
2-7
，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB=90
,CD
⊥
A
B
，
1
垂足为
D
，
AE
平分∠
CAB
交
CD
于
F
，过
F
作
FH
2
证：
BD=2CE
。
分析
：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，
可
延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例
3
．已知：如图
3-3
在△
ABC
中，
AD
、
AE
分别∠
BAC
的内、外角平分线，过顶点
B
作
BFA
D
，
交
AD
的延长线于
F<
/p>
，
连结
FC
并延
长交
AE
于
M
。
求证：
AM=ME
。
分析
：由
AD
、
AE
是∠
BAC
内外角平分线，可得
EA
⊥
A
AF
，从而有
C
B
F
N
D
C
E
A
M
图
3-
3
B
1
2
C<
/p>
D
E
A
F
1
2
1
2
D
A
E
1
2
B
C
A
B
D
D
D
n
F
C
1
2
M
E
A
图
3-4
C
B
I
C
H
F
B
A
B
G
B
图
4-1
图
4-2
已知，如图，∠
C=2
∠
A
，
AC=2BC
。求证：△
ABC
是直角三角形。
29
.WORD
完美格式
.